Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên ñề về Hàm Số

CHƯƠNG I :CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS
@@@@@@@

VẤN ĐỀ 1:TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ

Cho hàm số y = f ( x) ( C ) .Tìm phương trình tiếp tuyến với ñồ thị ( C ) ta có 2 cách :
Cách 1 : dùng ý nghĩa hình học của ñạo hàm
Định lý : Đạo hàm của hàm số y = f ( x) tại ñiểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến
với ñồ thị tại ñiểm M ( xo ; yo = f ( xo )) : k
Dạng Tiếp Tuyến (yêu cầu bài toán)

= f '( xo )
Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm )

y = f '( xo ).( x − xo ) + yo
k = f '( xo ) :hệ số góc

Tiếp tuyến tại M ( xo ; yo ) ∈ (C )

_Gọi M ( xo ; yo ) ∈ (C )

Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

_Giải pt : f '( xo )
_Áp Dụng (1)

= k ⇒ xo ⇒ yo

 y = f ( x)
Cách 2 : dùng ñk tiếp xúc :hai ñths 
tiếp xúc với nhau
 y = g ( x)
Dạng Tiếp Tuyến (yêu cầu bài toán)

 f ( x) = g ( x)
⇔
 f '( x) = g '( x)

Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm )

y = f '( xo ).( x − xo ) + yo
k = f '( xo ) :hệ số góc

Tiếp tuyến tại M ( xo ; yo ) ∈ (C )

(1)

_PTTT có dạng y = kx + C (*)
 f ( x) = kx + C
_ĐKTX 
 f '( x) = k
_Giải hệ ⇒ C

Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước



(1)

_Giải hệ ⇒ C
_PTTT có dạng: y = k ( x − xA ) + y A

Tiếp tuyến đi qua điểm
A( x A ; y A ) ∉ (C ) cho trước

 f ( x) = k ( x − x A ) + y A
_ĐK TX 
 f '( x) = k
_Thế pt dưới vào trên ⇒ x ⇒ k
ứng với 1 giá trị x sẽ có 1 giá trị k

 y = k1 x + c1
Lưu ý : hai đt : 
vng góc với nhau ⇔ k1.k2 = −1 ,song song ⇔ k1 = k2
 y = k2 x + c2
Với k1 , k2 là hệ số góc
Bài tập có HD

x 2 − 3x + 4
Bài toán 1: Cho hàm số (C) y =
. M là một điểm tuý ý trên (C) Tiếp
2x − 2
tuyến của (C) tại M cắt đường tiệm cận xiên và đứng tại A và B .
Chứng tỏ rằg M là trung điểm của AB, và tam giác IAB (I là giao điểm
của hai đường tiệm cận) có diện tích không phụ thuộc vào M

x 2 − 3x + 4 x
1
= −1 +


2 a −1
x
3

Tiệm cận xiên của (C) là (d2) : y = − 1 ⇒ (d ) ∩ (d 2 ) = B 2a − 1; a − 
2
2


Tiệm cận đứng của (C) là (d1) : x = 1 ⇒ (d ) ∩ (d1 ) = A1;−



2




Nguyễn Vũ Minh
Ta có :

Các chun đề về Hàm Số

1
( x A + xB ) = 1 (1 + 2a − 1) = a = xM
2
2
1
( y A + yB ) = 1 − 1 + 2 + a − 3  = a − 1 + 1 = yM


Vậy Min k = – 12 ⇔ M(–1; 16)
Do đó trong tất cả các tiếp tuyến của (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số
góc nhỏ nhất
Bài toán 3: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 (Cm)
Tìm m để (Cm) cắt (d) y = – x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao
cho các tiếp tuyến của Cm) tại B và C vuông góc nhau
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (Cm)
x3 + mx2 + 1 = – x + 1
⇔ x(x2 + mx + 1) = 0
(*)
2
Đặt g(x) = x + mx + 1 . (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt
⇔ g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0

∆g = m 2 − 4 > 0
m > 2
⇔
⇔
m < −2
 g (0) = 1 ≠ 0

Vì xB , xC là nghiệm của g(x) = 0

S = xB + xC = − m
⇒
 P = xB xC = 1

Tiếp tuyến tại B và C vuông góc


Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (H)

x 3 − 3x − 2 = 3(x02 − 1)x − 2(x 3 + 1)
2
⇔ ( x − x0 ) ( x + 2 x0 ) = 0
 x = x0 (nghiệm kép )
⇔
 x = −2x0

