Đại Học Thái Ngun
Trường Đại Học Khoa Học

Trần Xn Thiện

TỐC ĐỘ HỘI TỤ TRONG HIỆU CHỈNH
PHƯƠNG TRÌNH VỚI TỐN TỬ J-ĐƠN ĐIỆU
TRONG KHƠNG GIAN BANACH

Chun Nghành: TỐN ỨNG DỤNG
MÃ SỐ: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Nguyễn Bường

Thái Ngun - 2013

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

Cơng trình được hồn thành tại
Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Ngun

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Bường

Phản biện 1: PGS. TS Đỗ Văn Lưu

Phản biện 2: GS. TS Trần Vũ Thiệu


tốn tử J-đơn điệu trong khơng gian Banach
2.1. Giới thiệu sơ bộ . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

3
5
5
5
5
6
7
7

.
.

15
15
18
24
25


2

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hồn thành tại Trường Đại Học Khoa học, Đại
học Thái Ngun dưới sự hướng dẫn tận tình của Giáo sư Nguyễn
Bường. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa
học và Quan hệ Quốc tế, Khoa Tốn-Tin Trường Đại học Khoa học,
Đại học Thái Ngun đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời
gian học tập tại Trường.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt
q trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Thái Ngun, ngày 20 tháng 08 năm 2013
Học viên

Trần Xn Thiện

Số hóa bởi trung tâm học liệu



Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

4

Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và khn khổ của luận văn
thạc sĩ, nên trong q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi những thiếu
sót, tơi rất mong được sự chỉ dạy và đóng góp ý kiến của các Thầy Cơ
và độc giả quan tâm tới luận văn này.
Thái Ngun, ngày 20 tháng 08 năm 2013
Tác giả

Trần Xn Thiện

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

5

Chương 1
Một số vấn đề cơ bản
Trong chương này chúng tơi nhắc lại một số kiến thức cơ bản của
giải tích hàm có liên quan đến nội dung nghiên cứu của đề tài. Các khái
niệm này được tham khảo trong các tài liệu [1] và [2].
1.1.
1.1.1.



Dãy các phần tử xn trong khơng gian Banach X được gọi là hội tụ
đến phần tử xo ∈ X khi n → ∞, nếu ||xn − x0 || → 0 khi n → ∞, kí hiệu
là xn → x0 . Sự hội tụ theo chuẩn được gọi là hội tụ mạnh.
Dãy {xn } ⊂ X được gọi là hội tụ yếu đến x0 ∈ X, kí hiệu xn
x0 , nếu
với ∀f ∈ X ∗ -khơng gian liên hợp của X, ta có f (xn ) → f (x0 ) khi n → ∞.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

6

Tính chất 1.1.1. Từ định nghĩa trên ta có các tính chất sau
1. Từ sự hội tụ mạnh của một dãy xn suy ra sự hội tụ yếu của dãy đó.
2. Giới hạn yếu nếu có của một dãy là duy nhất.
3. Nếu xn

x thì sup

xn < ∞ và x ≤ lim xn .

1≤n

1.1.4.

Đạo hàm Fréchet

Giả sử f : X → Y là một tốn tử từ khơng gian Banach X vào khơng
gian Banach Y . Tốn tử f được gọi là khả vi Fréchet tại x ∈ X nếu tồn
tại A ∈ L(X, Y ) sao cho
lim

h→0

f (x + h) − f (x) − A (x) h
h X

Y

= 0.

Tốn tử A được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x và được ký hiệu là
A = f (x), f được gọi là khả vi Fréchet nếu nó khả vi Fréchet tại mọi
điểm x ∈ X.
1.1.5.

Khơng gian Hilbert

Cho X là một khơng gian tuyến tính trên R. Một tích vơ hướng trong
X là một ánh xạ ., . : X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau:
1. x, x > 0, ∀x = 0; x, x = 0 ⇔ x = 0;
2. x, y = y, x , ∀x, y ∈ X;


Khơng gian Banach X được gọi là khơng gian lồi chặt nếu mặt cầu
đơn vị S = S(x) = {x ∈ X : x = 1} của X là lồi chặt tức là từ x, y ∈ S
kéo theo x + y < 2. Do đó mọi mặt cầu khác cũng lồi chặt.
Ví dụ 1.1.4. Khơng gian Lp [a, b] là khơng gian lồi chặt.
1.1.7.

