LÊ HỔNG ĐỨC

/U '^riịí™

PHƯONG PHÁP

G IẢ I BÀI TẬP
T R Ắ C N G H IÊM

ĐẠI SỐ
VÀ GIẢI TÍCH

ĐM
ODG
H á MỌI

NHÀ XUÂT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


LÊ BÍCH NGỌC - NGUYÊN VỈẾT HOA
LÊ HỔNG ĐỨC - LÚ MỨU TRÍ

IMIl OM , PH ÁP
OIẢI BÀI TÃ P TRẮC

n g h iệ m

Đ Ạ I SỐ
VÀ

G IẢ I TÍCH 11


Dây chím
1.

tô xung
ới
ptép

đúng

tô để đảm
học sinh
quanh

nhữnghọc
thử
bằngtay

- diêm. Thí dụ
2

hiện

lời

giảitự

lại.
làyểu
Vóinhững

B. X= 5.
c . X= 4.
D. x = l .
C kiì
ỉ:Thực hiện phép thừ bằng
X= 0, X= 5, X= 4, X= 1, cụ thể:
■ Với X= 0, ta được:
Võ = 2 - 0 , mâu thuần X= 0 không là nghiệm.
■ Với X= 5, ta dược:
41 = 2 - 5 = - 2.mâu thuẫn => X= 5 không là nghiệm.
■ Với X= 4, ta được:
V4 = 2 - 4 = - 2 , mâu thuẫn => X= 4 không là nghiệm.

,ta các em


■ Với X = 1, ta được:
v r =2 —1 = 1. đúng => X = 1 là nghiệm.
Vậy, các em sẽ lựa chọn câu trả lời trắc nghiệm là X = 1.
Cách
2:Sử dụng máy tính fx - 570MS bàng cách lần lượt thực hiện:
Nhập phương trình Vx - 2 + X = 0 vào máy tính bằng cách ấn:
ALPHA
f l [ALPHA
Để thử với X = 0, ta ấn:
-2
ịCALQO
Để thử với X = 5, ta ấn:
5.236067978
CALC 5

th iệ u

điểm.
vớinhững học
này,Nhỏm
tớibạn

GIẢI BÀI T Ậ P TRẮC NGHIỆM TOÁN T IIP T
do Thạc
sĩ Toánhọc Lê Hồng Đức chủ
Bộ sách gồm
6 cuốn:
Cuốn 1: Giải bài tập trắc nghiệm Đại số 10
Cuốn 2: Giải bài tập trắc nghiệm Hình học 10
Cuốn 3: Giải bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích11
Cuốn 4: Giải bài tập trắc nghiệm Hình học 11
Cuốn 5: Giải bài tập trác nghiệm Đại số và Giải tích12
Cuốn 6: Giải bài tập trắc nghiệm Hình học 12

sinh

Cự Mô
dọcbộ
b

Cuối cùng, cho dù dã rất
cỏ gắng,nhưng thật khó tránh
những
bâi những
lìiểu


Số nhò nhất (nếu có) trong các sô' T có các tính chất trên gọi là
kỳ cơ
của hàm tuần hoàn f(x).
Chú
ý:(Các
dấu
hiệu
đề biếthàm
số f(x) không phái là hàm tuần hoàn khi một trong các điều kiện sau bị vi phạm:
1. Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn.
2. Tồn tại sô' a sao cho hàm sô' không xác định với X > a hoặc X < a.
3. Phương trình f(x) = k có nghiệm nhưng sô' nghiệm hữu hạn.
4. Phương trình f(x) = k có vô sô' nghiệm sắp thứ tự .. < xn < xn+ 1 < .. mà
x „ - x n+, |- * 0 hay 00.
2.

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC BIẾN s ố THựC

Các hàm sô' sau được gọi là
hàm số lượng giác):
1. Hàm sô' y = sinx, có tập xác định D = R.
2. Hàm sô' y = cosx, có tập xác định D = R.

cáchàm

3.

Hàm số y = tanx, có tập xác định D = R\( —+ kTt,


n/2
1

y

0 n = ^>
u

n/2

n

>*1

y

0

-(r

"*■ 0

- 1 ^

\

1

o


•
6

Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kỳ TC.

z }.


