TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII

ĐỀ THI MÔN TOÁN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN CHU VĂN AN TỈNH LẠNG SƠN
ĐỀ THI ĐÈ XUẤT

LỚP 10

(Đề này có 01 trang, gồm 05 câu)

Câu 1 (4 điểm) Giải hệ phương trình:
 x3 − 6 x 2 + 13 x = y 3 + y + 10
, với x, y ∈ ¡ .

3
2
2
x
+
y
+
5
−
3
−
x
−
y
=
x

3 9 9

Người ra đề
(Ngô Sơn -0983706448)
Câu 4 (4 điểm) Một lớp học có 17 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Hỏi có tất cả bao nhiêu
cách xếp 37 học sinh đó thành một hàng dọc sao cho xuất hiện đúng một cặp nam - nữ thỏa
mãn nam đứng trước nữ?
Người ra đề
(Lương Quốc Tuấn -0983192113)
3
2
Câu 5 (4 điểm) Cho đa thức P ( x ) = 4 x − 54 x + 243x + m , với m ∈ ¢ . Chứng minh rằng

tồn tại n ∈ ¢ sao cho P ( n ) M821 với mọi m.
Người ra đề
(Hoàng Đức Cường -0983245181)


.....................HẾT.....................

HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN: TOÁN, LỚP:10
Lưu ý: Các cách giải khác hướng dẫn chấm, nếu đúng cho điểm tối đa theo thang điểm đã
định.
Câu

Nội dung
 x 3 − 6 x 2 + 13x = y 3 + y + 10 ( 1)
, với x, y ∈ ¡



Điểm
1

Lời giải
Từ PT (1) ta có:

( x − 2) − y3 + x − y − 2 = 0
2
⇔ ( x − 2 − y ) ( x − 2 ) + ( x − 2 ) y + y 2 + 1 = 0 ⇔ x − 2 − y = 0 ⇔ y = x − 2


3

Thế vào pt (2) được:
⇔

(

) (

5
3x + 3 − 5 − 2 x = x − 3 x − 10 x + 26 (ĐK: −1 ≤ x ≤ )
2
3

1

2


Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2;0).

1

1


0,5
2

a)
A B −C
0
0
·
·
+ CAD
= 900 − C − =
Dễ thấy ·ABS = 90 − ·ADB = 90 − ACD
,
2
2
1
¼ − »AB = B − C suy ra ·
mặt khác ·ABM = sd MAB
ABS = ·ABM suy ra B, S, M thẳng
2
2
hàng. Tương tự thì C, T, M thẳng hàng.
Mặt khác ·ASB = 2 ·ADB = ·ATC , suy ra ·ASM = ·ATM suy ra ASTM nội tiếp (1). Chú ý

2
ra AEDB nội tiếp. Tương tự thì ACFD nội tiếp.

(

)

·
·
·
·
= EAS
− ·AST = 2 BAE
− ·ABD = 2 900 − BAD
− B = 1900 − A − B = C và
Do đó, PST

0,5

·
·
·
·
·
STD
= ·ACD = C suy ra STD
= PST
= C . Tương tự thì TSD
= STP
= B.


1

là 4 nghiệm của P ( x ) thì x1 , x2 , x3 , x4 dương và theo Định lý Viet thì x1 x2 x3 x4 = 1 .
Ta có P ( x ) = ( x + x1 ) ( x + x2 ) ( x + x3 ) ( x + x4 ) suy ra

1

P ( 3) = ( 3 + x1 ) ( 3 + x2 ) ( 3 + x3 ) ( 3 + x4 )
= ( 1 + 1 + 1 + x1 ) ( 1 + 1 + 1 + x2 ) ( 1 + 1 + 1 + x3 ) ( 1 + 1 + 1 + x4 )

1

≥ 4 4 x1 4 4 x2 4 4 x3 4 4 x4 = 256 4 x1 x2 x3 x4 = 256
4
3
2
Mặt khác P ( 3) = 3 + a3 + b3 + c3 + 1 = 27 a + 9b + 3c + 82

4

b c 58
Suy ra 27 a + 9b + 3c + 82 ≥ 256 ⇔ a + + ≥
. Ta có điều phải chứng minh.
3 9 9
1...10...0
{ 011...10...0
{ { trong đó: có duy nhất một cặp (0;1), 17 chữ
Xét dãy nhị phân sau: {
x so1 x so 0

nam - nữ thỏa mãn nam đứng trước nữ là C17 .C20 .17!.20! .

1

1
1


5

Nhận xét 821 là một số nguyên tố có dạng 3k + 2 . Để chứng minh bài toán ta chứng

1

minh A = { P ( 1) , P ( 2 ) ,K , P ( 821) } là một hệ đầy đủ mod 821 với mọi m. Nghĩa là
P ( ni ) ≡ P ( n j ) ( mod 821) thì ni ≡ n j ( mod 821)
Vì ( 2,821) = 1 nên

1

P ( ni ) ≡ P ( n j ) ( mod 821) ⇔ 2 P ( ni ) ≡ 2 P ( n j ) ( mod 821) .
2 ( 4ni3 − 54ni2 + 243ni + m ) ≡ 2 ( 4n3j − 54n 2j + 243n j + m ) ( mod 821)

( 2ni − 9 )

3

≡ ( 2n j − 9 )

3

1