Khơng gian E-S(Ephimov Stechkin)

Khơng gian Banach X được gọi là Khơng gian Ephimov Stechkin (hay
khơng gian có tính chất E-S) nếu X phản xạ và trong X sự hội tụ yếu
các phần tử (xn
x) và sự hội tụ chuẩn ( xn → x ) ln kéo theo sự
hội tụ mạnh ( xn − x → 0).
Ví dụ 1.1.5. Khơng gian Hilbert có tính chất E − S.
1.1.8.

Ánh xạ J-đơn điệu

Cho E là khơng gian Banach thực và E ∗ là khơng gian đối ngẫu.
Để cho đơn giản, chuẩn của E và E ∗ được ký hiệu là ||.||.
Ký hiệu x, x∗ là giá trị của x∗ ∈ E ∗ với x ∈ E.
Ánh xạ J : E −→ E ∗ đươc gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E nếu
thỏa mãn điều kiện sau:
x, J(x) = ||x||2 , ||J(x)|| = ||x||, ∀x ∈ E.
∗ Tốn tử A : E −→ 2E gọi là m-J-đơn điệu nếu A là tốn tử đơn điệu
và (A + λI) = E với mọi λ > 0.
∗ Cho A là ánh xạ đơn trị m-J-đơn điệu trên E.
Khi đó ánh xạ A : E −→ E có các tính chất:
(i) A(x) − A(y), j(x − y) ≥ 0, ∀x, y ∈ E ở đây j(x − y) ∈ J(x − y) và

1. Phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y .
2. Nghiệm này là duy nhất.
3. Và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên khơng thỏa mãn thì bài
tốn (1.1) được gọi là bài tốn đặt khơng chỉnh. Đối với các bài tốn
phi tuyến thì điều kiện 2 hầu như khơng thỏa mãn. Do vậy hầu hết bài
tốn phi tuyến đều là bài tốn đặt khơng chỉnh. Hơn nữa điều kiện cuối
cùng cũng khó thực hiện.
Chú ý 1.2.1. Một bài tốn có thể đặt chỉnh trên cặp khơng gian này
nhưng lại đặt khơng chỉnh trên cặp khơng gian khác.
Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của (1.1) thường được cho bởi đo
đạc, nghĩa là thay cho giá trị chính xác của f , ta chỉ biết xấp xỉ fδ của
nó thỏa mãn fδ − f ≤ δ.
Chú ý 1.2.2. Giả sử xδ là nghiệm của (1.1) với f thay bởi fδ (giả thiết
rằng nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì fδ → f nhưng với bài tốn đặt
khơng chỉnh thì xδ nói chung khơng hội tụ đến x.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

10

1.2.2.

Bài tốn đặt khơng chỉnh với tốn tử J-đơn điệu

1. Tốn tử đơn điệu
Cho X là khơng gian Banach thực, A : D(A) → X ∗ là một tốn tử với
miền xác định là D(A) = X và miền ảnh R(A) nằm trong X ∗ .

Định nghĩa 1.2.5. Ánh xạ U s : X → X ∗ (nói chung đa trị) xác định
bởi
U s (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = x∗ . x ; x∗ = x

s−1

, s ≥ 2.