Do đó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sỏ y = tanx trên R ta chỉ cần
kháo sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [0. — ). sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc o ,
z
ta được đổ thị trên đoạn

cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái và

sang phái theo trục hoành những đoạn có độ dài 7t, 27t,...
7t
Xét hàm sô y = tanx trên [0. -- ).
2
Chiều biến thiên: Dựa vào đường tròn lượng giác ta được:
0
X -Till
o
71/2
y

+00

y


Do đó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = cotx trên R ta chỉ
cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trẽn đoạn (0, —], sau đó lấy đối xứng đồ thị qua
gốc o , ta được đồ thị trên đoạn [“

2

, —], cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được

2

sang trái và sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài 7t, 2n,...
Xét hàm số y = cotx trên (0, —].
Chiều biến thiên: Dựa vào dường tròn lượng giác ta được:
0
X 0
71/2
X -71/2
4-00 .------“=í> V 0 ^
V
1 +00'^'
y
—* 0
J
"*-<*> 1

71/2

7



A. R\{2k7t, k € ZỊ.
B. R\Ị — + 2kĩt, k
2

z Ị.

D. R\| — + kn, k e z ).
4

Bài 2: Tim tập xác định của các hàm số sau:
a.

y = 1 -sin x ■
1 + cos X

A. R\{71 + 2kĩt, k 6 Z).

c . R\(2k7ĩ, k e Z}.

B. R\{ - + 2k7t, k e Z |.

D. R\{ — + 2k7t, k € z I.
2

4

b. y = tan(2x + —).
A. R\ị - +k7t,k e Z).

c . R\( — + k —, k ẽ Z |.

/

B. Lẻ.

c . Không chẵn, không lẻ.

B. Lẻ.

c . Không chẩn, không lẻ.

= tan ịIxl.
I

A. Chẵn.

Bài 4: Xét tính chất chẩn - lé của các hàm số sau:
a. y = tanx - sin2x.

A. Chẩn.

B. Lé.

c . Không chẵn, không lẻ.

A . Chẩn.
B. Lẻ.
c. y = sinx.cos’x + tanx.

c , Không chẩn, không lẻ.


= 4l
y = 4sin 44.

A. yMax
B. yMax

+
-

1.
-1.

c . yMax '= 3 và yMin = 1.
D. yMax := 5 và yMin = 3.

1 -

1 và yMm
^*
1 và yMin — —1-

A. yMax = 0 và yMm= -4.
B- yMax = 1 và yMjn= 0.

c . yMax :=
D. yMax :=

4Ĩ
4Ĩ



V

A. - 2 .
B. V ã / 2 .
Bài 8: Tim tập giá trị của hàm số:
a. y = 2sin2x + 3.
Á. [0; 1],
B. [2 ; 3].
b. y = 1 - 2 I sin3x I.
A. [-1 ; 1],

B. [0:1].

c . -1 .

D. 0.

c . [- 2 ; 3],

D. [1 ; 5].

c.

[-1 ; 0 ],

D. [-1 ; 3],
9




n
2 ;T

;

A. Đúng.
B. Sai.
c. Trên mỗi khoảng mà hàm số y = tanx đổng biến thì hàm số y = cotx
nghịch biến.
A.
Đúng.
B. Sai.
d. Trên mỗi khoảng hàm số y = siru đồng biến thì hàm số y = cosx nghịch
biến.
A.
Đúng.
B. Sai.
e. Trên mỗi khoảng hàm số y = sin2jc dồng biến thi hàm sô y = coslr
nghịch biến.
A. Đúng.

B. Sai.


§2 PHIÍONG TRÌNH LIÍỌMG GIÁC

c o

BM

■ sinx = 1 <=> X = — + 2k7ĩ, k e z.
2
.
,
n
sinx = -1 <=> X = - — + 2kn, k e z.
2
Bài toán 2: Phương trình cosx = m.
Phương pháp chung
Ta biện luận theo các bước sau:
Bước
ỉ .Nếu I m I > 1 phương trình vỏ nghiệm.
Bước
2.Nếu I m I

c.