Gọi A(a; yA) , B(b; yB) , C(c; yC)
⇒ giao điểm A1, B1, C1 của các tiếp tuyến tại A, B, C với (H)

A1 = (− 2a;−8a 3 + 6a − 2)
B1 = (− 2b;−8b 3 + 6b − 2)
C1 = (− 2c;−8c 3 + 6c − 2)

* A, B, C thẳng hàng :

b − a b 3 − a 3 − 3(b − a )
⇔
=
c − a c 3 − a 3 − 3(c − a )
b 2 + a 2 + ab − 3
⇔1= 2
c + a 2 + ac − 3
⇔ c 2 + ac = b 2 + ab
⇔ (c − b )(a + b + c ) = 0
⇔ a+b+c = 0
(c ≠ b)


x −1
2) ( C ) : y = x3 + x + 1 với M o (−2; −9) ∈ (C )
1) ( C ) : y =

3) ( C ) : y = x 4 − 2 x 2 + 5 với M o ∈ (C ) có tung ñộ yo = 8
x+2
, M o là giao ñiểm của ( C ) và Oy
4) ( C ) : y =
− x −1
x 2 − 3x + 2
5) ( C ) : y =
, M o là giao ñiểm của ( C ) và Ox
x−3
6) ( C ) : y = x3 − 2 x + 2, M o là giao ñiểm của ( C ) với ñt y = 2
7) ( C ) : y = 2 x 3 − x, với M o là giao ñiểm của ( C ) và Oy
8) ( C ) : y = 2 x 4 − 5 x 2 + 3 với M o ∈ (C ) là giao ñiểm của ( C ) và Ox
x−3
( C ),viết pttt với ñths :
Bài 2 : Cho hàm số y =
x+2
1) Tại giao ñiểm của ( C ) với 2 trục tọa ñộ
2) Biết tiếp tuyến song song với ñt y = 5 x + 2
Bài 3 : Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + 4 ( C ),viết pttt với ñths :
1) Tại M o ∈ (C ) có hoành ñộ xo = −2
2) Biết tiếp tuyến của ( C ) ñi qua ñiểm A(2; 0)
Bài 4 : Viết pttt trong các trường hợp sau :
x 2 + 3x + 6
1
, biết tiếp tuyến vuông góc với ñt y = x
1) y =

4
4) Vẽ từ M (1;5)
Bài 6 : cho ( C ) : y = x3 − 3 x 2 + 2
1) Lập pttt với ( C ) tại ñiểm có hòanh ñộ xo = −3
2) Lập pttt của ( C ) qua
i. A(2; −2)
ii. B(0;3)


5




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên ñề về Hàm Số

1
3) Lập pttt với ( C ) biết tt vuông góc với ñường thẳng y = − x + 19
9
4) Lập pttt tại ñiểm uốn của ( C ) .Hệ số góc là lớn nhất hay nhỏ nhất
5) (khó) Tìm trên ñt y = 2 các ñiểm mà từ ñó vẽ ñược 2 tiếp tuyến vuông góc nhau
x−2
Bài 7 : cho ( C ) y =
. Viết pttt với ( C ) biết tiếp tuyến :
x +1
1) Qua gốc tọa ñộ O
2) Qua ñiểm A(2;1)
3


Bài 13 : y =

: y = 3 x 2 + 2 x + 1 .( ñs : m = 1 ∨ m = −2 )
x2 − x + 1
và (P) y = x 2 + a .Định a ñể ( C ) tiếp xúc với (P)
x −1
Bài 16 : Định tham số m ñể ñồ thị
1) y = x 2 + 3 x + 3 và y = x + 2m − 1 tiếp xúc
2) y = − x 3 + 3x 2 − 2 x và y = mx tiếp xúc
3) y = x3 − (2m + 3) x 2 + (m + 2) x + m tiếp xúc với trục hoành ( Ox )
x+2
4) y =
và y = −3 x + a tiếp xúc
x −1
2 x 2 + (1 − m) x + m + 1
*Bài 17 : (Cm ) : y =
, CMR với mọi m ≠ −1 thì ñths luôn tiếp xúc với 1
x−m
ñường thẳng cố ñịnh tại một ñiểm cố ñịnh
*Bài 18 : Viết phương trình tiếp tuyến chung của hay ñồ thị sau :
1) (C1 ) : y = x 2 và (C2 ) : y = x 2 − 2 x − 1
Bài 15 : ( C ) : y =