được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng qt của khơng gian X. Khi s = 2 thì
U s thường được viết là U và gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

11

Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được cho bởi mệnh đề
sau.
Mệnh đề 1.2.1. Giả sử X là một khơng gian Banach. Khi đó:
1. U (x) là tập lồi, U (λx) = λU (x) với mọi λ ∈ R;
2. Nếu X ∗ là khơng gian lồi chặt thì U là ánh xạ đơn trị.
Ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về tốn tử đơn điệu, nó
tồn tại trong mọi khơng gian Banach.
Định lý 1.2.1. Nếu X ∗ là khơng gian Banach lồi chặt thì ánh xạ đối
ngẫu chuẩn tắc U : X → X ∗ là tốn tử đơn điệu, bức và d-liên tục. Hơn
nữa, nếu X là khơng gian Banach lồi chặt thì U là tốn tử đơn điệu chặt.
Sau đây là một kết quả của lý thuyết tốn tử đơn điệu được sử dụng
trong phần sau.
Bổ đề 1.2.1. Cho X là một khơng gian Banach thực, f ∈ X ∗ và A là

n→∞

Sự tồn tại nghiệm của phương trình (1.1) được cho bởi định lý sau
Định lý 1.2.2. Cho A là một tốn tử h-liên tục, đơn điệu và bức từ
khơng gian Banach phản xạ X vào X ∗ . Khi đó phương trình A(x) = f
có nghiệm với mọi f ∈ X ∗ .
2. Bài tốn đặt khơng chỉnh với tốn tử J-đơn điệu
Cho X là khơng gian Banach phản xạ thực, X ∗ là khơng gian liên hợp
của X. Với f ∈ X ∗ cho trước, phương trình (1.1) là phương trình tốn
tử. Nếu A : X → X ∗ là một tốn tử đơn điệu thì phương trình tốn tử
(1.1) nói chung là bài tốn đặt khơng chỉnh.
Ví dụ 1.2.3. Xét phương trình tốn tử (1.1) với A là một ma trận vng
cấp M = 5 được xác định bởi


1
1
1
1
1
 1 1.0001

1
1
1



A=
1

1
1
1
1 1.0001
1
1
1
1
1.0001 1
1
1
1
1.0001
1
1
1
1

Số hóa bởi trung tâm học liệu

1
1
1
1
1

/>




1
1
1
1
1

trình có vơ số








và f = (5.0001; 5.0001; 5.0001; 5.0001; 5.0001)T ∈ R5 .
thì phương trình vơ nghiệm. Ta thấy một thay đổi nhỏ của hệ số
trong phương trình ban đầu kéo theo những thay đổi đáng kể là nghiệm.
3. Phương pháp hiệu chỉnh
Giả sử A−1 khơng liên tục và thay cho f ta chỉ cho fδ thỏa mãn
fδ − f ≤ δ.
Bài tốn đặt ra là dựa vào thơng tin về (A, fδ ) và δ sai số, tìm một
phần tử xấp xỉ nghiệm đúng x0 . Rõ ràng khơng thể xây dựng phần tử
xδ theo quy tắc xδ = A−1 fδ vì A−1 có thể khơng xác định hoặc A−1 tồn
tại nhưng khơng liên tục nên A−1 fδ khơng xấp xỉ nghiệm đúng x0 .
Tham số δ chỉ cho ta mức độ sai số của vế phải của phương trình
(1.1). Vì vậy một điều nảy sinh là liệu có thể xây dựng một phần tử xấp
xỉ phụ thuộc vào một tham số nào đó và tham số này được chọn tương
thích với δ sao cho khi δ → 0 thì phần tử xấp xỉ này hội tụ đến nghiệm
đúng x0 .

Rõ ràng nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ liệu ban đầu. Như vậy việc
tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào dữ kiện của phương trình (1.1)
gồm các bước:
1) Xây dựng tốn tử hiệu chỉnh T (f, α);
2) Chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thơng tin của bài tốn
về phần tử fδ và mức sai số δ.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

15

Chương 2
Tốc độ hội tụ trong hiệu chỉnh
phương trình với tốn tử J-đơn điệu
trong khơng gian Banach
Trong chương này trình bày một số vấn đề về tốc độ hội tụ trong hiệu
chỉnh phương trình với tốn tử J-đơn điệu trong khơng gian Banach. Các
khái niệm này được tham khảo trong các tài liệu [4].
2.1.