X =

D.

X

+

6

= —

6

lOkrc và

X

=

X =

+ 10kn và

X

=


= - 1 1 ^ + 10k7t và
6

I
10
3n
5

+

X

_

II
X

B.

_

c. X= — + — , X=
á

sin4x = sin—.
5
71
k7T
71 kn

2
10

—

—


A.
B.
.
b. cos
A.

\ = ± 4 Ĩ + kĩt, k e z.
= ±2 V2 + krc, k e z.

X

i

n
18

X+ —

X

c . X = ± V2 + 4krc, k e z.
D. X = ±2 V2 + 4k7t, k 6 z.

A „ _ 1 l ĩ t . . ..
771
A.
X, = — — và X, = — .

c . X, = — — và Xị = -----

D
_ llrc .
7tc
B. X| = —— và X, = — .

„
117t .
D. X, = —— vàX, =
12

12

2

12

b.

12

12

„

c 137t
=5+—
— và- x2 =5-

f,

_ c llTT
' 6

c .

X, = 5 — —

rk

1 lít

1371

và X j = 5 -t —

.

L 1371

D. X, =5+—— và x2 =5 + —'
6
6

Bài 14: Giải các phương trình sau:

5

.

_ 2n

kTt .„

A. X= ——+ ——, k 6 z.
5
3

c.

T>

..
_ 71 k7t, '
D. X= — + — , k e z.

_ 271

kn

B. x = — + — , k ẽ Z .
5
4

x= — +
30

3

c. X=—
—+
18

D. X= — +
18

'3

6

2^^

3

6

và X- - —

và X= - — + 2kn, k e
6

+2k7t, k e z.

z.

b. tan(2x + 45°).tan( 180° - - ) = 1.
2

B. X= ± - arccos-j-+ kn, k e z.
D. X= ± —arccos- + kn, e z.
3
2
2
3
Bài 17: Tim nghiệm của các phương trình sau trên khoang đã cho:
a. tan(2x - 15") = 1 với -180" < X < 90".
=-150’
B. x = -£ ơ ’.
1 ,. n
=
với
< X < 0.
V3
2
4n ,
Jt
A. X, = - —- và X-, = —.
9
9
4n ,
7t
Tỉ
_ —
4Tt
B. X.I =
— và X-,3 = ——
- —.
2

=

140" ' à

C* 35".

c.

B

=

125" và

C* 35".

D.  * 80", B = 65" và C * 35" hoặc  * 30",
B
Bài 19: Tim tập xác định của mỗi hàm sô sau (với k e Z):
1 - cos X
a. y =
2 sin X+ V2

=

115" và

C* 35".

 * 90", B = 55" và C * 35" hoặc  * 20",


D. R\Ị 2kn Ị, với k e z.

A. R\{ — + k7t, — + kĩt I.
2
4

c . R\| — + 2kn, - — +2k7t|.

B. R\{ — + kn,
2

D. R\( - + 2kn, - + 2kn}.
2
4

4

+ kĩt}.

2

4

15


d. y =
v3cot2x +1
A. R\{ — , - — + — }.

d(t) = 3sin - ^ - ( t -8 0 ) + 12 với t 6 z và 0 < t < 365.
182
a. Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt tròi vào ngày nào trong
năm ?
A. 262.
B. 266.
c . 281.
D. 292.
b. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời
nhất ?
A. 365.
B. 353.
c . 235.
D. 153.
c. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt
trời nhất ?
A. 217.

B. 117.

c.

271.

D. 171.

§3 MỘT S ố DẠN® PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC BƠN GIẢN
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Dang 1: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

.
b
----- . r sinx + —= = = = rCOSX -■ ■=
2,. / ■> ,2
Va + b
Va+b
Va

. ta được:
c
= = •
2 ,2
+b

Vì ( — :d
)2 + ( ——ÌL— )2 = 1 nén tồn tại góc a .¿ao cho
V a^ T b 2
V72 + b 2
a
b
—r=
— - = cos a, .
= sin a .
Va2 -+ b 2
Va2 + b 2
Khi dó phương trình (1) có dạng:
... . „ .........,
_..
c
... ..

