BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
VŨ NGỌC HOÀN
TOÁN TỬ NỬA ĐƠN ĐIỆU TRONG
KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm,
người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn giúp tôi có thể
hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, phòng
Sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích
cùng các thầy cô trong trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ
tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh
chị, bạn bè, đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành
khóa học và hoàn thiện luận văn.
Qua đây tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới bố mẹ, anh trai
cùng những người thân trong gia đình đã luôn luôn tin tưởng và khích
lệ giúp tôi hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Vũ Ngọc Hoàn
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm,
luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Toán tử nửa

E
∗∗
Không gian liên hợp E
∗
x, y Tích vô hướng của x và y
||x|| Chuẩn của x
 Hội tụ yếu
deg(f, Ω, p) Bậc tôpô của ánh xạ f tại p theo miền Ω
Deg(A, Ω, 0) Bậc tôpô tôpô suy rộng của toán tử A
X Bao đóng của tập hợp X
W
∗
F
Bao đóng yếu* của W
F
trong E
∗∗
B(0, r) Hình cầu đóng với bán kính r trong E
∗∗
 Kết thúc chứng minh
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Trong Giải tích hàm phi tuyến, tính compact và tính đơn điệu là hai
khái niệm quan trọng. Chúng có vai trò lớn trong nghiên cứu của nhiều
lĩnh vực, chẳng hạn như: Phương trình vi phân thường, phương trình vi
phân đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân, lý thuyết điểm bất động,
lý thuyết tối ưu, Năm 1968, Browder [4] đã sử dụng sự kết hợp tính
compact và tính tăng trưởng (accretivity) để nghiên cứu phương trình
toán tử, có tên là phương trình toán tử nửa tăng trưởng (semi-accretive)
trong không gian Banach. Từ đó đến nay khái niệm này đã có nhiều tác

1.1. Không gian Banach và không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1. Cho E là một không gian vectơ trên trường số thực.
Một chuẩn trên E là một hàm x → ||x|| từ E vào R thỏa mãn các điều
kiện sau với mọi x, y ∈ E, mọi λ ∈ R:
(a
1
) ||x|| ≥ 0, ||x|| = 0 ⇔ x = 0;
(a
2
) ||λx|| = |λ| ||x||;
(a
3
) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
Định nghĩa 1.2. Một không gian định chuẩn là một không gian vectơ
cùng với một chuẩn trên nó.
Định lý 1.1. Chuẩn x → ||x|| là một hàm liên tục từ E vào R.
Định lý 1.2. Giả sử E là một không gian định chuẩn. Khi đó ánh xạ
(x, y) → x + y từ E × E vào E và (λ, x) → λx từ R × E vào E là liên
tục.
3
4
Định nghĩa 1.3. Không gian Banach là không gian định chuẩn đầy đủ.
Định nghĩa 1.4. Cho E là một không gian vectơ trên trường số thực.
Một dạng Hermite trên E là một hàm ϕ : E × E → R thỏa mãn:
(a
1
) ϕ(x
1
+ x
2

1
, y
2
∈ E, λ ∈ R.
Định nghĩa 1.5. Dạng Hermite ϕ trên E được gọi là dương nếu
ϕ(x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ E.
Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz).
Nếu ϕ là một dạng Hermite dương trên E thì |ϕ(x, y)|
2
≤ ϕ(x, x) ϕ(y, y)
với mọi x, y ∈ E.
Định nghĩa 1.6. Một dạng Hermite ϕ được gọi là xác định dương nếu
ϕ(x, x) > 0 với mọi x ∈ E, x = 0. Một dạng Hermite xác định dương
còn gọi là một tích vô hướng.
Bổ đề 1.2. Một dạng Hermite dương ϕ trên E là một tích vô hướng nếu
và chỉ nếu ϕ(x, y) = 0 với mọi y ∈ E thì x = 0.
Bổ đề 1.3. (Bất đẳng thức Minkowski)
Nếu ϕ là dạng Hermite dương thì

ϕ(x + y, x + y) ≤

ϕ(x, x)+

ϕ(y, y)
với mọi x, y ∈ E.
5
Định nghĩa 1.7. Một không gian tiền Hilbert là một không gian định
chuẩn, với chuẩn sinh bởi tích vô hướng.
Nếu E là một không gian tiền Hilbert thì thay cho ϕ(x, y) ta còn viết
x, y và gọi số này là tích vô hướng của x và y.

