Đăng nhập

Tìm kiếm

Trang chủ

Diễn đàn

Thành viên

Đăng ký

Google

Sự kiện

Có gì mới?

Diễn đàn Toán học → Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học → Ôn thi Đại học
3 Bình chọn

2.1 - Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải PT, BPT, HPT
Bắt đầu bởi NosoZ, 16-09-2012 - 20:13
chuyên đề
Trang 1 / 2 1 2

ôn thi đh

Please log in to reply

SAU


{

f(x) = y
f(y) = z ⇔ x = y = z
f(z) = x

Tính chất 6: f(x) đồng biến trên (a, b) thì f(u) < f(v) ⇔ u < v
f(x) nghịch biến trên (a, b) thì f(u) < f(v) ⇔ u > v với mọi u, v ∈ (a, b).
Chỉ cần nắm được định nghĩa về hàm số đồng biến, nghịch biến các bạn dễ dàng suy ra tính chất 1, 2, 3, 4 và 6.
Riêng tính chất 5 SGK không đề cập, do đó mỗi khi sử dụng kết quả này các bạn phải chứng minh lại. Tôi sẽ nói chi
tiết hơn và đồng thời chứng minh tính chất này trong Ví dụ 2.2 của Vấn đề 2!
Vấn đề 1. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình
Ví dụ 1.1. Giải các phương trình sau:
a) √4x − 1 + 4x2 − 1 = 1

√

b) 3x7 − √5 − 4x = 3 − x3
Nhận định: Đối với câu 1, có thể bạn nghĩ đến việc biến đổi tương đương hoặc sẽ bình phương, tuy nhiên bạn sẽ
gặp khó trong biến đổi. Câu 2, các phương pháp "truyền thống" không khả thi.
Nếu bạn chịu khó quan sát và chuyển vế đơn giản thì vế trái đều là những hàm số đồng biến (trên một tập nào đó).
Lúc này, sử dụng tính đơn điệu để giải quyết bài toán đã nảy ra trong đầu bạn. Vấn đề còn lại là đoán nghiệm! Công
việc này không khó, nhưng nếu bạn cứ thử từng số thì sẽ mất thời gian. Hãy ưu tiên những giá trị của x sao cho các
biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương!
Lời giải.
a) Điều kiện: x

converted by W eb2PDFConvert.com


R.
Do đó
\begin{align*} f(u) = f(v) & \Leftrightarrow u = v\\ & \Leftrightarrow 2x^2= x + 1 \end{align*}
Kết luận: Nghiệm của phương trình là: x=1 và x = \frac{1}{2}.
Bài tập
Bài tập 1.1. Giải các phương trình sau:
\quad \quad a) \sqrt {15 - x} + \sqrt {3 - x} = 6
\quad \quad b) \sqrt {3x - 5} + \sqrt {2x + 3} = 2 + \sqrt {12 - x}
\quad \quad c) \sqrt {2{x^2} + 23} = 4x - 2 + \sqrt {2{x^2} + 7}
\quad \quad d) \sqrt {{x^2} + 15} = 3x - 2 + \sqrt {{x^2} + 8}
\quad \quad e) {x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - 3x} + 4 = 0
Bài tập 1.2. Giải các phương trình sau:
\quad \quad a) 8x^3- {(\sqrt {2x + 1})^3} = \sqrt {2x + 1}- 2x
\quad \quad b) {\log _3}(\frac{x^2+ x + 3}{2x^2+ 4x + 5}) = x^2+ 3x + 2
Bài tập 1.3. Giải các phương trình sau:
\quad \quad a) {3^x} + {4^x} + {5^x}
\quad \quad b) {9^x} + 2(x - 2){3^x} + 2x - 5 = 0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 02:03
E. Galois, quangnhat1395, minhson95 và 17 người khác yêu thích

Đi sau đến muộn--->Đang làm quen và sục sạo khắp nơi trên diễn đàn!