Cách 3; Với những yêu cầu biện luận tính chất nghiệm của phương trình trong
(

I .Với cosx = 0 <=> X = - + k7T, k € z.

Bước

Khi đó phương trình (1) có dạng a = d.
Nếu a = d, thì (1) nhận X = — + kíĩ làm nghiệm.
Nếu a * d, thì (1) không nhận X = - + krt làm nghiệm.
V
2. ới cosx * 0 <=> X * — + kĩt, k e z.

Bước

Bước
Cách

2

Chia hai vế của phương trình (1) cho cos2x * 0, ta được
atan2x + btanx + c = d(l + tan2x)
Đạt t = tanx, phương trình có dạng:
(a - d)t2 + bt + c - d = 0
G
3. iải phương trình (2) theo t
2:Sử dụng các công thức:

•2

l-co s2 x
2

Bài 21: Giii các phương trình sau:
X =

B.

X

± — + 2krc, k
6

= ± — +k7T.
6

k

N.

6

€ N.

V3 tan3x - 3 = 0.
n kTĩ ,
A. X =
+ — ,k € N.
9
9
n k7t 1 KI
+ — , k e N.
9

k7i

+ —- ,
3
9
71 k n
-----ĩ
3
3

X

= - — + — , k e N.

= 0.
r,

c.

N.
KI

= 2krc, k e N.

n
3

8

kn .


= — + 2kK, k e N.
2

c.

X = — +k7i và X = — + k n .

A.

X=

2

c.

X

c. x =

D
nk7.t 1
B. x= — + —- , k e N
8
3
Bài 22: Giii các phương trình sau:
a. 2cos2x - 3cosx + 1 = 0 .
A.

c.


3

6

D. X = — +2k7T v à X = — + 2 k 7 t.
4
6
4
3
Bài 23: Giải các phương trinh sau trên khoảng đã cho rồi dùng bảng số hoặc
máy tính bo túi để tính gần đúng nghiệm của chúng.

/

\

a. 3co>2x + lOsinx + 1 = 0 trên - —; — .
I 2
A.

X«

-0,34.

B.

X

* -0,32.


1,68.

A. X 35 0,21.
B. X =E 1,21.
c. cot2x - 3cotx - 1 0 = 0 trên(0; 7t).

X

« 1,2 v à

X 35

1,6 8 .
71

d. 5 - 3tan3x = 0 trên

D. x*0,12.

7t

6 6
’

A. X 35 -0,34.
B. X * -0,24.
Bài 24; Giải các phương trình sau:
a. 3cosx + 4sinx = -5.
A.

X

=

c . X 350,24.

3
c . X = n - a + 2kĩt, k € N với — = cosa.
*5

D. X = 71 - a + 2kn, k e N với —= sina.
b. 2sin2x - 2cos2x = V2

1371

24
24
c. 5sin2x - 6cos2x = 13.

A. X = k7ĩ, k e N.
B. X = 2k7t, k e N.

+ kTt.

_

II

+ k7t, X =


X

n

6
6
7t
2n
+ k7ĩ, X = —
3
3

= 7t + 2k7i, k e N.

D. Vô nghiệm.
Bài 25: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:
a. a.sinx + b.cosx (a, b là hằng số, a2 + b2 * 0).

A. PM#X= Va + b và PMm= -V a + b .
B.
+ b2
b 2 và PMjn
in = -V
- Vã
B- PMaxax = Va +
a +b2.
c. PMax= Va2 +b và PMin= -V a 2 + b.
P\1ax 20

V/a2 + b 2

QVIk= 2+

a. 2sin2x + 3 -/3 sinx.cosx - cos2x = 4.
A.

X

= — +k7t, k e N.
4

B.

X

=

c.

X

=

7t

—

3

+ ktt, k e N.


3
3
c.

siirx

+ sin2x - 2cos2x =Ị .
2

A.

X

= - — + k7i và
4

B.

X

= — +kn và
4

c.

X

= — +k7t và X = arctan5 + k7t, k e N.
4


B.

=

kĩt

2

kĩt

X = —- .

4

c.

X = k7t.
X = —

_
D.

