HƯỚNG DẪN ÔN TẬP HỌC KÌ I –MÔN TOÁN
(Khối 12, năm học 2008-2009)
A. LÝ THUYẾT
1. GIẢI TÍCH.
- Biết mối liên hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu đạo
hàm của nó. Biết cách xét tính đơn điệu của một hàm số dựa vào đạo hàm.
- Biết khái niệm cực đại, cực tiểu và cực trị của hàm số. Biết dùng các dấu hiệu đủ
để hàm số có cực trị giải toán.
- Biết và ghi chính xác kí hiệu giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một tập số. Biết
cách tìm trị lớn nhất, giá trị nhó nhất trên một khoảng, một đoạn .
- Biết tìm tiệm cận đứng, tiện cận ngang của đồ thị một hàm số.
- Nắm vững sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Biết khảo sát sự biến
thiên và vẽ đồ thị hàm số dạng

( )
( )
2 3 2
4 2
( 0), 0
0 , ( 0)
y a x bx c a y a x bx cx d a
ax b
y a x bx c a y ad bc
cx d
= + + ≠ = + + + ≠
+
= + + ≠ = − ≠
+
- Biết giải bài toán về sự tương giao của hai đồ thị ( Dựa vào đồ thị biện luận số
nghiệm của một phương trình, dựa vào số nghiệm của phương trình biện luận số giao
điểm của hai đồ thị).

3. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số
2 4
2y x x= −
b) Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt
4 2
2 0x x m− + =
c) Tìm giá trị lớn nhất. giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
1
;4
2
 
 
 
4. Cho hàm số
( 1) 3
2
m x m
y
mx
+ + +
=
+
(1), với m là tham số.
a) Xác định m để đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng x=-1.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=2
c) Tìm điều kiện m để hàm số (1) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
5. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2
( )
1

x
+
<
−
.
7. Rút gọn các biểu thức sau
3 27
2
8 2
1
log 2 3log 9
log 15
log (log 4)
4
)2 )9 )4a b c
+
8. So sánh các cặp số sau (không dùng máy tính bỏ túi)
300 200
3
3 2
2 0,3 5
)2 &3 )6 3 2 &5 2 3 ) 5 & 3
2 2 1
) & )log & )log 2 & log 3
3 3 ln 2
a b c
d e f
π
− −
   

+
= − + = + = + =
+ = − − + = = = −
11. Giải các phương trình lôgarit sau
2 2
log log5
82
4 16
)log log log9 )ln( 6 7) ln( 3)
log 4
log
) )5 50
log 2 log 8
x
a x x x b x x x
x
x
c d x
x x
+ = − + = −
= + =
12. Giải các bất phương trình sau
1
4
9
1 1 2 1
) )log
2 2 1 2
x
x

 ÷ ÷
  
− = + > > ≠
−
15. Chứng minh rằng
a) Hàm số
( 1)
x
y x e= +
thoã hệ thức
'
x
y y e− =
b) Hàm số
sin x
y e=
thoã hệ thức
' sin ''y cosx y x y− =
16. Chứng minh hàm số
2
( ) ln( 1 )F x x x= + +
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
1
1
f x
x
=
+

Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là hình chiếu vuông góc của A trên SC.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC
b) Chứng minh
( ' ')SC AB C⊥
. Tính tỉ số thể tích
. ' '
.
S AB C
S ABC
V
V
, từ đó suy ra
. ' 'S AB C
V
.
c) Xác định tâm và bán kính khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC và tính thể tích khối
cầu đó.
20. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại B,
AB=a,BC=2a, AA’=3a. Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với CA’ lần lượt cắt các
đoạn thẳng CC’,BB’ tại M và N.
a) Tính
'CA AB
V
b) Chứng minh
'AN A B
⊥
c) Tính
'A AMN
V
d) Tính diện tích tam giác AMN.