tính.
6
Định lý 1.5. Giả sử A là một toán tử tuyến tính từ không gian định
chuẩn E vào không gian định chuẩn F. Khi đó các mệnh đề sau là tương
đương:
a) A là liên tục đều;
b) A là liên tục;
c) A liên tục tại điểm 0 ∈ E;
d) A bị chặn, tức là tồn tại số k > 0 sao cho ||A(x)|| ≤ k||x|| với
mọi x ∈ E.
Định nghĩa 1.10. Giả sử E và F là hai không gian tuyến tính định
chuẩn trên cùng trường số thực. Kí hiệu L(E, F ) là không gian các ánh
xạ tuyến tính liên tục từ E vào F.
Định nghĩa 1.11. L(E, F ) là không gian vectơ con của R-không gian
vectơ L(E, F ) tất cả các ánh xạ tuyến tính từ E vào F. Với mỗi A ∈
L(E, F ), đặt:
||A|| = inf{k : ||Ax|| ≤ k ||x|| với mọi x ∈ E}.
Bổ đề 1.4. Hàm A → ||A|| là một chuẩn trong L(E, F ).
Định lý 1.6. Nếu F là không gian Banach thì không gian L(E, F ) là
Banach.
Định lý 1.7. Nếu A : E → F và B : F → G là các ánh xạ tuyến tính
liên tục thì A ◦ B là ánh xạ tuyến tính và ||A ◦ B|| ≤ ||A|| ||B||.
7
Định nghĩa 1.12. Cho E và F là các không gian định chuẩn. Toán tử
tuyến tính A : E → F được gọi là toán tử compact nếu ảnh A(B) của
hình cầu đơn vị B trong E là compact tương đối trong F.
Như vậy, nếu A là toán tử compact thì
A = sup
x∈B
A (x) = sup

= E
∗∗
= L(E
∗
, R) là không gian liên hợp
thứ hai của E.
8
Bây giờ, xét ánh xạ ϕ : E → E
∗∗
xác định bởi ϕ(x)(f) = f(x) với
mọi x ∈ E, f ∈ E
∗
. Giả sử x, y ∈ E, α, β ∈ R ta có
ϕ(αx + βy)(f) = f(αx + βy) = αf(x) + βf(y)
= (αϕ(x))(f) + (βϕ(y))(f)
với mọi f ∈ E
∗
, vậy ϕ là ánh xạ tuyến tính. Mặt khác
|ϕ(x)(f)| = |f(x)| ≤ ||f||.||x|| với mọi f ∈ E
∗
nên
||ϕ(x)|| = sup
f=1
|ϕ (x) (f)| ≤ x .
Với mọi x ∈ E, x = 0 tồn tại f ∈ E
∗
với ||f|| = 1 và f(x) = ||x||.
Do đó |ϕ(x)(f)| = |f(x)| = ||x||, nghĩa là ||ϕ(x)|| = ||x||.
Ta có kết quả sau.
Định lý 1.9. Ánh xạ chính tắc ϕ : E → E

, , f
n
, x, ε) ⊂ W, ở đây
U(f
1
, f
2
, , f
n
, x, ε) =
n
∩
i=1
U (f
i
, x, ε)
= {y ∈ E : sup
1≤i≤n
|f
i
(y) − f
i
(x)| < ε}.
Định nghĩa 1.16. Dãy {x
n
} ∈ E được gọi là hội tụ yếu đến x ∈ E, kí
hiệu là x
n
 x, nếu mọi lân cận yếu U của x tồn tại n
0

Bổ đề 1.5. Dãy {x
n
} trong không gian định chuẩn E hội tụ yếu đến
x ∈ E nếu và chỉ nếu f(x
n
) → f(x) với mọi f ∈ E
∗
.
Từ bổ đề này ta thấy rằng nếu x
n
→ x thì x
n
 x. Điều ngược lại
chỉ luôn luôn đúng trong trường hợp E hữu hạn chiều.
Nhờ phép nhúng ϕ : E → E
∗∗
, mỗi x ∈ E được đồng nhất với một phần
tử của E
∗∗
, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E
∗
.
Định nghĩa 1.17. Tôpô yếu nhất trên E
∗
để các phiếm hàm x ∈ E ≡
ϕ(E) ⊂ E
∗∗
liên tục được gọi là tôpô yếu* trên E
∗
.

n
→ R là hàm khả vi tại x
0
, ta gọi J
f
(x
0
) = det f

(x
0
) là
Jacobi của f tại x
0
.
Định nghĩa 1.19. Cho Ω ⊂ R
N
là tập mở bị chặn và f ∈ C
1
(Ω). Nếu
11
p /∈ f(∂Ω) và J
f
(p) = 0. Khi đó ta định nghĩa
deg(f, Ω, p) =

x∈f
−1
(p)
sgn J

+
), tức là
với bất kì dãy x
n
→ x ta có T x
n
 Tx
0
và θ
∗
/∈ T(∂Ω). Khi đó bậc tôpô
deg(T, Ω, θ
∗
) thỏa mãn điều kiện sau:
(a) deg (J, Ω, θ
∗
) =



1, nếu θ
∗
∈ J (Ω) ,
0, nếu θ
∗
/∈ J

Ω

.

