Mục lục

Lời cảm ơn

3

Mở đầu

4

1 Một số kiến thức chuẩn bị

6

1.1

Không gian tuyến tính định chuẩn . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Hàm lồi trên R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8


Hàm lồi khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3

2 Tính lồi của hình cầu đơn vị
2.1

2.2

22

Một số khái niệm về tính lồi trên không gian Banach . . .

22

2.1.1

Không gian lồi chặt và không gian lồi đều . . . . .

22

2.1.2

Modun lồi của không gian Banach . . . . . . . . . .

24



2.2.3

Đặc trưng của không gian siêu phản xạ . . . . . . .

3 Modun lồi và không gian có cấu trúc chuẩn tắc
3.1

35

Modun lồi và không gian có cấu trúc chuẩn tắc . . . . . .

35

3.1.1

Số đặc trưng của cấu trúc chuẩn tắc . . . . . . . .

36

3.1.2

Điều kiện đủ của hàm modun lồi để không gian có
cấu trúc chuẩn tắc đều . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.3
3.2

30


Sơn la, tháng 5 năm 2015.
Người thực hiện
Sinh viên: Trần Thị Hằng

3


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết về các tập lồi và hàm lồi có một ví trí quan trọng trong toán
học, nó liên quan đến hầu hết các ngành của toán học như giải tích hàm,
hình học, toán kinh tế, giải tích lồi, tối ưu phi tuyến... Một cách tổng quát,
tính lồi trong không gian Banach và ứng dụng làm cho chúng được sử dụng
rộng rãi trong toán học lý thuyết và toán học ứng dụng.
Ở trường ĐH Tây Bắc đề tài nghiên cứu về tính lồi của không gian
Banach và những ứng dụng của nó vẫn chưa được nghiên cứu nhiều, gây
khó khăn cho sinh viên khi tìm tài liệu tham khảo, đặc biệt đối với sinh
viên lớp Toán, khoa Toán - Lý - Tin.
Xuất phát từ lí do đó chúng em mạnh dạn nghiên cứu đề tài: Nghiên
cứu một số tính lồi trong không gian Banach và ứng dụng.
2. Mục đích, đối tượng, nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu, giới
hạn phạm vi nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu một số kiến thức chuẩn bị liên quan đến tính lồi. Từ đó nghiên
cứu về tính lồi trong không gian Banach và ứng dụng.
2.2. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của khóa luận là tính lồi trong không gian Banach
và ứng dụng
2.3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích như trên, tôi đã đặt nhiệm vụ tìm hiểu và trình bày lại


Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày về các định nghĩa và tính chất
của không gian Banach, không gian Hilbert,... làm cơ sở cho những nghiên
cứu của các chương sau. Trước hết là khái niệm về không quan định chuẩn
quan trọng sau.
1.1

Không gian tuyến tính định chuẩn

Định nghĩa 1.1.

Ta gọi hàm

. : E → R là một chuẩn trên không

gian vector E nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
1)

x ≥ 0 với mọi x ∈ E và

2)

λx = |λ|

3)

x+y ≤ x

x = 0 ⇒ x = 0,



c) Tập hút nếu với mỗi x ∈ E đều tồn tại số ε > 0 sao cho λx ∈ X với mọi
λ ∈ K mà |λ| ≤ ε.
Định nghĩa 1.4. Không gian vector E cùng với một chuẩn

.

đã cho

trên E được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn, hay thường gọi
là không gian định chuẩn.
Chú ý rằng mọi không gian định chuẩn đều là không gian metrix với khoảng
cách sinh bởi chuẩn:
d(x, y) := x − y ,

x, y ∈ E.

Như vậy, trong không gian định chuẩn chúng ta có khái niệm về giới hạn
của dãy điểm, dãy Cauchy, về tập mở, tập đóng, tập compact, tập bị chặn,
tập hoàn toàn bị chặn, về giới hạn của ánh xạ giữa các không gian định
chuẩn.
Định nghĩa 1.5.

Không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là không

gian Banach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không
gian metric đầy.
Từ Ví dụ 1.2 và định nghĩa trên, chúng ta có ví dụ sau về một số không
gian định chuẩn thường gặp.

y

| ≤ x − y = d(x, y) = δ = ε.

