TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII

ĐỀ THI MÔN TOÁN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI

LỚP 10

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT

Câu 1: (4,0 điểm).
Giải phương trình:

(Đề này có 1 trang, gồm 5 câu)

( 6 − x) ( x

(

3

+ x2 + x

( x + 1) 2 + x − 2

)

)

x +1


+
+
≥ 2. 
+
+
c
a
b
c+a
a+c
 b+c


÷
÷


Câu 4 : (4,0 điểm). Trên mặt phẳng cho n đường thẳng trong đó không có hai đường thẳng
nào song song và không có ba đường thẳng nào đồng qui.
a) Hãy tính số miền của mặt phẳng được tạo thành bởi n đường thẳng đó.
b) Chứng minh rằng ta có thể tô các miền mặt phẳng trên bằng một trong hai màu sao cho
hai miền có cạnh chung thì khác màu.
Câu 5: (4,0 điểm). Cho a, b, c, d , m là các số tự nhiên và a + d , (b−1)c , ab – a + c chia
hết cho m. Chứng minh rằng abn + cn + d chia hết cho m với mọi số tự nhiên n
----------------------------Hết---------------------------GV ra đề : Đào Văn Lương ; ĐT : 0912.649.581


HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN: TOÁN, LỚP: 10
Lưu ý: Các cách giải khác hướng dẫn chấm, nếu đúng cho điểm tối đa theo thang điểm đã

(

= ( 8 x − 14 ) 2 x − 2 − x + 2

x +1

( 6 − x) ( x

(

3

+ x2 + x

( x + 1) 2 + x − 2
+ x2 + x

( x + 1) x + 1

)=

)

)

x +1

( 8x − 14 )

Điểm

3
 x 
x
⇔
+
=
2
x
−
2
+2 x −2
÷
x +1
 x +1 

1,0

 x

⇔
− 2 x − 2  g( x ) = 0 (trong đó g(x)=0 vô nghiệm)
 x +1


1,0


2−2 7
(l )
x =

OI .
b) Gọi X là giao điểm của AI và EF , Y là giao điểm của BI và DF , Z là
giao điểm của CI và DE. Điểm P bất kỳ trên đường thẳng BC ( P ≠ B, P ≠ C ,
P ∉ AI ). Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác
PDX , PEY , PFZ cùng đi qua điểm Q (Q ≠ P ) và Q thuộc một đường tròn cố
định khi P thay đổi trên đường thẳng BC.
M

A

E

L
F

K

X
Y

B

I

Z
O

C

D

3

Hơn nữa ID.I X = IE.IY = IF .IZ = IP.IQ và P thuộc đường thẳng BC, nên theo tính
chất của phép nghịch đảo, suy ra Q thuộc đường tròn là ảnh của đường thẳng BC qua
phép nghịch đảo tâm I phương tích ID.I X .
Câu 3: (4,0 điểm). Cho a , b , c ≥ 0 . Chứng minh rằng

a+b
b+c
c+a
a
b
c
+
+
≥ 2. 
+
+
c
a
b
c+a
a+c
 b+c

1.0


÷
÷


(

)

(

)

(

x− y

)

2

≥0

1,0

Do đó ta có bất đẳng thức i) và ii) :
a b
1  a
b
a+b
+ ≥
. 
+
=

a  b
b  c
c 
a+b
b+c
c+a
. 
+
+
+
+
+
≥
+
+
Suy ra :
÷

÷

÷


c÷
a÷
b÷
2  b
c
a
b

a
≥ 2. 2.
b
b+c
b
b
≥ 2. 2.
a
c+a

1,0


b
b
b
+
≥ 2. 2.
c
a
c+a
 a
a  b
b  c
c
+
+
+
+
+


a+b
b+c
c+a
a
b
c 
+
+
≥ 2. 
+
+
÷
c
a
b
c+a
a+c ÷
 b+c


1.0

1.0

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : a = b= c .
4

Câu 4 : (4,0 điểm). Trên mặt phẳng cho n đường thẳng trong đó không có hai
đường thẳng nào song song và không có ba đường thẳng nào đồng qui.

n ( n + 1)
n
+n+2
⇒ Sn =S1+2+3+…+n =
+1 =
; ∀n ≥1
2
2

1.0


b) Ta đi chứng minh bài toán bằng phương pháp qui nạp theo n.
Với n = 1 bài toán hiển nhiên đúng.
Giả sử bài toán đúng với n , ta cần chứng minh bài toán đúng với n+1. Xét các
miền mặt phẳng tạo bởi n đường thẳng đầu tiên a1; a2;..anTheo giải thiết qui nạp ta
có thể tô Sn miền này bằng hai màu thoả mãn điều kiện đề bài.
Theo lập luận của câu a) đường thẳng an+1 bị n đường thẳng a1;a2…an chia thành

1.0

n+1 đoạn và mỗi đoạn thuộc vào một miền của Sn và chia mỗi miền này thành 2
miền mới.
Ta giữ nguyên màu của toàn bộ các miền nằm ở nửa mặt phẳng phía trên của
đường thẳng an+1 và đổi ngược màu của mỗi một miền nằm ở nửa mặt phẳng
phía dưới của đường thẳng an+1. Rõ ràng lúc này toàn bộ Sn+1 miền được tô bẳng

1.0

hai màu và cứ hai miền chung cạnh thì khác màu.