SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THỪA THIÊN HUẾ
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VINH XUÂN
------------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BA
f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 )”

l
Lĩnh vực/môn: Toán học
Họ và tên tác giả: ĐỖ VĂN SƠN
Giáo viên môn: Toán

Vinh Xuân, tháng 3 năm 2015
trang 1


MỤC LỤC
Trang
Phần A -

ĐẶT VẤN ĐỀ…………………………........……......……..........2

1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu đề tài
3. Phạm vi nghiên cứu đề tài
4. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
5. Phương pháp nghiên cứu đề tài
Phần B -

2. Mục đích nghiên cứu đề tài
Đề tài “ Một số bài toán liên quan đến cực trị của hàm số bậc ba”
nhằm giúp học sinh hệ thống lại các mối quan hệ giữa cực trị của đồ thị hàm
số bậc ba và sự tương giao của nó với trục hoành, cũng như giúp cho học sinh
khối 12 giải quyết một số bài toán tìm tham số để đồ thị hàm số có các hoành
độ cực trị đều dương, đều âm hay lớn hơn hoặc nhỏ hơn một số α cho trước.
3. Phạm vi nghiên cứu đề tài
- Chương trình toán trung học phổ thông
4. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Chuyên đề “ Một số bài toán liên quan đến cực trị của hàm số bậc ba”, cung
cấp cho học sinh về phương pháp tổng quát, kỹ năng và hệ thống các bài tập về
cực trị của hàm số bậc ba, để chuẩn bị cho học sinh khối 12 khi gặp bài toán
này giải một cách dễ dàng hơn.
5. Phương pháp nghiên cứu đề tài
Đề tài được nghiên cứu bằng phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết.

trang 3


PHẦN B .

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Xét hàm số y = f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d , (a ≠ 0) trên R
Ta có y ' = 3ax 2 + 2bx + c
b 
2
b2  
bc 

bc 

d : y =  c − ÷x +  d − ÷
3
3a 
9a 


2
b2 
k =  c − ÷
3
3a 

hay d : y = kx + q với 
 q =  d − bc 

÷

9a 


Tích giá trị cực đại và cực tiểu là
y1. y2 = ( kx1 + q ) ( kx2 + q ) = k 2 x1 x2 + kq ( x1 + x2 ) + q 2

⇒

y1. y2 =

k 2c 2bqk

∆ ' > 0
 2

⇔  k c 2bqk
trục hoành khi và chỉ khi 
với

−
+ q2 < 0
 y1. y2 < 0
 q =  d − bc 

3a
 3a

÷

9a 

2

Hoặc phương trình hoành độ f ( x) = 0 có ba nghiệm phân biệt
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m − 2 có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị
(Cm) của hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.

Giải: Theo bài toán 1, để (Cm) có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục

b 2 − 3ac > 0
∆
'

9
3

9 − 3m > 0
m < 3


⇔
⇔m
trang 5


∆ ' > 0
3 − m > 0
⇔
⇔
⇔m 0

⇔  k 2 c 2bqk
đối với trục hoành ⇔ 
(2)
−
+ q2 > 0
 y1. y2 > 0

3a
 3a

ta có k =

2


 
(m ≠ 0)

Vậy

9
< m < 6 thì đồ thị (Cm) có cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với
2

trục hoành.
Đặc biệt: Đồ thị (Cm) có một cực trị nằm trên trục hoành

trang 6


m < 6
m < 6
m = 0

∆ ' > 0

m = 0
⇔
⇔  22
⇔

9



2

Bài toán 3: Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị nằm phía trên trục hoành


b 2 − 3ac > 0
∆ ' > 0


 2bk
+ 2q > 0
khi và chỉ khi  y1 + y2 > 0 ⇔  −
với
3
a
 y .y > 0

 1 2
 k 2c 2bqk
2
 3a − 3a + q > 0



2
b2 
k =  c − ÷
3
3a 


ta có k =

2
m
2
( m − 6 ) , q = ⇒ kq = m ( m − 6 ) thay vào (3) ta được
3
3
9




36 − 6m > 0
m < 6
m < 6


2
9
4

⇔  2(m − 4) > 0
⇔ m > 4 ⇔ < m < 6
 (m − 6) + m > 0
3
2
3



27
9

trang 7


Vậy

9
< m < 6 thì đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía trên của trục hoành .
2

trang 8


Bài toán 4: Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị nằm phía dưới trục hoành


b 2 − 3ac > 0

2
b2 
∆ ' > 0

k =  c − ÷
3
3a 

 2bk



 2bk
+ 2q < 0
hoành là  y1 + y2 < 0 ⇔  −
(4)
3
a
 y .y > 0

 1 2
 k 2 c 2bqk
2
 3a − 3a + q > 0

ta có k =

2
4
8
2
( m − 9 ) , q = (m − 9) ⇒ kq = ( m − 9 ) thay vào (4) ta được
3
9
3



b 2 − 3ac > 0
9 − 3( m − 6) > 0




8
4
⇔  (m − 9) + (m − 9) < 0
⇔ 4(m − 9) < 0
3
3
4
2
16
16
4
 ( m − 9 ) ( m + 18 ) > 0
2
2
2
 27
 27 (m − 9) (m − 6) + 9 (m − 9) + 9 (m − 9) > 0
m < 9
m < 9

⇔ m − 9 < 0 ⇔ 
⇔ −18 < m < 9
m
>
−
18

m + 18 > 0



1 3
2
Ví dụ 6: Cho hàm số y = x − mx + (2m − 1) x − 3 có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị
3
(Cm) có cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.
trang 10


