Số hóa bởi trung tâm học liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
o0o
TRẦN XN THIỆN

TỐC ĐỘ HỘI TỤ TRONG HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH
VỚI TỐN TỬ J-ĐƠN ĐIỆU TRONG KHƠNG GIAN
BANACH

Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG
Mã ngành: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC


Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. Một số vấn đề cơ bản 5
1.1. Khơng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Sự hội tụ trong khơng gian Banach . . . . . . . . 5
1.1.3. Khơng gian phản xạ . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4. Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5. Khơng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.6. Khơng gian lồi chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.7. Khơng gian E-S(Ephimov Stechkin) . . . . . . . . 8
1.1.8. Ánh xạ J-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Bài tốn đặt khơng chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1. Khái niệm về bài tốn đặt khơng chỉnh . . . . . . 9
1.2.2. Bài tốn đặt khơng chỉnh với tốn tử J-đơn điệu . 10
Chương 2. Tốc độ hội tụ trong hiệu chỉnh phương trình với
tốn tử J-đơn điệu trong khơng gian Banach 15
2.1. Giới thiệu sơ bộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Số hóa bởi trung tâm học liệu />2
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hồn thành tại Trường Đại Học Khoa học, Đại
học Thái Ngun dưới sự hướng dẫn tận tình của Giáo sư Nguyễn
Bường. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa
học và Quan hệ Quốc tế, Khoa Tốn-Tin Trường Đại học Khoa học,
Đại học Thái Ngun đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời
gian học tập tại Trường.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia

tốc độ hội tụ tối ưu cho nghiệm hiệu chỉnh.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />4
Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và khn khổ của luận văn
thạc sĩ, nên trong q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi những thiếu
sót, tơi rất mong được sự chỉ dạy và đóng góp ý kiến của các Thầy Cơ
và độc giả quan tâm tới luận văn này.
Thái Ngun, ngày 20 tháng 08 năm 2013
Tác giả
Trần Xn Thiện
Số hóa bởi trung tâm học liệu />5
Chương 1
Một số vấn đề cơ bản
Trong chương này chúng tơi nhắc lại một số kiến thức cơ bản của
giải tích hàm có liên quan đến nội dung nghiên cứu của đề tài. Các khái
niệm này được tham khảo trong các tài liệu [1] và [2].
1.1. Khơng gian Banach
1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1. Khơng gian định chuẩn là khơng gian tuyến tính X
trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X có một số ||x|| gọi là chuẩn của x,
thỏa mãn các điều kiện sau:
1. ||x|| > 0, ∀x = 0, ||x|| = 0 ⇔ x = 0;
2. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X. (Bất đẳng thức tam giác)
3. ||αx|| = |α|.||x||, ∀x ∈ X, α ∈ R.
Khơng gian định chuẩn đầy đủ gọi là khơng gian Banach.
Ví dụ 1.1.1. Khơng gian L
p
[a, b] với 1 ≤ p < ∞ là khơng gian Banach
với chuẩn
ϕ =


} ⊂ X được gọi là hội tụ yếu đến x
0
∈ X, kí hiệu x
n
 x
0
, nếu
với ∀f ∈ X
∗
-khơng gian liên hợp của X, ta có f(x
n
) → f(x
0
) khi n → ∞.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />6
Tính chất 1.1.1. Từ định nghĩa trên ta có các tính chất sau
1. Từ sự hội tụ mạnh của một dãy x
n
suy ra sự hội tụ yếu của dãy đó.
2. Giới hạn yếu nếu có của một dãy là duy nhất.
3. Nếu x
n
 x thì sup
1≤n<∞
x
n
 < ∞ và x ≤ lim
n→∞
x
n

∗
tại x ∈ X. Ta có ||x|| = ||x
∗∗
||. Đặt h(x) = x
∗∗
, nếu h : X → X
∗∗
là tồn
ánh thì khơng gian X được gọi là khơng gian phản xạ.
Ví dụ 1.1.2. Khơng gian L
p
[0, 1], p > 1 là khơng gian phản xạ. Mọi
khơng gian định chuẩn hữu hạn chiều đều phản xạ.
Định lý 1.1.1. (xem[2]) Nếu X là khơng gian Banach thì các khẳng
định sau là tương đương:
1. X phản xạ.
2. Mọi dãy giới nội là Compact yếu, tức là ∀{x
n
} ⊂ X : x
n
 ≤ K ⇒
∃{x
n
k
}, x
n
k
 x ∈ X
3. Hình cầu đơn vị đóng trong X là compact yếu.
4. Mỗi tập bị chặn đóng yếu trong X là compact yếu.