. : E → R liên tục đều trên E

Chứng tỏ hàm
1.2

−

Hàm lồi trên R
Định nghĩa

Hàm f : I −→ R xác định trên một số khoảng của R, trong đó I có thể là
khoảng mở, nửa mở, đóng hữu hạn hoăc vô hạn ( I có thể là một điểm).
Khi đó hàm f là hàm lồi nếu:
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)

(1.1)

x, y ∈ I, λ ∈ (0, 1) (có thể lấy λ ∈ [0, 1]).
f gọi là lồi nghiêm ngặt nếu BĐT (1.1) nghiêm ngặt vớix = y.
Ý nghĩa: Nếu P, Q, R là ba điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số f , với Q nằm
giữa R và P thì Q nằm trên hoặc dưới cung P R.
Về độ dốc, ta có:
Độ dốc P Q ≤ độ dốc P R ≤ độ dốc QR.

(1.2)


) ≤ f(
+ t) + f (
− t).
2
2
2
2
2

Hoặc :
f(

a+b
a+b
a+b
+ t) ≥ 2f (
) − f(
− t).
2
2
2

Mặt khác
−f (

a+b
− t) ≥ −M.
2

Do vậy:

z=y+

|y − x|

(y − x), λ =

|y − x|
.
+ |y − x|

Khi đó: z ∈ [a − ; b + ], y = λz + (1 − λ)x và ta có:
f (y) ≤ λf (z) + (1 − λ)f (x)
= λ[f (z) − f (x)] + f (x).
|y − x|
f (y) − f (x) ≤ λ(M − m)
0, ∃δ > 0 sao
cho: bộ

{(ai , bi )}ni=1

n

của khoảng con mở, rời rạc [a; b] với




tăng lên khi x ↑ y và bên phải giảm khi z ↓ y và phải đảm bảo rằng f− (y)
và f+ (y) tồn tại, thỏa mãn:
f− (y) ≤ f+ (y).

(1.5)

Kết quả được giữ cho ∀y ∈ I o . Hơn nữa, sử dụng (1.4) ta có:
f+ (w) ≤

f (x) − f (w) f (y) − f (x)
≤
≤ f− (y)
x−w
y−x

(1.6)

với bất đẳng thức nghiêm ngặt nếu f là lồi nghiêm ngặt. Kết hợp với (2.5)
ta có:
f− (w) ≤ f+ (w) ≤ f− (y) ≤ f+ (y).
Thực tế, kết quả của định lý (1.9) có giá trị cho toàn I.
Ví dụ 1.10. : Nếu I = (a; b] thì f− (b) ít nhất tồn tại ở vô hạn và f− tăng
trên (a; b].
Một số tính liên tục quan trọng khác của f− và f+ . Đặc trưng không
đổi của f+ là giới hạn của f+ tồn tại khi x ↓ w. Từ bất đẳng thức
f+ (x) ≤

f (y) − f (x)

(1.7)

lim f+ (x) = f− (w).

(1.8)

x↓w

Tương tự, ta có
x↑w

Ta có thể chỉ ra rằng (1.7) và (1.8) tại các điểm cuối bên trái và phải của
I, tương ứng với điều kiện rằng f là xác định và liên tục ở đó. Đẳng thức
(1.7) và (1.8) giữ cho các giới hạn trái và giới hạn phải của f− (x).
11


Định lý 1.11. Nếu hàm f : I −→ R là lồi trên khoảng mở I, thì tập E
trong đó f không tồn tại là đếm được. Hơn nữa f là liên tục trên I \ E.
1.2.3

Đặc trưng hàm lồi

Định lý 1.12. Hàm f : (a; b) −→ R là lồi (lồi nghiêm ngặt) khi và chỉ khi
có một hàm tăng (tăng nghiêm ngặt) g : (a; b) −→ R và một điểm c ∈ (a; b)
sao cho:

x

∀x ∈ (a; b) : f (x) − f (c) =

αx+βy

g(t)dt − α

αx+βy

g(t)dt.
x

Ta thay thế hai tích phân bởi g(αx + βy) không đổi, nó là giá trị nhỏ nhất
của tích phân đầu và giá trị lớn nhất của tích phân thứ 2. Vế phải:
βg(αx + βy)[y − (αx + βy)] − αg(αx + βy)[αx + βy − x]
tiến đến 0. Do đó:
αf (x) + βf (y) − f (αx + βy) ≥ 0.