#2

NosoZ
Binh nhất

Đã gửi 16-09-2012 - 20:48


\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - \frac{3}{2} \\ x < 11 \\ \end{gathered} \right.
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là: S= [- \frac{3}{2};11).
b) Điều kiện: \frac{1}{2} < x \leqslant \frac{3}{2}
Đặt f\left( x \right): = 3\sqrt {3 - 2x} + \frac{5}{{\sqrt {2x - 1} }} - 2x.
Khi đó f(x) liên tục trên ( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}}] và có đạo hàm f'(x) = - \frac{3}{{\sqrt {3 - 2x} }} - \frac{5}{\sqrt {2x - 1}}
- 2 < 0,\forall x \in (\frac{1}{2};\frac{3}{2}) nên nó nghịch biến trên (\frac{1}{2};\frac{3}{2}).
Hơn nữa f(1)=6.
Do đó, tập nghiệm của phương trình phải thỏa mãn: \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{2} < x \leqslant \frac{3}{2} \\ x
\geqslant 1 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow 1 \leqslant x \leqslant \frac{3}{2}
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [1;\frac{3}{2}]
c) Điều kiện: 1 \leqslant x \leqslant 3
Bất phương trình đã cho tương đương: \sqrt {{x^2} - 2x + 3} + \sqrt {x - 1} > \sqrt {x^2 - 6x + 11} + \sqrt {3 - x}
\Leftrightarrow \sqrt {(x-1)^2+ 2}+ \sqrt {x - 1} > \sqrt {(3- x)^2+2}+ \sqrt {3 - x} \quad \quad (1)
Đặt u: = (x - 1)^2 và v: = (3 - x)^2 thì (1) thành \sqrt {u + 2} + \sqrt u > \sqrt {v + 2} + \sqrt v hay f(u)>f(v).
Xét hàm số f(t) = \sqrt {t+2}+ \sqrt t trên [1;3].
Khi đó f(x) là hàm liên tục trên [1;3] và có đạo hàm f'(x) = \frac{1}{2\sqrt {x + 2}} + \frac{1}{2\sqrt x }>0 trên [1;3] nên
hàm f(t) đồng biến trên [1;3].
Vì tính đồng biến nên từ f(u)>f(v) suy ra u>v hay x-1>3-x \Leftrightarrow x>2.
Kết hợp với điều kiện ta có: 2 < x \leqslant 3
Kết luận: Tập hợp nghiệm của bất phương trình là: S=(2;3].
Bài tập 2.1. Giải các bất phương trình sau:
\quad a) \sqrt {x + 9} + \sqrt {2x + 4} > 5
\quad b) \sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} < \sqrt {4 - x} + 2\sqrt 3
\quad c) \sqrt {x + 1} + \root 3 \of {5x - 7} + \root 4 \of {7x - 5} + \root 5 \of {13x - 7} < 8
\quad d) {\log _7}x > {\log _3}\left( {2 + \sqrt x } \right)
Ví dụ 2.2. Giải các hệ phương trình sau:
\quad \quad a) \left\{ \begin{gathered} \cot x - \cot y = x - y \\ 5x + 8y = 2\pi \\ x,y \in \left( {0;\pi } \right) \\
\end{gathered} \right.
\quad \quadb) \left\{ \begin{gathered} x = {y^3} + {y^2} + y - 2 \\ y = {z^3} + {z^2} + z - 2 \\ z = {x^3} + {x^2} + x - 2 \\
\end{gathered} \right.