, L
2
[a, b] là các khơng gian Hilbert với
tích vơ hướng được xác định tương ứng là
x, y =
n

i=1
ξ
i
η
i
, x = (ξ
1
, ξ
1
, , ξ
n
) , y = (η
1
, η
1
, , η
n
) ∈ R
n
ϕ, ψ =
b

a

Ký hiệu x, x
∗
 là giá trị của x
∗
∈ E
∗
với x ∈ E.
Ánh xạ J : E −→ E
∗
đươc gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E nếu
thỏa mãn điều kiện sau:
x, J(x) = ||x||
2
, ||J(x)|| = ||x||, ∀x ∈ E.
∗ Tốn tử A : E −→ 2
E
gọi là m-J-đơn điệu nếu A là tốn tử đơn điệu
và (A + λI) = E với mọi λ > 0.
∗ Cho A là ánh xạ đơn trị m-J-đơn điệu trên E.
Khi đó ánh xạ A : E −→ E có các tính chất:
(i) A(x) −A(y), j(x −y) ≥ 0, ∀x, y ∈ E ở đây j(x − y) ∈ J(x −y) và
(ii)(A + λI) = E với mọi λ > 0 trong đó (A) là miền ảnh của A và I
là tốn tử đơn vị của E.
Nếu tồn tại hằng số α > 0 sao cho:
A(x) −A(y), j(x −y) ≥ α||x − y||
2
∀x, y ∈ E
thì A gọi là J-đơn điệu mạnh với hằng số α. Khi α = 0 thì A gọi là
J-đơn điệu.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />9

δ
(giả thiết
rằng nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì f
δ
→ f nhưng với bài tốn đặt
khơng chỉnh thì x
δ
nói chung khơng hội tụ đến x.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />10
1.2.2. Bài tốn đặt khơng chỉnh với tốn tử J-đơn điệu
1. Tốn tử đơn điệu
Cho X là khơng gian Banach thực, A : D(A) → X
∗
là một tốn tử với
miền xác định là D(A) = X và miền ảnh R(A) nằm trong X
∗
.
Định nghĩa 1.2.2. Tốn tử A được gọi là
1. Đơn điệu nếu
A(x) −A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A);
2. Đơn điệu chặt nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi x = y;
3. Đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm khơng âm δ(t) khơng giảm với
t ≤ 0, δ(t) = 0 và A(x) −A(y), x − y ≥ δ(x −y), ∀x, y ∈ D(A);
Nếu δ(t) = c
A
t
2
với c
A
là một hằng số dương thì tốn tử A được

x
= +∞, ∀x ∈ X.
Định nghĩa 1.2.5. Ánh xạ U
s
: X → X
∗
(nói chung đa trị) xác định
bởi
U
s
(x) =

x
∗
∈ X
∗
: x
∗
, x = x
∗
. x; x
∗
 = x
s−1

, s ≥ 2.
được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng qt của khơng gian X. Khi s = 2 thì
U
s
thường được viết là U và gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X.

) = f.
Nếu A là tốn tử đơn điệu trên X thì điều kiện trên tương đương với
A(x
0
) −f, x −x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X.
Bổ đề trên có tên là bổ để Minty, tên một nhà tốn học Mỹ, người
đã chứng minh kết quả trên trong trường hợp khơng gian Hilbert và sau
này chính ơng và Browder đã chứng minh một cách độc lập trong khơng
gian Banach.
Định nghĩa 1.2.6. Hàm F : X → R được gọi là
1. lồi trên X nếu với mọi x, y ∈ X ta có
F (tx + (1 − t)y) ≤ tF(x) + (1 −t)F (y), ∀t ∈ [0, 1] ;
2. lồi chặt trên X nếu bất đẳng thức trên khơng xảy ra dấu bằng với
x = y;
Số hóa bởi trung tâm học liệu />12
3. nửa liên tục dưới trên X nếu
lim inf
y→x
F (y) ≥ F(x), ∀x ∈ X;
4. nửa liên tục dưới yếu trên X nếu với mọi dãy {x
n
} : x
n
 x thì
lim inf
n→∞
F (x
n