2) (C1 ) : y = x 2 − 5 x + 6 và (C2 ) : y = − x 2 + 5 x − 11
Lưu ý :


6


VẤN ĐỀ 2:SỰ TƯƠNG GIAO CỦA 2 ĐỒ THỊ

Lý Thuyết : cho hai hàm số y = f ( x) có đồ thị là (C) và y = g ( x) có đồ thị là (C’). Muốn xét sự tương
giao của 2 đồ thị trên ta xét phương trình hồnh độ giao điểm :
f ( x ) = g ( x ) (*)
số nghiệm của (*) là số giao điểm của 2 đồ thị C)
và (C’), hình bên cho ta thấy 3 giao điểm.
Nhận xét : nếu 2 đồ thị (C) và (C’) tiếp xúc nhau
tại M thì điểm xM chính là nghiệm kép của pt (*)
, và tại điểm M 2 đồ thị có chung tiếp tuyến

Bài tập có HD
Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3x + 2 . (D) là đường thẳng qua A(2; 4) có
hệ số góc m. Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (D)
Giải: (D) qua A(2; 4) , hệ số góc m : y = m(x – 2) + 4
(C) : y = x3 – 3x + 2
* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D)
x3 – 3x + 2 = m(x – 2) + 4
(x – 2)( x2 + 2x + 1 – m) = 0 (1)
* Số giao điểm của (C) và (d) chính là số nghiệm của phương trình (1)
- Phương trình (1) luôn luôn có nghiệm x = 2
- Xét phương trình g(x) = x2 + 2x + 1 – m = 0 (2)
Nếu g(x) = 0 có nghiệm x = 2 thì 9 – m = 0 ⇔ m = 9
Do đó : m = 9 thì (1) có nghiệm kép x = 2, nghiệm đơn x = – 4
Nếu m ≠ 9 thì g(x) = 0 có nghiệm x ≠ 2
7





(*)
(D) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc một nhánh của đồ thò (C)
⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x1 < x2 < – 2 V – 2 < x1 < x2

Bài toán 2: Cho hàm số y = f ( x) =

a = 1 − m ≠ 0

⇔ ∆ = 4 − 4m + m 2 − 4(1 − m )(2m − 3) > 0
af (− 2) = (1 − m )[4(1 − m ) − 2(2 − m ) + 2m − 3] > 0

9m 2 24m + 16 > 0
⇔
3( 1 − m) > 0
4

m ≠
⇔
3
m. > 1

(

)

4

m ≠
Kết luận : ⇔ 
3 thì (D) cắt đồ thò (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng

x A + xB m + 1

x
=
=
I

2
4
⇒
 y = − x + m = 3m − 1
I
 I
4
A và B đối xứng qua (d)

⇒ I thuộc (d): y = x – 1
3m − 1 m + 1
−1
⇒
=
4
4
⇒ m=–1

Lúc đó (*) thành trở thành : 2x2 – 1 = 0 ⇔ x = ±
Vậy

 −1
2

∆′ = 7 + m > 0
⇔
⇔ m > –7
Lúc đó gọi xA , xB là 2 nghiệm của (1) ta có
S = xA + xB = 4
P = xA xB = – 3 – m
a) Tiếp tuyến của (P) tại A, B vuông góc
f’(xA )f’(xB) = –1
⇔ (2 xA –2)(2 xB –2) = – 1
⇔ 4P – 4S + 5 = 0
⇔ 4(–3 –m) –16 + 5 = 0

⇔

m =−

23
(nhận vì m > –7)
4

b) A, B thuộc (d) ⇒ yA = 2 xA + m
yB = 2 xB + m


9




Nguyễn Vũ Minh

= a( x + 1) + 1 (đk : x ≠ −1)
x +1
⇔ x 2 + 3 x + 3 = a (x 2 + 2 x + 1) + x + 1
(*)
⇔ g ( x ) = (1 − x )x 2 + 2(1 − a )x + 2 − a = 0
(∆ ) cắt (C) tại 2 điểm có hoành độ trái dáu
⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 ≠ −1 Λ x1 < 0 < x2
(1 − a )g (0) < 0
(1 − a )(2 − a ) < 0

