KHẢO SÁT HÀM SỐ và các bài toán liên quan
Hàm bậc ba
Bài 1: Cho hàm số y = – 3x + 2 ( C ) .
1. a) Khảo sát hàm số trên. Từ đồ thị ( C ), hãy suy ra cách vẽ các đường
y = – 3|x| + 2 (C1) và |y| = – 3x + 2 (C2).
b) Chứng tỏ ( C ) có tâm đối xứng
c) Tìm tất cả các đường thẳng qua A(2;4) và cắt ( C ) tại ba điểm phân biệt A, B, C.
Tìm quĩ tích trung điểm I của BC.
2. a) Tìm m để phương trinh – 3x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có 2 nghiệm âm.
b) Tìm m để pt – 3x + 6 – = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
c) BL theo m số nghiệm của pt: - 3x + 2 = .
d) BL theo m số nghiệm của pt: – 3x = – 3m.
e) Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = 2 – sin3x – .
f) Cho đường tròn (Sm): – 2mx – 4my + – 1 = 0. Tìm m để hai cực trị của ( C )
nằm về hai phía của (Sm) (nằm trong/ ngoài đường tròn)
g) Phương trinh sau có bao nhiêu nghiệm thực: – 3x + 2 = ?
3. a) Viết phương trinh tiếp tuyến (pttt) của ( C )
i) tại A(–2;0)
ii) qua A(–2;0)
iii) song song với d: y = 3x + 1
b) Viết pptt ( tm ) tại M ( C). ( tm ) cắt ( C ) tại M và N. Tính tọa độ của N
4. a) Chtỏ (dm): y = m(x+1) + 4 luôn cắt ( C ) tại điểm P cố định. Tìm m để đường thẳng (dm)
cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt P, Q, R và tiếp tuyến của ( C ) tại Q, R vuông góc với nhau.
b) Tìm trên đường thẳng y = 4 các điểm từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến (C )
c) Tìm trên trục hoành các điểm từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến ( C ) và chúng vuông góc với
nhau.
d) A là điểm tuỳ ý thuộc phần đồ thị của ( C ) nằm giữa hai điểm cực trị. Chm luôn tìm được hai
điểm B, C thuộc ( C ) sao cho các tiếp tuyến với ( C ) tại đó vuông góc với tiếp tuyến tại A.
5. a) Tìm trên ( C ) điểm mà tiếp tuyến với ( C ) tại đó có hệ số góc nhỏ nhất.
b) Chứng minh tồn tại những cặp điểm thuộc ( C ) mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau.
Chm đường thẳng nối hai tiếp điểm ấy đi qua một điểm cố định.

c) PT đường thẳng qua A(2;4) có hsg k là d: y = k(x – 2) + 4.
PT hoành độ giao điểm của ( C ) với d: (x – 2)g(x) = 0 với g(x) = ( + 2x + 1 – k).
ycbt phương trinh g(x) = 0 có hai nghiệm khác 2. 0 < k 9.
+ Quĩ tích của I: phần đường thẳng x = –1 ứng với -23 y < 4.
Nhận xét:
A là một giao điểm nên hoành độ của A là một nghiệm của pt hđgđ, gợi ý ta đưa pt về dạng tích
(x – 2).g(x) = 0.
Cách giải khác: ycbt d quay từ AX đến AY (AX // Ox, AY // Oy) trừ vị trí (Ta) là tiếp tuyến với
( C ) tại A, ta lại được kết quả trên.
Về quĩ tích của I: chú ý phần giới hạn. Xem thêm: Bài 1/Bài tập tổng hợp SBT trg 48.
2.
a) 2.27 SBT
b) pthđgđ của © và đường thẳng y = – 4. ĐS –3 < m < - 2
c) đặt k = .
m < 0 <=> k < 0 : 1 nghiêm
m > 0 <=> (Cauchy) Dấu ‘bằng’ khi m = 1.
d) đặt k = – 3m + 2. -> k = f(m). Dựa vào đồ thị ( C ): y = f(x) (thay y = k, x = m) suy ra
k < 0 <=> m < –2: pt đã cho có một nghiệm
k = 0 <=> m = -2 v m = 1: 2 nghiệm
..
e) dùng công thức nhân 3, rồi đặt t = sinx, được y = f(t) với t thuộc đoạn [-1; 1]. Từ đồ thị tìm
được ngay max y = 4. min y = 0
f) A, B: 2 điểm cực trị, tâm I = (a; 2a), bán kính R = 3. ycbt (IA – R)(IB – R) < 0 <=>
< 0. ĐS: 0<m<2/5
g) VP là phương trinh của nửa đường tròn. ĐS: 3 nghiệm.
3. a) 3 bài toán cơ bản về tt. i) y = 9x + 18. ii) thêm một tt y = 0 iii) 2 tt: y = 3x+2 .
b) Tm là tiêp tuyến tại M(m; m’) tùy ý thuộc ( C ). Viết phương trinh hđgđ của Tm với ( C ), chú
ý pt này tiêp xúc với ( C ) tại M nên có thể đưa về dạng tích (x+2m) = 0. Từ đó suy ra
hoành độ của N bằng –2m.
4. a) pthđgđ: (x + 1).g(x) = 0 => điểm cố định P = (–1;4).