Giới thiệu sơ bộ

Chúng tơi quan tâm giải phương trình tốn tử sau:
A(x) = f, f ∈ E

(2.1)

với A là J-đơn điệu đơn trị trên E. Trong tồn bộ luận văn này chúng

lim ρ(α) = 0, lim ρ(α) = ||A(x+ ) − fδ ||

α→∞

α→∞

Hơn thế nữa, bằng lập luận tương tự dễ dàng kiểm tra nếu
||A(x+ ) − fδ || > Kδ p K > 2; 0 < p ≤ 1
thì tồn tại một giá trị bé nhất α = α(δ) sao cho:
||A(xδα(δ) ) − f (δ)|| = Kδ p và (K − 1)δ p /α(δ) ≤ 2||y0 − x+ ||.
Do đó khi 0 < p < 1 ta có δ/α(δ) ≤ 2||y − x+ ||δ 1−p /(K − 1) → 0 khi
δ → 0. Nên J liên tục yếu thì xδα(δ) → y∗ ∈ S ( xem [1], [2]).
Rất tiếc lớp khơng gian Banach thực, vơ hạn chiều có J với các tính chất
trên là rất nhỏ ( duy nhất lp ). Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là thuật
tốn (2.2) có thể áp dụng cho khơng gian Banach khác được khơng ?.
Trong [1-3] chúng ta biết sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh xδα tới
nghiệm của (2.1) trong khơng gian Banach, khơng có ánh xạ đối ngẫu
liên tục yếu J. Khi A là liên tục yếu:
||A(x) − A(y∗ ) − QA (y∗ )∗ J(x − y∗ )|| ≤ τ ||A(x) − A(y∗ )||

∀y ∈ E (2.4)

Ở đây τ là hằng số dương, A (x) kí hiệu là đạo hàm Fréchet của A tại
x ∈ E và Q là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E ∗ và tồn tại phần tử
v ∈ E sao cho
x+ − y∗ = A (y∗ )v
(2.5)
Trong luận văn này khơng u cầu tính liên tục yếu của J, chúng tơi
chứng minh sự hội tụ mạnh của thuật tốn (2.2) trong khơng gian Banach
lồi chặt với một chuẩn khả vi Gâteaux đều và đưa ra đánh giá tốc độ

Đối với giới hạn Banach µ ta có:
lim inf ak ≤ µk (ak ) ≤ lim sup ak
k→∞

k→∞

với mọi (a1 , a2 , ...) ∈ l∞ .
Nếu a = (a1 , a2 , ...) ∈ l∞ , b = (b1 , b2 , ...) ∈ l∞ và ak → c (tương ứng
ak − bk → 0), khi k → ∞, ta có µk (ak ) = µ(a) = c (tương ứng µk (ak ) =
µk (bk )).
Bổ đề 2.1.1. Cho C là tập lồi của khơng gian Banach E, có chuẩn là
khả vi Gâteaux đều. Cho {xk } là giới nội của E, cho z là phần tử của
C và µ là giới hạn Banach. Khi đó
µk ||xk − z||2 = min µk ||xk − u||2
u∈C

nếu và chỉ nếu µk u − z, j(xk − z) ≤ 0 với mọi u ∈ C.
Với một ánh xạ m-J-đơn điệu A trong E và phần tử cố định bất kỳ
f ∈ E, ta có thể xây dựng một ánh xạ u = Tf (x) bằng
Af (u) + u = x, Af (.) = A(.) − f

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
(2.6)


18

với mỗi x ∈ E.

thức biến phân sau:
y∗ ∈ S :

y∗ − x+ , j(x − y) ≤ 0

∀y ∈ S.