+
) và θ
∗
/∈ T
t
(∂Ω) khi
đó deg (T, Ω, θ
∗
) không phụ thuộc t ∈ [0, 1] .
1.6. Không gian Sobolev
Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm không gian Sobolev dựa
theo tài liệu [3].
12
Định nghĩa 1.21. Giả sử u, v ∈ L
1
loc
(Ω) và α là một đa chỉ số. Ta nói
rằng v là đạo hàm yếu cấp α của u nếu

Ω
uD
α
φdx = (−1)
|α|

Ω
vφdx, ∀φ ∈ C
∞
c
(Ω) ,

. Kí hiệu: D
α
u = v.
Định nghĩa 1.22. Không gian Sobolev W
m
p
(Ω) là tập gồm tất cả những
hàm khả tích u : Ω → R sao cho với mỗi đa chỉ số α, |α| ≤ m, đạo hàm
yếu D
α
u tồn tại và thuộc L
p
(Ω) . Nếu u ∈ W
m
p
(Ω) (1 ≤ p < ∞), ta định
nghĩa chuẩn của nó là:
u
w
m
p
(Ω)
=



|α|≤m

Ω
|D

p
(Ω) .
Định lý 1.11. Giả sử Ω là một miền trong R
n
và m ≥ 0, 1 ≤ p < ∞.
Khi đó W
m
p
(Ω) là một không gian Banach.
Nếu p = 2, ta có:
H
m
(Ω) = W
m
2
(Ω) với m = 0, 1,
là không gian Hilbert với tích vô hướng
u, v
H
m
(Ω)
=

|α|≤m

Ω
D
α
uD
α

khi đó
W
1
p
(Ω) ⊂⊂ L
q
(Ω), với mỗi 1 ≤ q < p
∗
,
trong đó p
∗
=
np
n − p
.
Kết luận
Chương này đã trình bày một số kiến thức có liên quan làm cơ sở như
không gian Banach, không gian Hilbert, toán tử liên tục, hoàn toàn liên
tục, không gian đối ngẫu, tôpô yếu, tôpô yếu*, toán tử nửa đơn điệu,
bậc tôpô và không gian Sobolev để trình bày các kiến thức trong chương
tiếp theo.
Chương 2
Toán tử nửa đơn điệu và ứng dụng
Chương này trình bày khái niệm toán tử nửa đơn điệu trong không gian
Banach, một số tính chất đặc trưng và ứng dụng của nó. Các kết quả
này được trình bày dựa trên tài liệu [7]. Trong chương này, E là không
gian Banach thực, E
∗
là không gian đối ngẫu của E và E
∗∗

, v)} có
một dãy con A (u
j
k
, v) → A (u
0
, v) trong tôpô chuẩn của E
∗
.
Định lý 2.1. Cho A, B là các toán tử nửa đơn điệu, khi đó:
1) A + B cũng là toán tử nửa đơn điệu;
2) αA cũng là toán tử nửa đơn điệu ∀α ∈ R
+
.
14
15
Chứng minh. 1) Thật vậy,
i) ∀u, v, w ∈ E
∗∗
ta có:
(A + B)(u, v) − (A + B)(u, w), v − w
= [A(u, v) − A(u, w)] + [B(u, v) − B(u, w)], v − w
= A(u, v) − A(u, w), v − w + B(u, v) − B(u, w), v − w ≥ 0.
ii) Với mỗi v ∈ E
∗∗
cố định, ta chứng minh (A + B)(., v) là toán tử
hoàn toàn liên tục.
Thật vậy, với bất kì dãy u
j
 u

l
, v): B(u
j
k
l
, v) →
B(u
0
, v) trong tôpô chuẩn của E
∗
. Khi đó rõ ràng là A(u
j
k
l
, v) cũng hội
tụ đến A(u
0
, v) và ta có
||(A + B)(u
j
k
l
, v) − (A + B)(u
0
, v)||
E
∗
= ||A(u
j
k