1 1.0001 1 1 1
1 1 1.0001 1 1
1 1 1 1.0001 1
1 1 1 1 1.0001






và vế phải f = (5; 5.0001; 5.0001; 5.0001; 5.0001)
T
∈ R
5
khi đó phương
trình có nghiệm duy nhất
x = (1; 1; 1; 1; 1)
T
∈ R
5
Nếu
A = A
h
1
=






1 1 1 1 1
1 1.0001 1 1 1
1 1 1.0001 1 1
1 1 1 1.0001 1
1 1 1 1 1






và f = (5.0001; 5.0001; 5.0001; 5.0001; 5.0001)
T
∈ R
5
.
thì phương trình vơ nghiệm. Ta thấy một thay đổi nhỏ của hệ số
trong phương trình ban đầu kéo theo những thay đổi đáng kể là nghiệm.
3. Phương pháp hiệu chỉnh
Giả sử A
−1
khơng liên tục và thay cho f ta chỉ cho f
δ
thỏa mãn
f
δ
− f ≤ δ.
Bài tốn đặt ra là dựa vào thơng tin về (A, f
δ
) và δ sai số, tìm một

Ta cũng có thể thấy rằng nếu được thì từ f
0
∈ Y ta có phần tử xấp
xỉ tương ứng thuộc X. Tức là tồn tại một tốn tử nào đó tác động từ
khơng gian Y vào khơng gian X.
Định nghĩa 1.2.7. Cho A : X → Y là một tốn tử từ khơng gian
Banach X vào khơng gian Banach Y . Tốn tử T (f, α) phụ thuộc vào
tham số α tác động từ Y vào X được gọi là một tốn tử hiệu chỉnh cho
Số hóa bởi trung tâm học liệu />14
phương trình (1.1), nếu:
- Tồn tại hai số dương δ
1
và α
1
sao cho tốn tử T (f
δ
, α) xác định với
mọi α ∈ (0, α
1
) và với mọi f
δ
∈ Y thoả mãn
f
δ
− f ≤ δ.
- Tồn tại một hàm α = α(δ, f
δ
) phụ thuộc vào δ sao cho với mọi ε > 0
ln tìm được δ(ε) ≤ δ
1

)) .
Tốn tử hiệu chỉnh T (f, α) trong định nghĩa này nói chung là đa trị.
Phần tử xấp xỉ x
δ
α
∈ T (f
δ
, α (δ, f
δ
)) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của
phương trình (1.1), còn α = α (δ, f
δ
) được gọi là tham số hiệu chỉnh.
Tham số hiệu chỉnh α = α (δ, f
δ
) phải được chọn sao cho
lim
δ→0
α (δ, f
δ
) = 0.
Rõ ràng nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ liệu ban đầu. Như vậy việc
tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào dữ kiện của phương trình (1.1)
gồm các bước:
1) Xây dựng tốn tử hiệu chỉnh T(f, α);
2) Chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thơng tin của bài tốn
về phần tử f
δ
và mức sai số δ.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />15

α
với
mỗi giá trị cố định α > 0 và δ > 0.
Hơn thế nưa, từ (2.1), (2.2) và tính J-đơn điệu của A dễ dàng thu được
kết quả sau :
||x
δ
α
− y|| ≤ ||y − x
+
|| + δ/α ∀y ∈ S (2.3)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />16
Trong [1], người ta đã chứng minh được hàm số ρ(α) = α||x
δ
α
− x
+
|| là
liên tục, đơn điệu khơng giảm. Nếu A liên tục tại x
+
thì:
lim
α→∞
ρ(α) = 0, lim
α→∞
ρ(α) = ||A(x
+
) −f
δ
||

