BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HÀ THỊ HÒA

ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL
CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC
TRONG KHÔNG GIAN BANACH
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS Cung Thế Anh

HÀ NỘI, 2016


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến PGS.TS Cung
Thế Anh, người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn
để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học,
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng
nghiệp đã cổ vũ, động viên, tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

gian Banach

6

1.1

Tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Khái niệm, tính chất của số chiều fractal

. . . . . . . . . .

8

1.3

Định lí về đánh giá số chiều fractal . . . . . . . . . . . . . .

9

Một số ứng dụng

15

2.1


ta biết rằng nếu một tập hút toàn cục có số chiều fractal hữu hạn thì, về
nguyên tắc, ta có thể chuyển việc nghiên cứu hệ động lực trên tập hút về
nghiên cứu các hệ động lực trong không gian hữu hạn chiều.
Trong những năm qua, đã có nhiều kết quả tổng quát về đánh giá số
chiều fractal của tập hút toàn cục và áp dụng chúng cho tập hút toàn cục
của nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng cụ thể, xem [6]. Tuy nhiên,
phần lớn các kết quả đã có mới dừng lại trong trường hợp tập hút toàn


4

cục trong không gian Hilbert. Các kết quả về tương ứng trong trường hợp
tập hút toàn cục trong không gian Banach vẫn còn ít. Vì vậy, chúng tôi
chọn vấn đề này làm đề tài nghiên cứu của luận văn.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu việc đánh giá chặn trên của số chiều fractal của tập hút toàn
cục trong không gian Banach. Áp dụng kết quả tổng quát này để chứng
minh tính hữu hạn chiều của tập hút toàn cục của một số lớp phương trình
cụ thể.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Đánh giá chặn trên của số chiều fractal của tập hút toàn cục trong
không gian Banach.

• Áp dụng xét tính hữu hạn chiều của tập hút toàn cục của một số lớp
phương trình cụ thể.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Tập hút toàn cục của hệ động lực tiêu hao vô

tập hút toàn cục; thiết lập kết quả tổng quát về đánh giá chặn trên của
số chiều fractal của tập hút toàn cục trong không gian Banach.

1.1

Tập hút toàn cục

Mục này trình bày các định nghĩa về nửa nhóm liên tục, tập hút toàn
cục, tập hấp thụ và trình bày định lí cơ bản về sự tồn tại tập hút toàn
cục. Mục này được viết chủ yếu dựa trên tài liệu [2].

Giả sử X là không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.1. Một họ các ánh xạ liên tục

S (t) : X → X , t ≥ 0,
gọi là một nửa nhóm liên tục trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
1. S(0) = Id;


7

2. S(t + s) = S(t)S(s), ∀t, s ≥ 0;
3. Với mỗi x0 ∈ X , ánh xạ t → S (t) x0 liên tục trên [0; +∞);
4. Với mỗi t ≥ 0, ánh xạ x0 → S (t) x0 liên tục trên X .
Định nghĩa 1.1.2. Tập con khác rỗng A ⊂ X gọi là tập hút toàn cục của
nửa nhóm S(t) nếu:
1. A là compact;
2. A là bất biến đối với nửa nhóm S(t) , tức là

S (t) A = A, ∀t ≥ 0;


S(t)A
s≥0

t≥s

X

ở đó S(t)A = {v = S(t)u : u ∈ A} và [E]X là bao đóng của E trong X.

Định lí sau đây là định lí cơ bản về sự tồn tại tập hút toàn cục.
Định lí 1.1.1. Giả sử nửa nhóm S (t) trong X là liên tục và có một tập
hấp thụ compact B0 . Khi đó nửa nhóm S (t) có một tập hút toàn cục A và

A = ω (B0 ), tập ω -giới hạn của B0 . Hơn nữa, A là tập liên thông.