Thay vào hệ đã cho, ta có:
{x^3} + {x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)({x^2} + 2x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1
Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất là: x=y=z=1
Chú ý: Khi thay x=y=z trở lại hệ ta thu được một phương trình bậc 3 với ẩn x và việc giải phương trình đó khá dễ
dàng. Tuy nhiên, khi giải phương trình này gặp khó khăn thì các bạn nhớ đặt hàm, khảo sát, đoán nghiệm và khẳng
định phương trình có nghiệm duy nhất như đã trình bày ở Vấn đề 1.
Các bạn có thể xem Bài tập 2.2 câu d)!
Bài tập 2.2. Giải các hệ phương trình sau:
\quad a) \left\{ \begin{gathered} \cot x - \cot y = x - y \\ 3x + 5y = 2\pi \\ x,y \in \left( {0;\pi } \right) \\ \end{gathered}
\right.
\quad b) \left\{ \begin{gathered} x - y = \sin x - \sin y \\ \sin x + \sin y = \sqrt 2 \\ \end{gathered} \right.
\quad c) \left\{ \begin{gathered} {\log _5}x = {\log _3}(\sqrt y + 4) \\ {\log _5}y = {\log _3}(\sqrt z + 4) \\ {\log _5}z = {\log
_3}(\sqrt x + 4) \\ \end{gathered} \right.
\quad d) \left\{ \begin{gathered} {x^3} + 3x - 3 + \ln \left( {{x^2} - x + 1} \right) = y \\ {y^3} + 3y - 3 + \ln \left( {{y^2} - y + 1}
\right) = z \\ {z^3} + 3z - 3 + \ln \left( {{z^2} - z + 1} \right) = x \\ \end{gathered} \right.
\quad e) (D-2006). Chứng minh rằng với mọi a>0 hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
\left\{ \begin{gathered} {e^x} - {e^y} = \ln \left( {1 + x} \right) - \ln \left( {1 + y} \right) \\ y - x = a \\ \end{gathered} \right.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NosoZ: 19-09-2012 - 23:10
E. Galois, tolaphuy10a1lhp, minhson95 và 7 người khác yêu thích

Đi sau đến muộn--->Đang làm quen và sục sạo khắp nơi trên diễn đàn!

#3

NosoZ
Binh nhất

Đã gửi 16-09-2012 - 21:26

Vấn đề 3. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức

Xét hàm số f(x)=\sin{x}-x \left(0 0 với mọi x \geqslant 0
Do đó hàm số f đồng biến trên khoảng [0; + \infty)
Từ đó suy ra f(|a + b|) \leqslant f(|a| +|b|) với mọi a,b \in \mathbb{R}
tức là \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leqslant \frac{|a|+|b|}{1+|a|+| b |} với mọi a,b \in \mathbb{R} \quad (1)
Mặt khác ta có
\begin{align*} \frac{{\left| a \right| + \left| b \right|}}{{1 + \left| a \right| + \left| b \right|}} &= \frac{{\left| a \right|}}{{1 + \left| a
\right| + \left| b \right|}} + \frac{{\left| b \right|}}{{1 + \left| a \right| + \left| b \right|}}\\ & \leqslant \frac{{\left| a \right|}}{{1 +
\left| a \right|}} + \frac{{\left| b \right|}}{{1 + \left| b \right|}} \quad (2) \end{align*}
Từ (1) và (2) ta có
\frac{{\left| {a + b} \right|}}{{1 + \left| {a + b} \right|}} \leqslant \frac{{\left| a \right|}}{{1 + \left| a \right|}} + \frac{{\left| b

converted by W eb2PDFConvert.com


\right|}}{{1 + \left| b \right|}} \quad \square
Ví dụ 3.8. Cho hai số thực a, b sao cho 00, do đó có thể biến đổi bất đẳng thức đã cho để chứng
minh bất đẳng thức dạng: f(b)>f(a)
Lời giải.
Do a,b \in (0;\frac{\pi }{2}) nên \tan a, \tan b > 0 và a, b>0. Vậy
\frac{\tan b}{\tan a} > \frac{b}{a} \Leftrightarrow \frac{\tan b}{b} > \frac{\tan a}{a}
Xét hàm số f(x) = \frac{\tan x}{x} thì bài toán trở thành:
"Cho a,b \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) sao cho b>a. Hãy chứng minh rằng: f(b)>f(a)".
Như vậy theo định nghĩa của tính đơn điệu của hàm số ta chỉ cần chứng minh f đồng biến trên (a;b).
Thật vậy, ta có: f'(x) = \frac{{x - \sin x\cos x}}{{{x^2}{{\cos }^2}x}} = :\frac{{g(x)}}{{{x^2}{{\cos }^2}x}}
Dấu của f'(x) là dấu của hàm g(x):=x-\sin x \cos x trên [{0;\frac{\pi }{2}}]. Ta lại có:
g(x) = x - \sin x\cos x = x - \frac{\sin x}{2}
\Rightarrow g'(x) = 1 - \cos 2x,\forall x \in (0;\frac{\pi }{2})