,

và

n

X = —


2
3
„
kĩt
kĩt
B. X = —— và X — ——.
2
5
b. sinx + sin2x = cosx + cos2x.
.
7t 2k7i
A. X —— + ——• và X = 71+ k7t.
6
3

B. X = — +

——— v à X = 7Ĩ + 2kĩt.
6
3
Bài 29: Giải các phương trình sau (với k
a. sin24x + sin23x = sin22x + sin2x.
.
kn „
k7t
A. X = — và X = ——
2
3
„
kĩt „

và X = ——
3
5

D. Vô nghiệm.
„

n

c . X = — +2k7t và X = —- +2k7t.

6

6

D. Vó nghiệm.
e N):
_
kn v
k7t
c . X = —— và X = ——
3
5

D. Vô nghiệm.

cos24x =
It k i
c . X = ——+ ——
4

2

c.

X =

D.

X = k7i v à X =

c.

+ k7t v à X =

3

4

+kn.

+ k7t.

D. X=

kn


c.

tan.x + cot2x = 2cot4x.


3

n

B. X = ± — + krt.

D. X = — + k7i và X =
6
3

4
h.

(tar.x + cotx)2 - (tanx + cotx) = 2.
n

A. X = — + kn.

c . X = — + k7l.
3

6

*

B. X= — + krt.
4
c.


D. Vỏ nghiệm.

X

= 90" và

X

= 270".

h. tam + 2cotx = 3, 180" < X < 360".

A.

X=

B.

X=

205" và

X *

213,435".

c . X = 215" và X * 233,435".

220" và X * 223.435".
D. X = 225" và

IN.

D. X = arctan2 + — và X = arctan3 + — •, k e N.
2

c.

2

2sin2x + (3 + V3 (sinx.cosx + ( V.3 - 1)cos2x = -1.
t
71
c. X = -‘■ị7.[ . +. kn, X =- 7—
+.krt.
A. X = -7 + k7i,
K71, X = — + k7t.
6

B. X = — + kn, X = - — + kn.
6
4

4

6

4

D. Vô nghiệm.


7t
71
ktx
n kn
A
A. X =: —• + — ., X = — + ——. c. X = ——+ — , X = ""
16
2
8
16
2
8
2
7t
kTt
71 kTt
B. X =
, X = — + — . D. Vô nghiệm.
: 16 + T
8
3
Bài 36; Giải các phương trình sau (với k e N):
1
1
2
a.
+ ----sin2x Cơs2x sin4x
2n
+ 2k7T.
A. X = — + 2k7ĩ.

. ,
. , _ 1
a. sin2x + sin X = —.
A
A.

,,

___ 1 kn
= arctan — + —
2
2
D. Cả A, B, c .

_ 1
"
1
k7ĩ
X = - a r e la n - + — -

2

2

c.

2

B. X = arctan2 + k7Ị.
b. 2siirx + .vsinxcosx + cos2x = 0.

2
D. Vó nghiệm.
Bài 3C. Ciiải các phương trình sau (với k e N):
l + cos2x
sin2x
a.
cosx
1-c o s2 x

A.

X

= —+ 2kn, x =
4A

—— +
4

2kn.

c.

B. X = k n .
, sin ' X + eos.’ X
b. --— ----- —— = cos2x.
2 eos X - sin X

X= — +
^


D. X = — + k7i và X = arctan — + kn.
4
2
Bài 3*: Một vật nặng treo bởi một chiếc lò XO, chuyển động lên xuống qua vị
trí câr bằng (hình vẽ trong sgk). Khoảng cách h từ vật đó đến vị trí cân băng ở
thời đem t giây được tính theo công thức h = I d I trong đó:
d = 5sin6t - 4cos6t,
với d lược tính băng xentimet, ta quy ước rằng d > 0 khi vật ở phía trên vị trí
càn bàig, d < 0 khi vật ở phía dưới vị trí cân bằng. Hỏi
a. ơ vào thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở vị trí cân băng ?
A. t * 0,11 hoặc t ~ 0,64.

c . t * 0,11 hoặc t * 0,15.

B. t

D. Vô nghiệm.

0.15 hoặc t

0,64.

25