Giải: Theo bài toán 6, để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía
đối với trục tung là
( m − 1) 2 > 0
 m 2 − (2m − 1) > 0
m ≠ 1
2
b − 3ac > 0
 m − 2m + 1 > 0



⇔ 1
⇔
⇔
⇔

1
1
ac
>


b 2 − 3ac > 0
∆
'
>
0
b 2 − 3ac > 0



 2b

>0
⇔ ab < 0
đều dương ⇔ x1 + x2 > 0 ⇔ −
x .x >0
 3a
ac > 0
 1 2

c
>
0

3a

Ví dụ 7: Cho hàm số y = (m + 2) x 3 + 3x 2 + mx − 5 , (m ≠ −2) có đồ thị (Cm) . Tìm
m để đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ đều dương.
Giải: Theo bài toán 7, để đồ thị (Cm) có hai cực trị có hoành độ đều dương là
b 2 − 3ac > 0

b 2 − 3ac > 0
b 2 − 3ac > 0
∆ ' > 0


 2b

⇔ x1 + x2 < 0 ⇔ −
0
x .x >0
 3a
ac > 0
 1 2

c
>
0

3a
Ví dụ 8: Cho hàm số y = x 3 + (1 − 2m) x 2 + (2 − m) x + m + 2 có đồ thị (Cm) . Tìm m
để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ đều âm.
Giải: Theo bài toán 8, để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ đều âm là
4m 2 − m − 5 > 0
b 2 − 3ac > 0
(1 − 2m) 2 − 3(2 − m) > 0

1



∆' > 0
⇔
2
x1 x2 −α( x1 + x2 ) + α < 0

b 2 − 3ac > 0

⇔ 1
2
 3a ( 3aα + 2bα + c ) < 0

trang 12


1 3
2
Ví dụ 9: Cho hàm số y = x + ( m − 2) x + (5m + 4) x + 3m + 1 có đồ thị (Cm) . Tìm
3

m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2 sao cho

x1 < 2 < x2
Giải: Theo bài toán 9 với α = 2 , để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có
hoành độ x1 và x2 sao cho x1 < 2 < x2 là
b 2 − 3ac > 0
(m − 2) 2 − 5m + 4 > 0

⇔
1
12



⇔ ( x1 −α) + ( x2 −α) < 0 ⇔ x1 + x2 − 2α < 0
( x −α)( x −α) > 0
x x − α ( x + x ) + α 2 > 0
 1
2
 1 2
1
2


b 2 − 3ac > 0

 2b
⇔ − − 2α < 0
 3a
1
2
 3a ( 3aα + 2bα + c ) > 0

trang 13


Ví dụ 10: Cho hàm số y =

m 3
x + (m − 2) x 2 + (m − 1) x + 2 , (m ≠ 0) có đồ thị (Cm) .
3


3

m < 0


 −4m + 4
  m < 0
 2( m − 2)
⇔
< 0 ⇔ 
⇔ 5
⇔ −
−2 0
  m > 5 / 4

Vậy m < 0 hoặc

⇔ − − 2α > 0
 3a
1
2
 3a ( 3aα + 2bα + c ) > 0
1 3
2
2
Ví dụ 11: Cho hàm số y = x − mx + (m − m + 1) x + 1 có đồ thị (Cm) . Tìm m để
3

đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2 sao cho 1 < x1 < x2
Giải: Theo bài toán 11 với α = 1 , để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có
hoành độ x1 và x2 sao cho 1 < x1 < x2 là

b 2 − 3ac > 0
m 2 − (m 2 − m +1) > 0


 2b
−2 > 0
⇔ 2m − 2 > 0
−
 3a

2
( 1 − 2m + m − m +1) > 0
1
( 3a + 2b + c ) > 0


2
2. Cho hàm số y = x + (m + 3) x + 4(m + 3) x + m − m có đồ thị (Cm) . Tìm
3

m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2 sao cho
−1 < x1 < x2
1 3 1 2
2
3. Cho hàm số y = x − mx + (m − 3) x có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị
3
2
(Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ đều dương.

4. Cho hàm số y = x 3 + (1 − 2m) x 2 + (2 − m) x + m + 2 , ( m ≠ 0) có đồ thị (Cm) .
Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2 sao
cho x1 < x2 < 1
5. Cho hàm số y = 4 x 3 + mx 2 − 3x có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị (Cm) có
cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục hoành.
6. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 − mx + 2 có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị (Cm) có
cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục hoành.
7. Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + m có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị (Cm) có hai
điểm cực trị nằm phía trên trục hoành .

trang 16


PHẦN C. KẾT LUẬN
Qua đề tài “Một số bài toán liên quan đến cực trị của hàm số bậc ba”. Nhằm
hệ thống lại và khắc sâu một số dạng toán tìm tham số để hàm bậc ba có hai cực trị
lần lượt có hoành độ âm, dương và so sánh hai hoành độ của điểm cực trị với một



NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI
CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
NHẬN XÉT:……………………………

Vinh Xuân, ngày 20 tháng 3 năm 2015
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………

Đỗ Văn Sơn

ĐIỂM:…………………………………..
XẾP LOẠI: …………………………….
TỔ TRƯỞNG

NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI
CỦA HỘI ĐỒNG KH-SK CỦA ĐƠN VỊ

NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA
HỘI ĐỒNG KH-SK NGÀNH GD&ĐT

NHẬN XÉT:……………………………


trang 19


trang 20