{({2^a} + \frac{1}{2^a})^b} \leqslant {({2^b} + \frac{1}{{{2^b}}})^a} \text{ với mọi } a \geqslant b > 0
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 30-09-2012 - 08:23
E. Galois, leminhansp, bugatti và 6 người khác yêu thích

Đi sau đến muộn--->Đang làm quen và sục sạo khắp nơi trên diễn đàn!

#4

NosoZ
Binh nhất

Đã gửi 16-09-2012 - 22:04

Vấn đề 4. Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận phương trình và bất phương trình

converted by W eb2PDFConvert.com


Thành viên

24 Bài viết
Giới tính: Nam

\quad Bài toán về biện luận số nghiệm, có nghiệm trên một tập hợp cho trước là bài toán mà hầu như trong đề thi
năm nào cũng có. Ngoài việc yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức cơ sở, bài toán còn đòi hỏi óc tư duy, sáng
tạo. Đối với dạng toán này cũng có nhiều phương án giải quyết, trong đó phương án sử dụng tính đơn điệu của hàm
số sẽ cho ta lời giải ngắn gọn, độc đáo và được đánh giá rất cao!
Ví dụ 4.1. Cho hàm số f(x)=mx^2+2mx-3
\quad a) Tìm m để phương trình: f(x)=0 có nghiệm x \in [1;2]
\quad b) Tìm m để bất phương trình: f(x) \leqslant 0 nghiệm đúng \forall x \in [1;4]

g(1) = 1 \end{align*}
Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài toán là: \frac{3}{8} \leqslant m \leqslant 1
b) Với \forall x \in [1;4], ta có:
\begin{align*} f(x) \leqslant 0 & \Leftrightarrow m{x^2} + 2mx - 3 \leqslant 0\\ & \Leftrightarrow m(x^2+2x) \leqslant 3\\ &
\Leftrightarrow g(x):= \frac{3}{x^2+2x} \geqslant m,\forall x \in [1;4] \end{align*}
Để f(x) \leqslant 0 nghiệm đúng với mọi x \in [1;4] thì g(x):= \frac{3}{x^2+2x} \geqslant m,\forall x \in [1;4], điều này có
được khi \mathop {min }\limits_{x \in [1;4]} g(x) \geqslant m (xem (e) và hình 1)
Vì hàm g(x) liên tục và có đạo hàm g'(x)=- \frac{2(x + 1)}{(x+1)^2-1} < 0 trên đoạn [1;4] nên g(x) là hàm nghịch biến
trên [1;4].
Do đó \mathop {min }\limits_{x \in [1;4]} g(x) = g(4) = \frac{1}{8}
Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài toán là: m \leqslant \frac{1}{8}
b) Với x \in [-1;3], ta có:
\begin{align*} f(x) \geqslant 0 & \Leftrightarrow m({x^2+2x}) \geqslant 3 & \Leftrightarrow m \geqslant \frac{3}{x^2+ 2x}
(1) \end{align*}
Đặt và xét hàm số g(x): = \frac{3}{x^2+2x},x \in [-1;3] (2)
Ở đây ta gặp chút rắc rối là đoạn [-1;3] chứa điểm "đặc biệt" mà làm cho g(x) không xác định là điểm x=0. Kỹ thuật là
ta sẽ tách ra làm hai đoạn và đi xét riêng điểm x=0. Cụ thể:
converted by W eb2PDFConvert.com