⇔  g (− 1) ≠ 0
⇔
⇔1< a < 2
(
)
(
)
1
−
a
−
2
1
−
a
+
2
−
a
=

10




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên ñề về Hàm Số

x2 − x −1
(C), gọi (d) là ñường thẳng qua A(3;1) có hệ số góc là k, Tìm k ñể
x +1
(C) cắt (d) tại 2 ñiểm phân biệt
mx 2 + x + m
c) cho hàm số y =
(C). Tìm m ñể (C) cắt trục hoành tại 2 ñiểm phân biệt có hoành
x −1
ñộ dương .
x +1
(C)
Bài 5 : cho hàm số y =
x −1
a)Tìm m ñể (D) : y = mx + 1 cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt
b)Tìm m ñể (D) : y = mx + 1 cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt thuộc hai nhánh của (C)
2x +1
Bài 6 : cho hàm số y =
(C)
x+2
Tìm m ñể (C) cắt (d) : y = − x + m tại 2 ñiểm phân biệt A và B. Tìm m ñể ñoạn AB ngắn nhất
b) cho hàm số y =



Nguyễn Vũ Minh

Các chun đề về Hàm Số

a) Khảo sát và vẽ đồ thò
3
b) Tìm giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = − sin 3 x − 3 sin x
Giải: a) Đồ thò (C)
y
4

2

x
-4

-3

-2

-1

1

2

3



(k, l ∈ Z)

2x2 + x + 1
(C)
x +1

a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số
b) Tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức

2 cos 2 x + cos x + 1
y=
cos x + 1
Giải: a)Đồ thò (C)


12




Nguyễn Vũ Minh

Các chun đề về Hàm Số
y
6
4
2

x

Nhìn vào đồ thò hàm số (1) ở trên khi xét t ∈ [0;1] ta thấy:

t = 1
cos x = 1
MaxA = 2 ⇔ 
⇔
⇔ sin x = 0 ⇔ x = kΠ
1
t = − (loại )
cos x = −1

2
Π
MinA = 1 ⇔ t = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = + lΠ
(k, l ∈ Z)
2
Bài toán 3: Cho hàm số y =

x2 + x − 3
x+2

(C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thò
b) Biện luận theo m số nghiệm
4
2
của: f (t ) = t + (1 − m )t − 3 − 2m = 0
Giải: a)



3

-2

-4

-6

b) t + (1 − m )t − 3 − 2m = 0
4

2

(

)

(*)

⇔ t4 + t3 − 3 = m t2 + 2
t4 + t2 − 3
⇔ 2
=m
t +2
x2 + x − 3
2
với x = t ≥ 0
Xét hàm số y =
x+2


14




Nguyễn Vũ Minh

Các chun đề về Hàm Số
y
6

4

2

x
-3

-2

-1

1

2

3

4


2

x
-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-2

-4

Nhìn vào đồ thò ta thấy
m ∈ (− ∞;0) : (*) có 2 nghiệm
m ∈ {0} ∪ [4; + ∞ ) : (*) có 1 nghiệm

m ∈ (0;4) : (*) vô nghiệm


-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

-2

b) (1 − m )x − (1 − x )x + 1 = 0 (*)
2

x2
Ta thấy x = 1 không là nghiệm của (*) , ta có (*) ⇔
= mx + 1
x −1
Đặt (d) : y = mx + 1 , (d) luôn đi qua A(0;1)
Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) và (d) :



Các chun đề về Hàm Số

(*)có 2 nghiệm đơn
m ∈ (− 3;1] : (d ) ∩ (C ) = Φ phương trình vô nghiệm
Bài toán 6: Giải và biện luận theo m số nghiệm phương trình

4 x 2 − 16 x + 12 − x − 2m = 0
Giải: D = (− ∞;1] ∪ [3;+∞ )

4 x 2 − 16 x + 12 − x − 2m = 0 ⇒ x 2 − 4 x + 3 =

x
+m
2

x
+m
2
2
Xét (C) : y = x − 4 x + 3
Đặt (d) : y =

y

6

4

y=


* Dựa vào đồ thò ta có

3

m ∈  − ∞;−  : phương trình đã cho vô nghiệm
2

 3 1
m ∈ − ;−  : phương trình có 1 nghiệm
 2 2

 1
m ∈ − ;+∞  : phương trình có 2 nghiệm

 2
Bài toán 7: Cho hàm số y = 3 + 2 x − x (C)
2

4

a) Khảo sát và vẽ đồ thò
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x − 2 x = m − 2m
4