= = − + = ⇔

=

¡
2
' 0, ( ; ) (2; )
3
y x> ∀ ∈ −∞ ∪ +∞
Hàm số đồng
x
y
O
A
2
16
4
biến trên các khoảng
2
( ; ) & (2; )
3
−∞ +∞
2
' 0, ( ;2)
3
y x< ∀ ∈
Hàm số nghịch biến trên khoảng
2
( ;2)
3

= =

. Vậy A(4;16).
c) Xét phương trình
3 2 2
2
0
4 4 ( 4 4 ) 0
4 4 0 (*)
x
x x x kx x x x k
x x k
=

− + = ⇔ − + − = ⇔

− + − =


Dựa vào số nghiệm khác 0 của phương trình(*), ta có
- k<0 : d cắt (C) tại một điểm là gốc toạ độ
- k=0 : d cắt (C) tại hai điểm là gốc toạ độ và B(2;0)
- k=4 : d cắt (C) tại hai điểm là gốc toạ độ và A(4;16)
- k>0 và k
≠
4 : d cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
Bài 3. a) Học sinh tự khảo sát
b) Ta có
4 2 4 2
2 0 2x x m x x m− + = ⇔ − + =

m
mx
− − +
 
= − = ⇒ > ∀ ∈ ⇔ − < <
 
+
 
¡
.
Tóm lại -2<m<1 thì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Bài 5. a) Học sinh tự khảo sát
b) M thuộc (C) nên
( )
2
2 1
; , '( )
1
1
M M M
a
x a y y x
a
a
−
= = =
+
+
. Phương trình tiếp tuyến cần
tìm là

a
a
d d I d
a
a
+
+
= ∆ = ⇔ =
+ +
+ +
.
Áp dụng bất đẳng thưc Cô-si, ta có
( ) ( ) ( )
4 4 2
2
1 9 2 9 1 6 1 6a a a d+ + ≥ + = + ⇒ ≤
Vậy gtln của d bằng
6 1 3khi a = − ±
Bài 6. a) m=-1 b)Học sinh tự khảo sát c) Tập nghiệm là S=(-0,5; 2)
Bài 7. Đáp số
2
3
)15 )81 2 )16a b c+
Bài 8.
300 100 100 200
)2 8 9 3a = < =
b)Xét hiệu hai số c) Đưa về cùng căn bậc 6
d) chú ý cơ số e)
2 2
1

g) Lôgarit cơ số 3 hai vế được hai nghiệm
2
1; 2log 3 2x x= = −
h) Dùng tính đơn điệu của hàm sồ đi chứng minh pt có duy nhất nghiệm x=2.
Bài 11. a)
3
0
0
3
0 3
log log9
x
x
x
x x
x x
>
>


⇔ ⇔ ⇔ =
 
= ∨ = ±
=


b) Đáp số x=5
c) Điều kiện
1 1
0; ;

. Do đó n=30
b) n=4 c) n=15
Bài 14. HD dùng hằng đẳng thức đáng nhớ, biến đổ vế trái.
Bài 15.
) ' ( 1) ( 2) ' ( 2) ( 1)
x x x x x x
a y e x e x e y y x e x e e= + + = + ⇒ − = + − + =
(đpcm)
b) Tương tự câu a
Bài 16. Dùng định nghĩa nguyên hàm.
Bài 17. a) ĐS: x
3
-x
2
+x+C b)
2 2
1
1 ln 1
1 1 2
x x
dx x dx x x C
x x
 
= + − = + − − +
 ÷
− −
 
∫ ∫
c)
( )

 
= − = − − = − − + +
 ÷
 
∫ ∫ ∫
f) Dùng công thức hạ bậc
g) Dùng nguyên hàm từng phần
h) HD:
( ) ( )
2
2
1 sin 2 sin 2 ( )
4
x x cosx co s x
π
+ = + = −
.
Bài 18. a) Độ dài cạnh của hình lập phương là 5cm
Thể tích khối lập phương là V=5
3
=125 (cm
3
)
O
B C
B'
C'
A
D
A'