1.2

Khái niệm, tính chất của số chiều fractal

Mục này trình bày khái niệm và tính chất của số chiều fractal. Mục này
được viết chủ yếu dựa trên tài liệu [1].
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử M là một tập compact trong không gian metric

X . Khi đó, số chiều fractal của M được định nghĩa bởi

log2 NX (M, )
ln NX (M, )
=
lim


dimF (f (M )) ≤

1.3

dimF M
.
θ

Định lí về đánh giá số chiều fractal

Mục này trình bày định lí về đánh giá số chiều fractal. Mục này được
viết chủ yếu dựa trên tài liệu [3].
Trước khi nghiên cứu định lí ta xét hai bổ đề sau:
Bổ đề 1.3.1. Nếu U là một không gian con n chiều của không gian Banach
thực X thì

NX (BU (0, r), ρ) ≤ (n + 1)

n

r
ρ

n

,

0 < ρ ≤ r,



T

−1

n

r
ρ

n

r
≤ 1+n
ρ

≤ (n + 1)

r
ρ

n

n

hình cầu trong Rn∞ có bán kính ρ/ T , điều này suy ra BU (0, r) có thể
được phủ bởi số U - hình cầu bán kính ρ tương tự. Nếu X là phức ta cần

(1 + (a/b))2n b - hình cầu trong Cn∞ để phủ hình cầu bán kính a.
Ta kí hiệu L(X) là không gian các phép biến đổi tuyến tính bị chặn từ



0, tồn tại một không gian con


11

hữu hạn chiều Z sao cho
dist(C[BX (0, 1)], C[BZ (0, 1)]) < .
Giả sử có một trường hợp không thỏa mãn. Chọn x1 ∈ X với x1

X

=1

và cho Z1 = span{x1 }. Khi đó,
dist(C[BX (0, 1)], C[BZ1 (0, 1)]) ≥ ,
và cũng tồn tại x2 ∈ X với x2

X

= 1 sao cho

Cx2 − Cx1

X

≥ .



điều này mâu thuẫn với tính compact của C .
˜ < λ sao cho 2 L L(X) < λ
˜ < λ và chọn Z sao cho
Bây giờ, cho λ

˜
dist(C[BX (0, 1)], C[BZ (0, 1)]) < λ − λ.
Nếu x ∈ BX (0, 1) và z ∈ BZ (0, 1) thì

Tx − Tz

X

≤ L(x − z)

X

+ Cx − Cz

X

˜ + Cx − Cz
≤λ

X.

Nên

˜ + dist(C[BX (0, 1)], C[BZ (0, 1)]) < λ.

.
− log(2λ)

Chứng minh. Đầu tiên, ta chứng minh n = sup νλ (Df (x)) là hữu hạn. Với
x∈K

mỗi x ∈ K , tồn tại không gian con tuyến tính hữu hạn chiều Zx sao cho
dist(Df (x)[BX (0, 1)], Df (x)[BZx (0, 1)]) < λ.
Vì Df (.) liên tục nên dẫn đến tồn tại δx > 0 sao cho
dist(Df (y)[BX (0, 1)], Df (y)[BZx (0, 1)]) < λ
với mọi y ∈ BX (x, δx ), tức là νλ (y) ≤ νλ (x) với mọi y . Phủ mở của K có
dạng hợp của các BX (x, δx ) trên x có phủ con hữu hạn,từ đây suy ra khi

n < ∞.
Vì n = sup νλ (Df (x)) < ∞ nên với mỗi x ∈ K tồn tại một không gian
x∈K

con Zx của X với dim(Zx ) ≤ n sao cho
dist(Df (x)[BX (0, 1)], Df (x)[BZx (0, 1)]) < λ.
Để cho đơn giản ký hiệu, ta viết thêm x vào chỉ số dưới lên Zx và viết

T = Df (x).


13

Chú ý rằng T (Z) cũng là một không gian con n chiều của X , ta có
thể sử dụng Bổ đề 1.3.1 để phủ hình cầu BT (Z) (0, T ) với các hình cầu

BX (yi , λ), 1 ≤ i ≤ k sao cho yi ∈ BX (0, T ) với mỗi i và

X

≤λ

với i ∈ {1, . . . , k} và

T x − yi

X

≤ Tx − y

X

+ y − yi

X

< 2λ,

tức là T x ∈ BX (yi , 2λ).
Kết quả này suy ra phát biểu của định lí vì n đều trên x ∈ K .