e) 1) đk phương trinh có 3 nghiệm <-> (Cm) cắt Ox tại 3 điểm <-> hai điểm ctrị nằm hai bên
Ox
2) pt có 3 ngiệm x_1; x_2; x_3 <-> . Khai triển hai vế
suy ra x_1 + x_2 + x_3 = -m.
3) ba nghiệm lập thành CSC <-> x_1 + x_3 = 2x_2. Từ 2) suy ra x_2 = -m/3. Thế vào pt hs,
tính được m =
Nhận xét: bước 2) thực chất là chm định lí Viet cho phương trinh bậc ba. ĐL này không có trong
SGK PT hiện hành nên phải chm khi sử dụng.
f) cách giải tương tự bài 9 SBT trg 52. ĐS m > 3 (Chú ý loại m < -3)
2
a) xem lại bài 9 SBT trg 52. ĐS (0; -1)
b) dời trục: x = X + 1; y = Y – 3. Xem thêm: bài 2.32, bài 7 trg 51 SBT
c) Tìm tọa độ điểm uốn, rồi khử m (tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m) DS y =
d) điểm đx của M(a;b) qua gốc tọa độ là M’(-a; -b). M và M’ thuộc (Cm) nên có tọa độ thỏa mãn
phương trinh hs. Thế tọa độ của chúng vào pths -> b = a^3; ma^2 = 1. Hệ có nghiệm <-> m
> 0
3.
a) Viết hệ đk tx của (Cm) với Ox: y = 0, giải ra được m =
Có thể giải bằng cách nhân xét rằng (Cm) chỉ có tiếp tuyến nằm ngang tại các điểm cực trị suy
ra ycbt <-> giá trị y cực trị = 0 Từ đó tính được m
b) Phương trinh hđgđ: x.(x^2 + mx + 1) = 0. (Cm) cắt d: y = - m – 1 <-> phương trinh g(x) =
x^2 + mx + 1 = 0 có hai nghiệm phb <-> |m| > 2. Khi đó hoành độ cuả B, C là nghiệm x_1;
x_2 của pt g(x) = 0. Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C lần lượt có hsg là k_1 = y’(x_1) và k_2 =
y’(x_2). Từ k_1.k_2 = - 1 và từ hệ thức Viet -> m^2 = 5
Viết phương trinh parabole qua hai điểm cực trị và điểm A cho trước
Về lí thuyết thì ta có thể (i) tính tọa độ hai điểm cực trị (ii) thế tọa độ của chúng và của điểm A
đã cho vào phương trinh parabole y = ax^2 + bx + c, được hệ bậc nhất gồm ba phương trinh
ba ẩn (a,b,c) tham số m (iii) giải hệ, suy ra phương trinh của parabole. Nhưng trên thực tế thì
ngay cả khi hoành độ của hai điểm cực trị là các nhị thức của m thì tung độ của chúng cũng khá
cồng kềnh và thú thật tôi chẵng muốn thử thách tính kiên nhẫn của mình bằng cách ngồi giải hệ

A(3;2)
k) Viết phương trinh đường thẳng qua hai điểm có hoành độ thỏa mãn đk
Dựa vào các bài toán đã có chắc ta có thể phát triễn thành nhiều, rất nhiều bài toán khác nữa.
Hướng dẫn (tiếp) Bài 3
a) y’ có hai nghiệm x_1; x_2 thỏa đk . ĐS
b) với mọi x >= 1 thì y’ <= 0 <=> h(x) = . ĐS m <= 2.
Nhận xét : Thử giải lại câu a bằng phương pháp hàm số; câu b bằng pp tam thức bậc hai và so
sánh hai cách giải.
c) y’ có hai nghiệm x_1; x_2 thỏa x_1< -1 < x_2 <=> -1.y’(-1) < 0. ĐS: m < -2
d) ĐK để hs có ctrị: m < -1 v m > 2 (*). Khi đó hoành độ hai điểm ctrị là nghiệm của pt y’ = 0.
Từ đl Viet và từ ĐK đề bài cho ta được hệ bậc nhất 3 pt 3 ẩn (x_1,2; m). Giải ra được
. Nhớ kiểm tra ĐK (*) để lấy giá trị m thích hợp.
e) PT đường thẳng qua hai điểm cực trị: Viết lại phương trinh hs dưới dạng y = P(x).y’ + R(x)
(Lấy y chia cho y’, được thương là P, dư là R. Do tại các điểm cực trị y’ = 0 nên toạ độ các điểm
cực trị thỏa mãn phương trinh y = R(x) -> phương trinh đt qua hai điểm cực trị.
Cho hsg của phương trinh đt D này bằng 4, tính được m.
f) Hai điểm cực trị A, B đối xứng nhau qua d: x + 12y – 564 = 0 <=> d là trung trực của đoạn
AB <=> đường thẳng qua A, B vuông góc với d và trung điểm I của AB thuộc d
- tích hsg của D (đường thẳng qua hai cực trị) và hsg của d bằng -1 => m = -4 v m = 5.
- tính tọa độ của I theo m. Kiểm tra giá trị nào của m thì điểm I thuộc d? ĐS m = 5
g) y'(3) = 0, y’’(3) > 0 -> không tồn tại giá trị nào của m thỏa ycbt
hàm trùng phương
Bài 4: Cho hàm số y = (Cm).
a) BL theo m số cực trị của (Cm)
b) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành một cấp số cộng.
c) Khảo sát hàm số khi m = 3
-------------------------------------------------
Hướng dẫn:
a) qui về bài toán xét dấu đạo hàm theo m. ĐS: m <= 0: 1 ctrị, m > 0: 3 ctrị
b) 2.37 SBT (= cách giải tương tự bài 2.37 SBT) . ĐS: m = 10; m = 10/9.