BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
ĐOÀN TRƯỜNG
TOÁN TỬ CHIẾU SUY RỘNG
TRÊN KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm
Hà Nội - 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm,
người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn
thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học,
các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban
giám hiệu, các thầy cô giáo, đồng nghiệp THPT Sóc Sơn, gia đình và bạn
bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá
trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2014
Tác giả
Đoàn Trường
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm,
luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Toán tử chiếu
suy rộng trên không gian Banach và ứng dụng” được hoàn thành
bởi nhận thức của bản thân tác giả
và trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4. Ứng dụng vào nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng
thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Toán tử chiếu
P
K
: H → K,
trong đó H là một không gian Hilbert và K là một tập con lồi đóng của
H, đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực của toán học, như: Lý thuyết tối
ưu, lý thuyết điểm bất động, quy hoạch phi tuyến, lý thuyết trò chơi, bất
đẳng thức biến phân, và các bài toán bù (xem [4] và những tài liệu dẫn
trong đó).
Năm 1994, Alber [4] đã đưa ra các toán tử chiếu suy rộng
π
K
: B
∗
→ K và Π
K
: B → K
khi xét B là các không gian Banach lồi đều và trơn, ở đây B* là không
gian đối ngẫu của B. Trong [5] Alber đã đưa ra một số ứng dụng của toán
tử chiếu π
K
, Π
K
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản về không gian
Banach thực, Hilbert thực và một số kiến thức có liên quan khác, xem như
là công cụ sẽ dùng đến trong chương sau. Chứng minh các kết quả này có
thể tìm trong [1], [2] và [3]
1.1. Không gian Banach
1.1.1. Khái niệm không gian Banach
Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian tuyến tính trên R cùng với một
ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là . và đọc là chuẩn, thỏa mãn 3
tiên để sau:
1) ||x|| ≥ 0 (∀x ∈ X); ||x|| = 0 ⇔ x = 0;
2) ||λx|| = |λ|||x|| (∀x ∈ X, ∀λ ∈ R);
3) ||x + y|| ≤ ||x||+ ||y|| (∀x, y ∈ X).
Số x gọi là chuẩn của véc-tơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn
là X.
Định nghĩa 1.2. Không gian tuyến tính thực cùng với một chuẩn xác định
trong X được gọi là một không gian định chuẩn thực.
3
4
Định nghĩa 1.3. Dãy {x
n
} trong không gian định chuẩn X được gọi là
hội tụ đến x
0
∈ X nếu:
lim
n→∞
x
n
.
Định nghĩa 1.6. f được gọi là một ánh xạ tuyến tính, hoặc toán tử tuyến
tính, hay gọi tắt là toán tử, nếu ∀x ∈ X, ∀y ∈ X
, ∀α, β ∈ R,
f(αx + βy) = αf(x) + βf(y).
Sau đây ta thường gọi f là toán tử tuyến tính.
Định nghĩa 1.7. Toán tử tuyến tính f : X → X
được gọi là bị chặn nếu
∃k > 0, ∀x ∈ X,
||f(x)|| ≤ k||x||. (1.1)
Định lý 1.1. Giả sử X và X
là hai không gian định chuẩn f : X → X
là một toán tử tuyến tính thì các mệnh đề sau đây tương đương
(i) f là liên tục đều;
5
(ii) f là liên tục ;
(iii) f liên tục tại điểm 0 ∈ X;
Nhận xét 1.1.
a) Đối với các toán tử tuyến tính, các khái niệm liên tục và bị chặn là
tương đương.
b) Từ (1.1) suy ra
sup
x∈X,x=0
f(x)
x
được gọi là toán tử compact nếu ảnh f(B)
của hình cầu đơn vị B trong X là compact tương đối trong X
.
Nếu f là toán tử compact thì
f = sup
x∈B
f(x) = sup
y : y ∈ f(B)
< ∞,
6
do vậy f liên tục. Toán tử compact nói chung là chặt chẽ hơn toán tử liên
tục. Do đó toán tử compact còn được gọi là toán tử hoàn toàn liên tục.