12


Tương đương với bất đẳng thức xác định tính lồi.
Cuối cùng, f là lồi nghiêm ngặt khi g tăng nghiêm ngặt.
Định lý 1.13. Giả sử f khả vi trên (a; b). Khi đó f lồi (lồi nghiêm ngặt)
khi và chỉ khi f tăng(tăng nghiêm ngặt).
Định lý 1.14. Giả sử f tồn tại trên (a; b). Khi đó, f lồi khi và chỉ khi
f ≥ 0 và nếu f > 0 trên (a; b) thì f là lồi nghiêm ngặt trên khoảng đó.
1.3
1.3.1

Hàm lồi trên không gian tuyến tính định chuẩn
Định nghĩa


n

αi = 1 thỏa mãn hàm lồi. Khi đó:
i=1
n

n

αi xi ≤

f
i=1

αi f (xi ).
i=1

13

(1.11)


Nếu 1.10 thỏa mãn với dấu ” < ” đối với ∀x1 , x2 ∈ U ; x1 = x2 , 0 < λ < 1
thì được gọi là hàm lồi chặt trên U.
Nếu f là hàm lồi trên tập mở U ⊆ L và nếu x0 ∈ U , ta có thể sử dụng
những gì đã biết về độ hàm lồi với biến số thực bằng cách chú thích cho y
tùy ý y ∈ L, g(t) = f (x0 + ty) là lồi với t ∈ (a; b) chứa gốc tọa độ.
1.3.2

Tính liên tục của hàm lồi


Hơn nữa:
f (v) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (z) ≤ B + f (z).
Vậy là, f bị chặn trên ở trên M và bằng chứng minh tương tự f cũng bị
chặn dưới trên M.

14


Một hàm được định nghĩa trên tập mở U được cho là địa phương Lipschitz nếu ở mỗi điểm x ∈ U , có một lân cận N (x) và một hằng số K(x)
sao cho: nếu y, z ∈ N thì
|f (y) − f (z)| ≤ K y − z .
Nếu bất đẳng thức này thỏa mãn khắp tập V ⊆ U , trong đó K độc lập
với x thì ta nói f là Lipschitz trên V .
Định lý 1.16. Cho f là lồi trên tập mở U ⊆ L. Nếu f bị chặn từ trên
trong một lân cận của một điểm của U , thì f là Lipschitz địa phương trong
U ; do đó lipschitz trên bất kỳ tập con compact của U .
Chứng minh. Từ Định lý (1.16) f bị chặn địa phương, vậy là đã cho x0 .
Ta có thể tìm một lân cận N2 (x0 ) ⊆ U trên đó f bị chặn bởi M . Khi đó
f thỏa mãn điều kiện Lipschitz được phát biểu trên N (x0 ).
Nếu không ta chọn x1 , x2 ∈ N (x0 ) sao cho:
f (x2 ) − f (x1 ) 2M
>
.
x2 − x1
Ta có thể chọn λ > 0 sao cho x3 = x2 + λ(x2 − x1 ) ở trong N2 (x0 ) và sao
cho x3 − x2 = . Bởi vì f lồi trên đường đi qua x1 , x2 và x3 . Ta có thể
dùng những hiểu biết về các hàm lồi trên một đường để viết:
f (x3 ) − f (x2 )
f (x2 ) − f (x1 ) 2M
≥

1

≤ max {f (0), f (αe1 ), ..., f (αen )}.
Do đó f bị chặn trên V 0 .
Nhận xét:
• Nếu f và g lồi trên U , α ≥ 0 khi đó f + g, αf , f ∨ g = max(f, g) là
các hàm lồi.
• Nếu hàm fα : Uα −→ R lồi và U =