Mặt khác ta có:
||xδα − xα || ≤ δ/α
ở đây xδα là nghiệm duy nhất của (2.2) với mọi α > 0 và fδ ∈ E.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
(2.8)


19

Chứng minh
Vì A là m-J-đơn điệu, phương trình (2.7) có một nghiệm kí hiệu xα
với mỗi α > 0. Nghiệm là duy nhất, bởi vì ánh xạ A + α(I − x+ ) là J-đơn
điệu mạnh với hằng số α.
Tiếp theo từ (2.7) ta có:
A (xα ) − A (y) , j (xα − y) + α xα − x+ , j (xα − y) = 0
với mọi y ∈ S. Vì vậy
xα − y

2


/>

20

Ta xét phiếm hàm ϕ(x) = µk ||xk − x||2 ∀x ∈ E. Ta thấy ϕ(x) → ∞
∼
khi ||x|| → ∞ và ϕ liên tục và lồi, vì vậy E là phản xạ nên tồn tại y ∈ E
∼
sao cho ϕ(y ) = minx∈E ϕ(x). Do đó tập
C ∗ :=

u ∈ E : ϕ (u) = min ϕ(x) = 0 .
x∈E

Dễ dàng nhận thấy C ∗ là giới nội, đóng, và tập lồi trong E. Mặt khác vì
||xk − ξxk || → 0 ta có:
∼

∼

∼

∼

∼

ϕ(ξ y ) = µk ||xk − ξ y ||2 = µk ||ξxk − ξ y ||2 ≤ µk ||xk − y ||2 = ϕ(y ).
Từ đó ξC ∗ ⊂ C ∗ , trong đó C ∗ là bất biến với ánh xạ ξ. Bây giờ ta chỉ
ra rằng C ∗ điểm bất động của ξ. Vì E là khơng gian Banach phản xạ và
lồi chặt nên bất kỳ tập đóng và lồi trong E là tập Chebyshev(xem [2]).

∼

Từ (2.9) với y = y và lấy x = x+ trong (2.11), ta có µk ||xk − y || = 0.
∼
Do đó tồn tại một dãy con xki của xk hội tụ mạnh tới y khi i → ∞.
Một lần nữa từ (2.9) và tính chất của ánh xạ đối ngẫu liên tục mạnh-yếu
j trong tập hợp con bị chặn E thì ta có:
y − x+ , j (y − y) ≤ 0 ∀y ∈ S.
∼

(2.12)

Từ y và y của F ix(ξ), tập đóng và lồi, thay y trong (2.12) bằng sy +
∼
∼
∼
(1 − s) y với s ∈ (0; 1), sử dụng tính chất đã biết j(s(y −y)) = sj(y −y)
với s > 0 , chia cho s và lấy s → 0 ta có:
y − x+ , j (y − y) ≤ 0 ∀y ∈ S

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

21
∼

Tính duy nhất của y∗ trong (2.8) đảm bảo y = y∗ . Vì vậy xα hội tụ mạnh
đến y∗ khi α → 0.
Sử dụng (2.3) và (2.7) ta có:

= A(y∗ ) − A(y∗ + Bv) + α(zα − Bv) − αxα − x+
= A(y∗ ) − A(y∗ + Bv) + α(xα − y∗ − Bv) − αBv
= A(y∗ ) − A(y∗ + Bv) + αF (v) − αBv
= A(y∗ ) − A(y∗ + Bv) + F Bv
kéo theo
α xα − Bv

2

≤ A (y∗ ) − A (y∗ + Bv) + F Bv, j (xα − (y∗ − Bv)) .

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

22

Vì ||A (x) − A (z)|| ≤ L||x − z|| và xα ∈ Br (y∗ ),
||A(x) − A(z) − A (z)|| ≤ L||x − z|| ≤
kéo theo
||zα − Bv|| ≤

L
||x − z||2
2

L
||F α(F + αI)−1 ||2 ≤ 2L||v||2
2α


(A (xt ) − A (y∗ ))(xα − y∗ )dt
0

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

23
1

= A (y∗ )(xα − y∗ ) +

A (y∗ )k(xt , y∗ , xα − y∗ )dt
0

Kéo theo
1
+

−α(xα − x ) = A (y∗ )(xα − y∗ ) +

A (y∗ )k(xt , y∗ , xα − y∗ )dt
0

Do đó ta có
1
−1

(F + αI)−1 F k(xt , y∗ , xα − y∗ )dt