Định lý 1.2. Nếu f là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn X
thì các mệnh đề sau đây là tương đương:
a) f compact;
b) Nếu A là tập bị chặn trong X thì f(A) là tập compact tương đối
trong X
;
c) Nếu {x
n
} là dãy bị chặn trong X thì tồn tại dãy con {x
n
K
} để dãy
A
n
− A = 0.
Khi đó A là toán tử compact.
1.1.3. Không gian liên hợp, tôpô yếu và tôpô yếu*
Định nghĩa 1.12. Giả sử X là một không gian định chuẩn trên R. Ta
gọi X
∗
= L(X, R) là không gian liên hợp của X và gọi X
∗∗
= L(X
∗
, R) là
không gian liên hợp thứ hai của X.
7
Xét ánh xạ ϕ : X → X
∗∗
xác định bởi ϕ(x)(f) = f(x) với mọi x ∈
X, f ∈ X
∗
. Giả sử x, y ∈ X, α, β ∈ R ta có
ϕ(αx + βy)(f) = f(αx + βy) = αf(x) + βf(y)
= (αϕ(x))(f) + (βϕ(y))(f)
với mọi f ∈ X
∗
, vậy ϕ là ánh xạ tuyến tính. Mặt khác
|ϕ(x)(f)| = |f(x)| ≤ ||f||.||x|| với mọi f ∈ X
∗
nên
||ϕ(x)|| = sup
∈ X
∗
và ε > 0 sao cho U(f
1
, f
2
, , f
n
, x, ε) ⊂ W,
ở đây
U(f
1
, f
2
, , f
n
, x, ε) =
n
∩
i=1
U (f
i
, x, ε)
= {y ∈ E : sup
1≤i≤n
|f
i
(y) − f
i
(x)| < ε}.
2
, , f
n
, x, ε) với mọi n ≥ n
0
.
Sự hội tụ yếu có đặc trưng sau đây.
Bổ đề 1.1. Dãy {x
n
} trong không gian định chuẩn X hội tụ yếu đến x ∈ X
nếu và chỉ nếu f(x
n
) → f(x) với mọi f ∈ X
∗
.
Từ bổ đề này ta thấy rằng nếu x
n
→ x thì x
n
x. Điều ngược lại
chỉ luôn luôn đúng trong trường hợp X hữu hạn chiều. Nhờ phép nhúng
ϕ : X → X
∗∗
, mỗi x ∈ X được đồng nhất với một phần tử của X
∗∗
, tức là
phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X
∗
.
Định nghĩa 1.16. Tôpô yếu nhất trên X
λx
1
+ µx
2
, y = λ(x
1
, y) + µ(x
2
, y); ∀x
1
, x
2
∈ X, y ∈ Y, λ, µ ∈ R.
∀x
0
∈ X\{0}, ∃y ∈ Y : x
0
, y = 0, .
∀y
0
∈ Y \{0}, ∃x ∈ X : x, y
0
= 0.
Lúc đó, mỗi y ∈ Y cố định sẽ xác định một phiếm hàm tuyến tính trên
X theo quy tắc
x ∈ X → x, y ∈ R,
và mỗi x ∈ X cũng xác định một phiếm hàm tuyến tính trên Y bởi
y ∈ Y → x, y ∈ R.
Như vậy có thể xem X là một không gian véc-tơ những phiếm hàm trên
Y , hay X ≤ Y
, f
2
, , f
m
}.
Hệ quả 1.2. Giả sử X là một không gian định chuẩn với không gian liên
hợp X
∗
. Lúc đó với dạng song tuyến tính x, f = f(x) trên X × X
∗
ta có
σ(X, X
∗
) = τ
ω
∗
. Đặc biệt, (X, τ
ω
)
∗
= X
∗
và (X
∗
, τ
ω
∗
)
∗
= X.
∗
∈ X
∗
.
Không gian định chuẩn X
∗
cũng có không gian liên hợp gồm các phiếm
hàm tuyến tính liên tục X
∗∗
trên nó mà ta kí hiệu là X
∗∗
, chuẩn
x
∗∗
= sup {|x
∗
, x
∗∗
| : x ≤ 1}, x
∗∗
∈ X
∗∗
.
Chú ý rằng trên X
∗
cũng tồn tại hai tôpô, đó là tôpô sinh bởi chuẩn mà
ta gọi là tôpô mạnh và tôpô yếu* τ
ω
∗
= σ (X
x
| : x
∗
≤ 1} = sup {|x, x
∗
| : x
∗
≤ 1} = x.