→ 0,
khi k → ∞. Hay dãy {(A + B)(u
j
, v)} có dãy con (A + B)(u
j
k
l
, v) →
(A + B)(u
0
, v) trong tôpô chuẩn trong E
∗
.
Vậy A + B là toán tử nửa đơn điệu.
2) Thật vậy,
16
i) ∀u, v, w ∈ E
∗∗
, ∀α ∈ R
+
ta có:
(αA)(u, v) − (αA)(u, w), v − w = αA(u, v) − αA(u, w), v − w
= α A(u, v) − A(u, w), v − w ≥ 0.
ii) Với mỗi v cố định thuộc E
∗∗
, giả sử u
j
 u
0
trong tôpô yếu* của E

khi đó, ∀α ∈ R
+
ta có:
||(αA)(u
j
k
, v) − (αA)(u
0
, v)||
E
∗
= ||α[A(u
j
k
, v) − A(u
0
, v)]||
E
∗
= α||A(u
j
k
, v) − A(u
0
, v)||
E
∗
→ 0, (k → ∞).
Suy ra dãy {(αA)(u
j

2
v − u
2
w)(v − w) = u
2
(v − w)
2
≥ 0.
ii) ∀v
0
∈ R, A(., v) là toán tử hoàn toàn liên tục: Với A(u, v
0
) = u
2
v
0
.
Lấy (x
n
) bị chặn trong R ta cần chứng minh A(x
n
, v
0
) là compact tương
đối.
Thật vậy, do (x
n
) bị chặn nên |x
n
| ≤ M, ∀n ≥ n

) hoàn toàn liên tục.
Từ i) và ii) suy ra A là toán tử nửa đơn điệu.
2.2. Bất đẳng thức biến phân với toán tử nửa đơn
điệu
Định nghĩa 2.2. Cho A : E
∗∗
× E
∗∗
→ E
∗
là nửa đơn điệu và K ⊂ E
∗∗
là một tập con lồi đóng. Bài toán bất đẳng thức biến phân là bài toán:
Tìm w
0
∈ K sao cho
A(w
0
, w
0
), u − w
0
 ≥ 0, ∀u ∈ K.
Ta sẽ chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử sau
A(u, u) + f(u) = 0, u ∈ E
∗∗
,
18
trong đó f : E
∗∗

Bổ đề 2.1. Cho A : K ⊆ E
∗∗
→ E
∗
là một toán tử đơn điệu hemi-liên
tục, K là tập con lồi và x
0
∈ K là một điểm cho trước. Khi đó
Ax
0
, x − x
0
 ≥ 0 với mọi x ∈ K
khi và chỉ khi
Ax, x − x
0
 ≥ 0 với mọi x ∈ K.
Định lý 2.2. Cho E là không gian Banach thực, K ⊂ E
∗∗
là tập con lồi
đóng bị chặn, A (u, v) : K × K → E
∗
là toán tử thỏa mãn các điều kiện
sau:
(i) A là nửa đơn điệu;
(ii) Với mỗi u ∈ K, A (u, ·) : K → E
∗
là liên tục hữu hạn chiều,
nghĩa là với bất kì F ⊂ E
∗∗

0
) , u − u
0
 ≥ 0, ∀u ∈ K
F
. (2.1)
Vì K
F
⊂ F là một tập lồi đóng bị chặn và A (v, ·) là liên tục trên K
F
với
mỗi v ∈ K cố định theo Hartman-Stampacchia suy ra (2.1) có nghiệm
u
0
∈ K
F
. Bây giờ ta định nghĩa ánh xạ T : K
F
→ K
F
như sau:
T v = {w |A (v, w) , u − w ≥ 0, ∀u ∈ K
F
} , ∀v ∈ K
F
.
Theo Bổ đề 2.1, A (v, w) , u − w ≥ 0 khi và chỉ khi A (v, u) , u − w ≥ 0
với mọi u ∈ K
F
.

= {w ∈ K, sao cho A (w, u) , u − w ≥ 0, ∀u ∈ K
F
}, F ∈ F.
Theo (2.2) và Bổ đề 2.1, ta có W
F
là khác rỗng và bị chặn. Kí hiệu
W
∗
F
bao đóng yếu* của W
F
trong E
∗∗
. Khi đó W
∗
F
là compact yếu* trong
20
E
∗∗
.
Với bất kỳ F
i
∈ F, i = 1, 2, . . . , N ta có W
∪
i
F
i
⊆ ∩W
F

, w
0
∈ K
F
, tồn tại
w
j
∈ W
F
sao cho: w
j
 w
0
.
Vì
A (w
j
, u) , u − w
j
 ≥ 0, j = 1, 2, . . . ,
khi j → ∞ theo tính hoàn toàn liên tục của A (·, u) ta có
A(w
0
, u), u − w
0
 ≥ 0.
Theo Bổ đề 2.1, ta có
A(w
0
, w