Xét các khả năng sau:
\bullet Nếu x=0, thay trực tiếp vào (1), bất phương trình trở thành m.0=0 \geqslant 3. Vô nghiệm!
\bullet Nếu x \in (0;3] thì
\begin{align*} \text{bất phương trình đã cho }& \Leftrightarrow g(x) \leqslant m \text{ có nghiệm } x \in (0;3] &
\Leftrightarrow \mathop {min}\limits_{x \in (0;3]} g(x) \leqslant m \end{align*}
Do g\left( x \right) = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - 1 nghịch biến trên (0;3] nên \mathop {min}\limits_{x \in(0;3]}
g(x) = g(3)= \frac{1}{5} \leqslant m
\bullet Nếu x \in [-1;0) thì x^2+2x
Nhìn vào bảng biến thiên dễ dàng suy ra giá trị của m cần tìm là: - 1< m \leqslant \frac{1}{3}.
Ghi chú:
\quad a) Đối với ẩn phụ t ở trên, các bạn buộc phải tìm miền giá trị của nó, chớ có để sót bước này.
\quad b)Bài toán này ở đề thi khối A-2007 và còn một số cách giải khác, các bạn tự tìm hiểu thêm!
converted by W eb2PDFConvert.com


Ví dụ 4.4. Tìm m để bất phương trình: m4^x+(m-1)2^{x+2}+m-1>0 \text{ đúng }\forall x \in \mathbb{R} \quad \quad (1)
Lời giải.
Đặt 2^x= t,t > 0 thì (1) trở thành:
\begin{align*} mt^2+ 4(m-1)t+m-1 > 0 & \Leftrightarrow m(t^2+ 4t + 1) > 4t + 1\\ & \Leftrightarrow \frac{4t + 1}{t^2 + 4t +
1} < m \end{align*}
Đặt g(t): = \frac{4t + 1}{t^2 + 4t + 1} với t>0.
Khi đó (1) đúng với \forall x \in \mathbb{R} khi và chỉ khi g(t) 1}
Ví dụ 4.5. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: \left\{ \begin{gathered} x+\frac{1}{x}+y+ \frac{1}{y}=5 \\ x^3+
\frac{1}{x^3}+y^3+ \frac{1}{y^3} = 15m-10 \\ \end{gathered} \right. \quad \,(1)
\quad Nhận định: Đây là hệ đối xứng loại I, nếu đề bài yêu cầu giải hệ thì bài toán đơn giản, song ở đây xuất hiện m
và yêu cầu tìm giá trị m để hệ có nghiệm. Nhiều bạn sẽ chọn cách đặt ẩn phụ và cố gắng biến đổi sao cho sử dụng
được Định lý Viète rồi biện luận theo m.
\quad Lời giải sau cũng đi theo hướng đó nhưng bước cuối cùng lại rẽ sang hướng khác!
Lời giải.
Đặt u: = x + \frac{1}{x} và v: = y + \frac{1}{y}.
Khi đó:
\left| u \right| = \left| {x + \frac{1}{x}} \right| = \left| x \right| + \left| {\frac{1}{x}} \right| \geqslant 2\sqrt {\left| x \right|\left|
{\frac{1}{x}} \right|} = 2
Tương tự ta cũng tìm được: |v| \geqslant 2

Các bạn thảo luận và đặt câu hỏi ở bên dưới. Cần lưu ý các quy định sau:

QUY ĐỊNH VỀ THẢO LUẬN
1. Tuân thủ Nội quy diễn đàn.
2. Khi hỏi bài tập cần nêu rõ nguồn (đề thi, bài trên lớp, trong sách...) và trình bày những suy nghĩ của mình
về bài toán đó (đã làm được đến đâu, đề có chỗ nào chưa hiểu, chưa xử lí được điều kiện nào).
3. Khi giải bài (giúp các bạn khác) cố gắng đưa ra lời hướng dẫn hoặc đường hướng giải quyết bài toán
hay phân tích rõ các giả thiết của bài toán và sử dụng các giả thiết ấy như thế nào...
Khuyến khích cả các bạn chưa có lời giải cuối cùng cũng tham gia thảo luận (chẳng hạn như "mình nghĩ
phải làm thế này thế này, nhưng chỉ làm được đến đây thì chịu...", hay "BĐT ấy mình đánh giá được đến đây rồi
bạn nào giúp mình đánh giá tiếp với...").
4. Bên cạnh các bài tập tự luyện, khuyến khích các bạn gửi những bài toán hay (kể cả các bạn đã làm được và
chưa làm được) trong quá trình ôn tập mà các bạn gặp phải.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 02:15
E. Galois, minhson95, leminhansp và 9 người khác yêu thích

Đi sau đến muộn--->Đang làm quen và sục sạo khắp nơi trên diễn đàn!

#5

z0r0
Lính mới

Đã gửi 02-10-2012 - 22:01
Vào lúc 16 Tháng 9 2012 - 08:13, 'NosoZ' đã nói:
\quad \quad c) \sqrt {2{x^2} + 23} = 4x - 2 + \sqrt {2{x^2} + 7}

\quad \quad d) \sqrt {{x^2} + 15} = 3x - 2 + \sqrt {{x^2} + 8}
Thành viên

z0r0
Lính mới

Đã gửi 04-10-2012 - 00:03
Vào lúc 03 Tháng 10 2012 - 06:09, 'dangerous_nicegirl' đã nói:
chuyen ve xong nhan lien hop ban ak

Thành viên

Hi mình tưởng dùng tính đơn điệu của hàm số chứ?

2 Bài viết
Giới tính: Nam
Đến từ: Thái Nguyên

#8

NosoZ
Binh nhất

Đã gửi 06-10-2012 - 21:42
Vào lúc 02 Tháng 10 2012 - 10:01, 'z0r0' đã nói:
Thưa thầy hai bài này làm thế nào ạ?

Thành viên

24 Bài viết
Giới tính: Nam

Pt c) \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + 23} - \sqrt {2{x^2} + 7} = 4x - 2


Lính mới

Đã gửi 05-11-2012 - 21:20

Mò nghiệm thì có nhiều cách bạn à, có thể bấm máy tính mà cũng có thể nhẫm ra được mà không cần dùng máy tính.
Vui vui
Thành viên

8 Bài viết
Giới tính: Nam
Đến từ: Tp HCM
Sở thích: Du ngoạn

#11

hoangthuong893
Lính mới

Đã gửi 05-04-2013 - 16:13

thầy ơi để tải tài liệu của thầy thì làm sao ạ?

Thành viên

1 Bài viết

#12

25 minutes

Thượng sĩ

Đã gửi 11-04-2013 - 20:03

Ai tổng hợp bài giảng này thành file PDF hay word được không?
p/s: Xin cảm ơn!

Thành viên

Nếu bạn thích bài viết của tôi hãy chọn "LIKE" nhé,
còn nếu không thích hãy chọn "LIKE" coi như đó là 1 viên gạch

207 Bài viết

converted by W eb2PDFConvert.com


Giới tính: Nam
Đến từ: Đại học Bách Khoa
Hà Nội

#14

namcpnh
Red Devil

Đã gửi 02-05-2013 - 19:02

Nhờ BBT vào tổng hợp bài giảng này thành file PDF hay word.