11
Như vậy, ánh xạ Φ : X → X
∗∗
với Φ(x) = φ
x
là một phép nhúng đẳng
cự từ X vào X
∗∗
và do đó, có thể đồng nhất X với không gian con Φ(x)
của X
∗∗
. Với quan điểm như vậy, từ nay về sau ta luôn xem X là không
gian con của không gian X
∗∗
. Không gian định chuẩn X được gọi là không
gian phản xạ nếu X = X
∗∗
(tức là ánh xạ nhúng là một song ánh từ X lên
X
∗∗
, điều này xảy ra khi và chỉ khi Φ(B
Từ định nghĩa trên ta thấy rằng, trong không gian lồi đều thì với 1 đoạn
thẳng nằm trong hình cầu đơn vị thì trung điểm của đoạn thẳng đó nằm
trong hình cầu có bán kính 1 − δ với δ > 0
Định lý 1.8. Mọi không gian Banach lồi đều là không gian phản xạ.
12
Định lý 1.9. Nếu X là không gian Banach lồi đều và (x
n
) ⊂ X và x
n
x
yếu trong tôpô σ(X, X
∗
) và lim
n→∞
sup x
n
≤ x thì x
n
→ x mạnh.
Cho X là không gian Banach và S
X
= {x ∈ X : x = 1} là mặt cầu
đơn vị.
Định nghĩa 1.18. (Không gian Banach trơn đều) Cho X là không gian
Banach gọi là trơn đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho
∀x, y ∈ X, x = 1, y ≤ δ
thì
x + y+ x − y ≤ 2 + ε y.
Modun của tính trơn là hàm ρ
X
L
∞
(R
2
) không là không gian lồi đều, thật vậy xét x = (1, 1) và y = (0, 1).
Ta có
⇒ x
∞
= y
∞
= 1
và
x + y
∞
= (1, 2)
∞
= 2
13
nhưng
x − y
∞
= (1, 0)
∞
= 1.
Định nghĩa 1.19. (Không gian trơn) Một không gian Banach (E, .)
được gọi là trơn nếu giới hạn
lim
t→0
x + ty−x
t
Nếu hai toán tử tuyến tính liên tục A
1
, A
2
cùng là đạo hàm Fréchet của
A tại x thì khi h → 0
A
1
(h) − A
2
(h)
h
=
r
1
(h) − r
2
(h)
h
→ 0.
Nhưng với mọi phần tử k ∈ X và mọi ε > 0 ta có:
A
1
(k) − A
khả vi Gâteaux tại x
0
∈ X nếu tồn tại ánh xạ δA ∈ L(X, Y ) sao cho với
mỗi h ∈ X,
δA(x
0
, h) = lim
t→0
A(x + th) −A(x)
t
.
Nếu ánh xạ A khả vi Gâteaux tại mọi điểm x
0
∈ X thì ta nói A khả vi trên
X. Khi đó ta gọi δA là đạo hàm Gâteaux của ánh xạ A.
1.1.5. Ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.22. Cho X, Y là hai tập hợp bất kỳ. Cho F : X ⇒ Y là
ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y (được kí hiệu là
2
Y
), khi đó ta gọi F là một ánh xạ đa trị từ X vào Y .
Như vậy, với mỗi x ∈ X nào đó ta có F (x) có thể là tập rỗng.
Ta sẽ thường sử dụng kí hiệu F : X ⇒ Y để chỉ sự kiện X là ánh xạ đa
trị từ X vào Y.
Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm đúng một phần tử của Y , thì ta
nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y, khi đó, thay cho kí hiệu F : X ⇒ Y
người ta sử dụng kí hiệu quen thuộc F : X → Y.
Định nghĩa 1.23. Đồ thị gphF , miền hữu hiệu domF và miền ảnh rgeF
của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y tương ứng được xác định bằng các công thức
gphF = {(x, y) ∈ X ×Y : y ∈ F (x)},
nửa liên tục dưới ở trong X.
Định nghĩa 1.27. Ta nói F là liên tục tại x ∈ domF nếu F đồng thời là
nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x. Nếu F là liên tục tại mọi điểm
thuộc domF thì F được gọi là liên tục ở trên X.