17

2


x
-2

-1.5

-1

b) x − 2 x = m − 2m
4

2

4

-0.5

0.5

1

1.5

2

2

⇔ − x 4 + 2 x 2 + 3 = −m 4 + 2 x 2 + 3
4
2



Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên ñề về Hàm Số

b) dùng ñồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x − 2 +

1
= 2m (*)
x +1

Bài 4 : a) khảo sát và vẽ (C) : y = − x 4 + 2 x 2 + 1
b) dùng ñồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình − x 4 + 2 x 2 = 3m − 4 (*)
Bài 5 : cho hàm số y = x3 + 3 x 2 − 9 x + m (Cm )
a) khảo sát và vẽ (C) khi m = 6
b) với giá trị nào của m thì phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt :
x3 + 3 x 2 − 9 x + m = 0
(ñS : −27 < m < 5 )

VẤN ĐỀ 4 : ĐỒ THỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI
Lý Thuyết :

A = A nếu A ≥ 0
A = − A nếu A < 0

Đồ thị hàm số y = f ( x) và y = − f ( x) ñối xứng nhau qua trục hoành
Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục ñối xứng
Đồ thị hàm số lẽ nhận tâm O làm tâm ñối xứng
Bài toán : cho (C) y = f ( x)


(1)

f ( x ) = f (− x) nếu x < 0 (2)
Cách vẽ :
Giữ nguyên phần (C) nằm bên phải Oy
(do (1))
Bỏ phần (C) bên trái Oy (nếu có)
Lấy ñối xứng qua Oy phần (C) nằm phía bện phải trục Oy ( t/c hàm chẵn) ta sẽ có (C2 )

y = x −3 x +2
3

y = x − 3x + 2
3

Dạng 3: từ (C) suy ra (C3 ) : y = f ( x)

 f ( x) ≥ 0

Ta có : y = f ( x) ⇔   y = f ( x);(1)
  y = − f ( x);(2)

Cách vẽ :
Giữ nguyên phần (C) nằm phía trên Ox
(do (1))
Bỏ phần (C) nằm dưới Ox
Lấy ñối xứng qua Ox phần (C) nằm phía trên ta sẽ có (C3 )




y=

P( x)
Q ( x)

x +1
x −1

y=

x +1
x −1

Bài tập có HD
Bài toán 1 : (Phép suy thứ nhất)

x2
a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) : y =
x −1


21




Nguyễn Vũ Minh

Các chun đề về Hàm Số


3

4

5

-1

x=1

-2
-3

Đồ thò (C1)
y
6
5
4

y=x+1

3
2

y=-x-1
1

x
-4



22




Nguyễn Vũ Minh

Các chun đề về Hàm Số
y
6

4

y=-x+1

y=x+1

2

x
-4

-3

-2

-1



x
-4

-3

-2

-1

x=-1

1

-2

2

3

4

x=1

Bài toán 4 :(Phép suy thứ tư)

x2
Vẽ đồ thò (C4 ) : y =
x −1
Đồ thò (C4)

1

x=-1

2

3

4

x=1
-2

Bài toán 5: (Phép suy thứ năm)

x2
Vẽ đồ thò (C5 ) : y =
x −1
y
8
6
4

y=-x-1

y=x+1

2

x

c) biện luận theo m số nghiệm pt sau : − x3 + 3 x = m − 1 (*)
Bài 2 :


24




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên ñề về Hàm Số

a) khảo sát và vẽ (C) : y =

x +1
x−2

b) từ (C) suy ra các ñồ thị sau : (C1 ) : y =
(C4 ) : y =

x +1
x +1
x +1
; (C2 ) : y =
; (C3 ) : y =
x−2
x−2
x−2


Công Thức Cũ :
x A + xB

 xI = 2
1) Trung ñiểm I ( xI ; yI ) của ñoạn thẳng AB : 
 y = y A + yB
 I
2
2) Khoảng cách giữa 2 ñiểm A,B là AB = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2
3) Khoảng cách từ ñiểm M ( xM ; yM ) ñếm ñường thẳng (D): Ax + By + C = 0 :
r
AxM + ByM + C
d [ M ; D] =
với n = ( A; B) là pháp vector
A2 + B 2
A = 0

4) Điểm cố ñịnh : f ( x; m) = y ⇔ f ( x; m) − y = 0 ⇔ A.m2 + B.m + C = 0 ⇔  B = 0 ∀m
C = 0

5) Tọa ñộ nguyên : chia hàm số ra , sau ñó cho mẫu là các số mà tử chia hết
6) Bất ñăng thức Cachy : a + b ≥ 2 a.b ,dấu “ = “ xảy ra ⇔ a = b



25