Manga

#16

younglady9x
Binh nhất

Đã gửi 15-06-2013 - 00:18
Vào lúc 16 Tháng 9 2012 - 08:48, NosoZ đã nói:

Thành viên

26 Bài viết
Giới tính: Nữ
Đến từ: THPT chuyên
Lương Văn Tụy-Ninh Bình
Sở thích: Ăn, ngủ, chơi

Vấn đề 2. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình, hệ phương trình
Ví dụ 2.1.
c) \sqrt {{x^2} - 2x + 3} - \sqrt {{x^2} - 6x + 11} > \sqrt {3 - x} - \sqrt {x - 1}
Điều kiện: 1 \leqslant x \leqslant 3
Bất phương trình đã cho tương đương: \sqrt {{x^2} - 2x + 3} + \sqrt {x - 1} > \sqrt {x^2 - 6x + 11} + \sqrt {3 - x}
\Leftrightarrow \sqrt {(x-1)^2+ 2}+ \sqrt {x - 1} > \sqrt {(3- x)^2+2}+ \sqrt {3 - x} \quad \quad (1)
Đặt u: = (x - 1)^2 và v: = (3 - x)^2 thì (1) thành \sqrt {u + 2} + \sqrt u > \sqrt {v + 2} + \sqrt v hay f(u)>f(v).
Xét hàm số f(t) = \sqrt {t+2}+ \sqrt t trên [1;3].
Khi đó f(x) là hàm liên tục trên [1;3] và có đạo hàm f'(x) = \frac{1}{2\sqrt {x + 2}} + \frac{1}{2\sqrt x }>0 trên [1;3]
nên hàm f(t) đồng biến trên [1;3].
Vì tính đồng biến nên từ f(u)>f(v) suy ra u>v hay x-1>3-x \Leftrightarrow x>2.
Kết hợp với điều kiện ta có: 2 < x \leqslant 3


Thành viên nổi bật 2015

2794 Bài viết
Giới tính: Nam
Đến từ: KHTN-NEU
Sở thích: Cafe + radio +
mưa

thầy ơi giải giúp em hệ pt này
\left\{\begin{matrix} &x^{2}-2x+1=2y & \\ &y^{2}-2y+1=2z & \\ &z^{2}-2z+1=2x & \end{matrix}\right.
e cũng giải theo cách xét hàm số f(t)=t^{2}-2t+1 ,f'(t)=2t-2 nếu t0
Nếu thế ta sẽ xét 2 TH :
+) x,y,z \geqslant 1
Dễ thấy x \geqslant 1\Rightarrow z^2-2z+1=2x\geqslant 2\Rightarrow z \geq 1+\sqrt{2}
\Rightarrow y^2-2y+1=2z \geqslant 2+2\sqrt{2}\Rightarrow y >3
Tóm lại ta phải có x,y,z \geqslant 1
Khi đó xét f(t)=t^2-2t+1,t \in \left [ 0;+\infty \right ]
\Rightarrow f'(t)=2t-2 \geqslant 0
Từ đó ta có x=y=z \geqslant 1
Tương tự xét 0 \leqsalnt x,y,z \leqslant 1

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.

Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây
#19

mentos


Thành viên

1 Bài viết

Đã gửi 12-07-2013 - 15:58

mình có một chút thắc mắc về vấn đề này đó là tập xác định mà ta khảo sát một hàm dưới dạng F(a)=F(b)( đây có thể
là pt hay hpt mà đã được đưa về dạng này rồi),nhưng tập xác định thì mình không rõ ví dụ như bài toán này nhé:
xét hpt
{(4x^2+1)x+(y-3).căn(5-2y)=0(1)
{4x^2+y^2+2 căn(3-4x)=7(2)
dk y=0
điều kiện này do đâu mà có, tại sao lại không phải là dk của x hay y
và ai có thể giúp mình cách tìm "tập xác định khi đưa về hàm đặc trưng theo t và t là trung gian giữa 2 hàm trên
không"
TXD mình không hiểu, làm ơn giải thích rõ cái nha

quandan yêu thích

Trang 1 / 2 1 2

Trở lại Ôn thi Đại học

SAU
Like 31


ôn thi đh, luyện thi đh

0 Trả lời
360 Views

nthoangcute
07-08-2016

1 Trả lời
124 Views

I Love MC
12-04-2016

0 Trả lời
760 Views

hotrohoctot123
22-12-2014

4 Trả lời
15876 Views

anhtuan2b
21-05-2014

20 Trả lời
4214 Views