Định nghĩa 1.28. Một ánh xạ đa trị T từ một không gian Banach B vào
lớp các tập con của đối ngẫu B
∗
của B gọi là một toán tử đơn điệu nếu
x
∗
− y
∗
, x −y ≥ 0, ∀x, y ∈ B và x
∗
∈ T (x), y
∗
∈ T (y).
Ta không yêu cầu T(x) là khác rỗng.
1.2. Không gian Hilbert
Giả sử H là không gian tuyến tính trên R
Định nghĩa 1.29. Một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương
trong H là một ánh xạ φ : H × H → R thỏa mãn các điều kiện:
a) ϕ(x + y, z) = ϕ(x, z) + ϕ(y, z);
b) ϕ(x, y + z) = ϕ(x, y) + ϕ(x, z);
c) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y);
d) ϕ(x, λy) = λϕ(x, y);
e) ϕ(x, y) = ϕ(x, y);
với mọi x, y, z ∈ H, λ ∈ R.
17
Định nghĩa 1.30. Dạng song tuyến tính đối xứng dương (., .) xác định
n
} và {y
n
}
hội tụ đến x và y trong H. Khi đó,
lim
n→∞
(x
n
, y
n
) = (x, y) .
18
Định nghĩa 1.32. Không gian tiền Hilbert H đầy đủ được gọi là một không
gian Hilbert.
Định nghĩa 1.33. Mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian
Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H.
Định lý 1.12. (F.Riesz)
Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H đều có thể
biểu diễn duy nhất dưới dạng: f(x) = x, a, ∀x ∈ H, với a là một phần tử
nào đó thuộc H xác định duy nhất theo f và f = a.
Nhận xét 1.3. Nhờ định lý trên ta có thể đồng nhất H
∗
với H hay không
gian Hilbert là không gian tự liên hợp. Vậy không gian Hilbert là không gian
phản xạ vì H = H
∗
= H
∗∗
.
Để tránh nhầm lẫn, ta luôn hiểu j(x) là chuẩn trong B
∗
và x là
chuẩn trong B. Nhiều tính chất của ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa f đã được
nghiên cứu. Ta đưa ra những tính chất của J dưới đây:
19
(J
1
) với ∀x ∈ B, J(x) là không rỗng, bị chặn và lồi đóng;
(J
2
) với ∀x ∈ B và α ∈ R, J(αx) = αJ(x);
(J
3
) với ∀x, y ∈ B, ϕ ∈ J(x) và ψ ∈ J(y), ϕ − ψ, x − y ≥ 0;
(J
4
) với ∀x, y ∈ B và ψ ∈ J(y), 2 ψ, x −y ≤ x
2
− y
2
;
(J
5
) nếu B là lồi ngặt, J là một ánh xạ của 1-1 lên (tức, song ánh);
(J
6
) nếu B là phản xạ, J là một ánh xạ của B lên B
∗
;
B
∗
và trong không gian Hilbert H. Kí hiệu cặp đối ngẫu của B
∗
và B là
ϕ, x với ϕ ∈ B
∗
và x ∈ B((y, x) kí hiệu là tích vô hướng trong H).
Định nghĩa 1.35. Cho A : X
∗∗
×X
∗∗
→ X
∗
là nửa đơn điệu và K ⊂ X
∗∗
là một tập con lồi đóng. Bài toán bất đẳng thức biến phân là bài toán:
Tìm w
0
∈ K sao cho
A(w
0
, w
0
), u −w
0
≥ 0, ∀u ∈ K.
20
Định nghĩa 1.36. Phần tử x
∗
∈ K được gọi là nghiệm của bất đẳng thức
biến phân, nếu tồn tại z ∈ Ax
∗
sao cho
z −f, ξ −x
∗
≥ 0, ∀ξ ∈ K,
trong đó A là khai triển đơn điệu cực đại của A trong D(A).
Kết luận
Chương này đã trình bày được một số khái niệm về không gian Banach,
không gian Hilbert, các khái niệm cơ bản của giải tích đa trị, ánh xạ đối
ngẫu chuẩn hóa, và bài toán bất đẳng thức sẽ nghiên cứu ở chương sau.
Copyright: Tài liệu đại học ©