∗
∈ S ( xem [1], [2]).
Rất tiếc lớp khơng gian Banach thực, vơ hạn chiều có J với các tính chất
trên là rất nhỏ ( duy nhất l
p
). Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là thuật
tốn (2.2) có thể áp dụng cho khơng gian Banach khác được khơng ?.
Trong [1-3] chúng ta biết sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh x
δ
α
tới
nghiệm của (2.1) trong khơng gian Banach, khơng có ánh xạ đối ngẫu
liên tục yếu J. Khi A là liên tục yếu:
||A(x)−A(y
∗
)−QA

(y
∗
)
∗
J(x−y
∗
)|| ≤ τ||A(x)−A(y
∗
)|| ∀y ∈ E (2.4)
Ở đây τ là hằng số dương, A

(x) kí hiệu là đạo hàm Fréchet của A tại
x ∈ E và Q là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E

(0). Khơng gian E gọi là chuẩn khả vi Gâteaux
đều nếu giới hạn trên đều với x ∈ S
1
(0). Khơng gian E gọi lồi chặt nếu
x, y ∈ S
1
(0) với x = y ta có:
||(1 −λ)x + λy|| < 1 ∀λ ∈ (0, 1)
Chúng ta biết rằng (xem [1-3]) nếu E là trơn thì ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc là đơn trị. Nếu chuẩn của E là khả vi Gâteaux đều thì ánh xạ
đối ngẫu là liên tục yếu đều trên tập hợp giới nội của khơng gian E.
Trong phần tài liệu kí hiệu ánh xạ đối ngẫu tổng qt đơn trị là j.
Cho µ là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l
∞
và cho (a
1
, a
2
, ) ∈ l
∞
.
Ta viết µ
k
(a
k
) thay cho µ((a
1
, a
2
, )). Gọi µ là giới hạn Banach khi µ

với mọi (a
1
, a
2
, ) ∈ l
∞
.
Nếu a = (a
1
, a
2
, ) ∈ l
∞
, b = (b
1
, b
2
, ) ∈ l
∞
và a
k
→ c (tương ứng
a
k
− b
k
→ 0), khi k → ∞, ta có µ
k
(a
k

k
u −z, j(x
k
− z) ≤ 0 với mọi u ∈ C.
Với một ánh xạ m-J-đơn điệu A trong E và phần tử cố định bất kỳ
f ∈ E, ta có thể xây dựng một ánh xạ u = T
f
(x) bằng
A
f
(u) + u = x, A
f
(.) = A(.) −f (2.6)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />18
với mỗi x ∈ E.
Vì A
f
cũng là J-đơn điệu, việc tồn tại của T
f
là hiển nhiên.
Khơng khó để kiểm tra T
f
có các tính chất sau:
1. D(T
f
) = E.
2. T
f
là khơng giãn, có nghĩa là ||T
f

A(x) + α(x −x
+
) = f (2.7)
có một nghiệm duy nhất x
α
và thêm nữa nếu tập nghiệm của (2.1) là
S = ∅, thì dãy x
α
hội tụ mạnh tới phần tử y
∗
∈ E, là nghiệm bất đẳng
thức biến phân sau:
y
∗
∈ S :

y
∗
− x
+
, j(x −y)

≤ 0 ∀y ∈ S. (2.8)
Mặt khác ta có:
||x
δ
α
− x
α
|| ≤ δ/α

với mọi y ∈ S. Vì vậy
x
α
− y
2
≤

x
+
− y, j (x
α
− y)

∀y ∈ S. (2.9)
Do đó ||x
α
− y|| ≤ ||x
+
− y||. Có nghĩa là x
α
giới nội. Một lần nữa từ
(2.7) suy ra ||A(x
α
) −f|| = α||x
α
− x
+
|| ≤ 2α||x
+
− y|| và do đó

f
) = S. Theo đó từ
x
δ
α
− T
f
x
δ
α
= (2I − T
f
)x
δ
α
− x
δ
α
= A(x
δ
α
) −f
và
ξ(2I −T
f
)x
δ
α
= (I + A
f

