PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN CẤP HUYỆN

Năm học 2013-2014
Môn: Toán 8
Thời gian làm bài: 120 phút

Câu1(5điểm)
a)Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x 4 − 3x3 + 3x 2 + ax + b chia hết cho đa
thức B( x) = x 2 − 3x + 4
b)Cho đa thức Q = ( x + 3)( x + 5)( x + 7)( x + 9) + 2014 . Tìm số dư trong phép chia đa thức Q
cho đa thức x 2 + 12 x + 32 .
Câu2 (2điểm)
Chứng minh bất đẳng thức:

1 1
4
+ ≥
. Với a; b là các số dương.
a b a+b
2

3

Áp dụng bất đẳng thức trên tìm giá trị nhỏ nhất của M = xy + x 2 + y 2 .
với x; y dương và x + y =1 .
Câu 3 (6 điểm)
Giải phương trình : a)


TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG

Năm học 2013-2014
Môn: Toán 8

Câu1 (5điểm)
a)(3điểm)
Ta cú: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4
(2điểm)
Để A( x)MB( x) thì

{

a − 3= 0
b + 4= 0

⇔

{

a= 3
b= − 4

(1điểm)

b)(2điểm)
Ta có
(0,5điểm)

Q = ( x 2 + 12 x + 27)( x 2 + 12 x + 35) + 2014

+ 2
)
2 xy 2 xy x + y 2

Do x; y dương và x + y =1 ⇒ 1 = ( x + y ) 2 ≥ 4 xy ( được suy ra từ (x – y)2 ≥ 0)
⇔ 2 xy ≤

1
1
⇔
≥2
2
2 xy

Dấu “=” xẩy ra ⇔ x = y =

1
(1)
2


3

3

4

4

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức trên: ( 2 xy + x 2 + y 2 ) ≥ 3 ×2 xy + x 2 + y 2 = 3 ×( x + y )2 = 12 (2)

1
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+
−
=
x + 4 x + 5 x + 5 x + 6 x + 6 x + 7 18
1
1
1
−
=
x + 4 x + 7 18

18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
(x+13)(x-2)=0
Vậy x=-13; x=2.

(0,5điểm)

b) x − 1 − 2 x − 2 + 3 x − 3 = 4 (II)
+ Nếu x
(0,5điểm)
a)
Trong tam giác BDM ta có: Dˆ 1 = 120 0 − Mˆ 1
Vì Mˆ 2 =600 nên

:

Mˆ 3 = 120 0 − Mˆ 1

Suy ra Dˆ 1 = Mˆ 3

(0,5điểm)

Chứng minh ∆ BMD : ∆CEM (1)
Suy ra

BD CM
=
BM
CE

Vì BM=CM=

b) Từ (1) suy ra
nên

(1 điểm)

hay BD.CE=BM.CM


(0,5 điểm)

Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của góc CED

(1 điểm)