Uα = Ø thì tập con của U trên

đó f (x) = supα fα (x) < +∞ lồi và f là lồi trên đó.
• Cho fn : U −→ R là một dãy các hàm lồi hội tụ tới một hữu hạn hàm
giới hạn f trên U . Khi đó f lồi.
• Cho f : U −→ R, g : V −→ R lồi, trong đó giá trị (f ) ⊆ V ⊆ R và g
tăng. Khi đó g ◦ f lồi trên U .
1.3.3

Hàm lồi khả vi

Định lý 1.19. Giả sử f xác định trên tập lồi mở U ⊆ L. Nếu f lồi trên
U và khả vi tại x0 , thì cho x ∈ U
f (x) − f (x0 ) ≥ f (x0 )(x − x0 ).

(1.12)

Nếu f khả vi khắp U thì f lồi khi và chỉ khi 1.12 đúng cho ∀x, x0 ∈ U .
Hơn nữa, f lồi nghiêm ngặt khi và chỉ khi bất đẳng thức là nghiêm ngặt.
16


f là đơn điệu tăng nghiêm ngặt nếu bất đẳng thức trên nghiêm ngặt đối
với x = y.
17


Định lý 1.20. Cho f : U −→ R liên tục và khả vi trên tập mở U ⊆ L. Khi
đó f lồi (lồi nghiêm ngặt) khi và chỉ khi f là đơn điệu (đơn điệu nghiêm
ngặt) tăng trên U .
Chứng minh. Cho một hàm lồi khả vi trên U . Từ Định lý (1.20) ta có
f (x) − f (y) ≥ f (y)(x − y)
f (x) − f (x) ≥ f (x)(y − x).
Thực hiện phép cộng và đơn giản biểu thức ta thu được kết quả mong
muốn, bất đẳng thức nghiêm ngặt khi f lồi ngặt.
Giả sử f là đơn điệu tăng. Cho φ : [0, 1] −→ R được định nghĩa:
φ(λ) = f [λx + (1 − λ)y]
cho 0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ 1, U1 = λ1 x + (1 − λ1 )y và U2 = λ2 x + (1 − λ2 )y, khi đó
U2 − U1 = (λ2 − λ1 )(x − y), do đó:
0 ≤ [f (u2 ) − f (u1 )][u2 − u1 ] = (λ2 − λ1 )[f (u2 ) − f (u1 )](x − y).
Đảm bảo rằng f (u1 )(x − y) ≤ f (u2 )(x − y). Áp dụng quy tắc bắc cầu:
φ (λ1 ) = f (u1 )(x − y) ≤ f (u2 )(x − y) = φ (λ2 ).
Từ đó f là hàm lồi (lồi nghiêm ngặt nếu bất đẳng thức là chặt chẽ) nên ta
có thể viết:
f [λx + (1 − λ)y] = φ(λ)
= φ[λ(1) + (1 − λ)(0)]
≤ λφ(1) + (1 − λ)φ(0)
= λf (x) + (1 − λ)f (y).

Định lý 1.21. Cho f khả vi liên tục và giả sử đạo hàm cấp hai tồn tại
khắp tập mở lồi U ⊆ L. Khi đó f lồi trên U khi và chỉ khi f (x) không âm
xác định ∀x ∈ U . Và nếu f (x) dương, xác định trên U thì f lồi nghiêm

n

φ(h) = φ
i=1

1
hi nei
n

1
≤
n

n

φ(hi nei ).
i=1

Bây giờ
φ(hi nei ) = f (x0 + hi nei ) − f (x0 ) − fi (x0 )hi n.
Từ định nghĩa đạo hàm riêng, ta có
φ(hi nei )
= 0.
hi →0
hi n
lim

19



Từ định nghĩa của φ và các tính lồi
0=φ

h + (−h)
1
≤ [φ(h) + φ(−h)].
2
2

Hoặc φ(h) ≥ −φ(−h). Do đó
− h

φ(−hi nei )
≤ −φ(−h) ≤ φ(h) ≤ h
hi n

φ(hi nei )
.
hi n

Suy ra
φ(h)
= 0.
→0 h

lim (h) = lim

h →0

h

 11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .




. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


fn1 (x) fn2 (x) ... fnn (x)
xác định không âm đối với mỗi x ∈ U . Hơn nữa, nếu ma trận Hessian xác
định dương trên U thì f lồi nghiêm ngặt.

21


Chương 2

Tính lồi của hình cầu đơn vị
Lớp của không gian Banach có cấu trúc chuẩn tắc là một lớp đủ tốt theo
nghĩa trong lớp này mọi không gian chỉ chứa các tập lồi bị chặn tầm thường
chứa các điểm đường kính. Có nhiều cách khác nhau để nghiên cứu tính
chất hình học của một không gian Banach nhưng nói chung hầu hết đều
liên quan đến bản chất của tính lồi của hình cầu lồi đơn vị. Trong chương
này, chúng tôi nghiên cứu tính chất lồi của tập trong không gian Banach
thông qua tính lồi của hình cầu đơn vị.
Trước hết chúng ta nhắc lại khái niệm về không gian lồi chặt sau đây.
Chúng ta nói không gian định chuẩn X là không gian lồi chặt là những
không gian thỏa mãn tính chất sau: Với x, y ∈ X



x ≤1
y ≤1

x+y
< δ.
2

⇒





x−y >

Rõ ràng là mọi không gian lồi đều là lồi chặt. Mặt khác, khi xét trên
không gian định chuẩn hữu hạn chiều thì do hình cầu đóng đơn vị là tập
compact nên từ tính lồi chặt suy ra tính lồi đều. Như vậy trên không gian
hữu hạn chiều thì hai khái niệm đồng nhất. Tuy nhiên trường hợp tổng
quát nói chung là không đúng. Chúng ta xét ví dụ sau đây.
Ví dụ 2.2. Cho µ > 0 cống định và xét không gian C[0, 1] với chuẩn .

µ

được xác định như sau:

x

µ


x

0, x

∈ C[0, 1]

và do đó hai chuẩn là tương đương khi µ đủ nhỏ. Nhưng ta lại thấy
(C[0, 1],

.

0, (C[0, 1], .

0)

không là không gian lồi chặt, trong khi với bất kì µ >

µ)

là không gian lồi chặt.

∈ (0, 2) tồn tại hàm số x, y ∈ C[0, 1]
x+y
với x µ = y µ = 1, x − y = và
tùy ý gần 1. Như vậy
2
(C[0, 1], . µ ) không phải là lồi đều.
Mặt khác dễ thấy với bất kì


µ)

với µ > 0 là lồi chặt nhưng

không lồi đều, trong khi c0 không lồi chặt với chuẩn thông thường đã cho.
Các khái niệm sau đây là hữu ích trong việc nghiên cứu các tính chất hình
học của không gian Banach một cách có hệ thống hơn.
2.1.2

Modun lồi của không gian Banach

Định nghĩa 2.4. Modun lồi của không gian Banach X là một hàm số
δX : [0, 2] → [0, 1] được xác định bởi:
x+y
: x
2

δX ( ) = inf 1−

1, y ≤ 1, x − y ≥

(2.1)

Chú ý rằng với bất kì > 0 số δX ( ) là số lớn nhất sao cho khẳng định sau
vẫn đúng: Với x, y ∈ X,
x ≤1
y ≤1
x−y >



dãy trong không gian lồi đều thì từ điều kiện:
1
lim xn = lim yn = lim
xn + y n = 1
n→∞
n→∞
n→∞ 2
suy ra rằng lim xn + yn = 1.
n→∞

Để tiện cho việc nghiên cứu sau này, chúng ta có khẳng định sau tương
đương với khẳng định (2.2) sau đây. Cho x, y, p ∈ X, R > 0 và r ∈ [0, 2R],

x−p ≤R 


1
r
R.
(2.3)
⇒ p − (x + y) ≤ 1 − δ
y−p ≤R

2
R

x−y >r 
24



2
Do đó ta có X có cấu trúc chuẩn tắc đều.
(ii) Hàm số δ : [0, 2] → [0, 1] của (2.1) cũng có thể xác định (tương đương)
25