−x
δ
α
|| = ||A(x
δ
α
)−f||.
Bất đẳng thức này cùng với (2.10) kéo theo ||x
α
−ξx
α
|| → 0 khi α → 0.
Cho x
k
là dãy con bất kỳ của x
α
với α
k
→ 0 khi k → ∞.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />20
Ta xét phiếm hàm ϕ(x) = µ
k
||x
k
− x||
2
∀x ∈ E. Ta thấy ϕ(x) → ∞
khi ||x|| → ∞ và ϕ liên tục và lồi, vì vậy E là phản xạ nên tồn tại
∼
y

k
− ξ
∼
y
||
2
= µ
k
||ξx
k
− ξ
∼
y
||
2
≤ µ
k
||x
k
−
∼
y
||
2
= ϕ(
∼
y
).
Từ đó ξC
∗

y
|| = ||ξy −ξ
∼
y
|| ≤ ||y −
∼
y
||,
và do đó ξ
∼
y
=
∼
y
. Có nghĩa là tồn tại một điểm
∼
y
∈ Fix(ξ)∩C
∗
= S ∩C
∗
Từ bổ đề 2.1.1, ta thấy
∼
y
là cực tiểu của ϕ(x) trong E khi và chỉ khi
µ
k
x − y, j (x
k
− y) ≤ 0 ∀x ∈ E. (2.11)

Từ y và
∼
y
của F ix(ξ), tập đóng và lồi, thay y trong (2.12) bằng sy +
(1 −s)
∼
y
với s ∈ (0; 1), sử dụng tính chất đã biết j(s(
∼
y
−y)) = sj(
∼
y
−y)
với s > 0 , chia cho s và lấy s → 0 ta có:

y −x
+
, j (y −y)

≤ 0 ∀y ∈ S
Số hóa bởi trung tâm học liệu />21
Tính duy nhất của y
∗
trong (2.8) đảm bảo
∼
y
= y
∗
. Vì vậy x

α


2
=

f
δ
− f, j

x
δ
α
− x
α

,
kéo theo ||x
δ
α
− x
α
|| ≤ δ/α.
(Điều phải chứng minh)
Định lý 2.2.2. Cho E, A và f như trong định lí 2.2.1 sao cho S = ∅. Giả
sử (2.5) đúng và đạo hàm Frechet A

(.) là liên tục Lípchits địa phương
trong hình cầu
B

α
− y
∗
|| ≤ 2(L||v||
2
+ ||v||)α.
Chứng minh
Vì A là đơn điệu, A

(y
∗
) cũng đơn điệu. Kéo theo A

(y
∗
) cũng là J-đơn
điệu.
Đặt F = A

(y
∗
), R
α
= α(F + αI)
−1
và B = F R
α
thì
αF −αB = αF −αF R
α

) −A(y
∗
+ Bv) + α(x
α
− y
∗
− Bv) −αBv
= A(y
∗
) −A(y
∗
+ Bv) + αF (v) − αBv
= A(y
∗
) −A(y
∗
+ Bv) + F Bv
kéo theo
αx
α
− Bv
2
≤ A (y
∗
) −A (y
∗
+ Bv) + F Bv, j (x
α
− (y
∗

≤ 2L||v||
2
Mặt khác
||z
α
|| = ||x
α
− y
∗
|| ≤ ||z
α
− Bv|| + ||Bv|| ≤ 2(L||v||
2
+ ||v||)α
(Điều phải chứng minh)
Định lý 2.2.3. Cho E, A và f như trong định lý 2.2.2. Giả sử điều kiện
(2.5) đúng và mỗi điều kiện khác trong định lý 2.2.2 hoặc tồn tại một
hằng số k
0
> 0 sao cho k
0
||x
+
− y
∗
|| < 1 và
A

(x)−A


∗
|| ≤ O(
√
δ)
Chứng minh
Hiển nhiên khi điều kiện trong định lý 2.2.1 được thỏa mãn, từ định
lý 2.2.1 và 2.2.2 và (2.3) ta có:
||x
δ
α
− y
∗
|| ≤
δ
α
+ 2(L||v||
2
+ ||v||)α
Vì ||x
δ
α
− y
∗
|| ≤ O(
√
δ), nếu α là lựa chọn sao cho α = O(
√
δ).
Bây giờ ta đặt x
t

∗
) = A

(y
∗
)(x
α
− y
∗
) +

1
0
(A

(x
t
) −A

(y
∗
))(x
α
− y
∗
)dt
Số hóa bởi trung tâm học liệu />