Các hệ quả dưới đây là kết quả suy ra từ định lí trên:
Hệ quả 1.3.1. Giả sử rằng X là một không gian Banach, U ⊂ X là một
tập mở và f : U → X là ánh xạ khả vi liên tục. Giả sử K ⊂ U là một tập
compact sao cho f (K) ⊇ K và Df (x) ∈ L1 (X) với mọi x ∈ K . Khi đó

dimF (K) < ∞.


dimF (K) ≤ ν
log(1/2λ)
Lấy giới hạn khi λ → 0 suy ra dimF (K) ≤ ν .


15

Chương 2
Một số ứng dụng
Chương này áp dụng kết quả tổng quát ở Chương 1 để đánh giá số chiều
fractal của tập hút toàn cục của một lớp phương trình vi phân thường và
một lớp phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính loại parabolic. Chương
này được viết chủ yếu dựa trên tài liệu [2] và [3].

2.1

Áp dụng cho một lớp phương trình vi phân
thường

Cho f : Rn → Rn là hàm khả vi liên tục. Giả sử nửa nhóm {S (t) : t ≥ 0}
trong Rn sinh bởi phương trình vi phân
.

x = f (x)

(2.1)

x (0) = x0 .

(2.2)

V (x) → +∞ khi x → +∞.

(2.4)

Hàm V (x) là một hàm Lyapunov đối với hệ (2.1) khi x lớn, tức là bên
ngoài miền D = x ∈ Rn : V (x)


V là hàm Lyapunov), và khi đó A = {x∗ }. Trong trường hợp này tập hút
toàn cục là tầm thường.
Tiếp theo ta đi đánh giá số chiều của tập hút toàn cục A.
Nếu rank (Dx f ) ≤ k ≤ n với mọi x ∈ A thì dimF (A) ≤ k.
Cụ thể, nếu f : Rn → Rn , β > 0 và tồn tại hằng số M > 0 sao cho

f (x) · x < 0 với x
d
dt

Rn

x
y

≥ M , khi đó nửa nhóm {S (t) : t ≥ 0} tương ứng
=

0 I
0 −β
x
y

(0) =

x
y

+


K(X α , X) là compact với mỗi x ∈ A thì dimF (A) < ∞.
Chứng minh. Với mỗi x ∈ A, cho
−At

S(t)x = e

t

x+

e−A(t−s) f (S(s)x)ds

0

nên đạo hàm Sx (t) ∈ L(X α ) với tương ứng x thuộc S(t) tại x thỏa mãn

Sx (t) = e

−At

t

+

e−A(t−s) f (S(s)x)Sx (s)ds.

0

Do đó, với t lớn thích hợp, giả thiết của Hệ quả 1.3.1 được thỏa mãn và

L(X α ) ds,


19

trong đó

N = sup{ f (x)

L(X α ,X)

: x ∈ A}.

Từ bất đẳng thức Gronwall (xem [4, Bổ đề 7.1.1]) suy ra

Sx (t)

L(X α )

≤

M (M N Γ(1−α)1/(1−α) t
e
.
1−α

Bây giờ, nếu Qn = (I − Pn ),
t

Qn Tx (t)

1/(1−α)

)(t−s) ds

0

t

M M N (M N Γ(1−α))1/(1−α) t
≤ M e−λn t +
e
1−α

u−α e−(λn +(M N Γ(1−α))

1/(1−α)

)u du

0

1/(1−α)

≤ Me

−λn t

t
M M N e(M N Γ(1−α))
Γ (1 − α)


gian con của X sao cho Cx : Wx → Zx là một đẳng cấu, Fx ∈ Lλ/2 (X)
1
với mọi x ∈ A và λ < . Thêm nữa,
2

ν = sup dim(Zx ) ≤ dim(R(P )).
x∈A

Điều này chứng minh các giả thiết của Định lí 1.3.1 được thỏa mãn và ta
có

dimF (A) ≤ ν

D
log((ν + 1) λ)

log(1/2λ)

< ∞.


21

Kết luận
Luận văn đã trình bày các khái niệm và kết quả cơ bản về sự tồn tại tập
hút toàn cục; khái niệm và các tính chất của số chiều fractal của tập hút
toàn cục; thiết lập kết quả tổng quát về đánh giá chặn trên của số chiều
fractal của tập hút toàn cục trong không gian Banach.
Luận văn cũng áp dụng được các kết quả tổng quát để xét tính hữu