CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC
Cho hàm số
( )
xfy
=
,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
.
− Tính đạo hàm và giá trị
( )
0
'f x
.
− Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
0 0 0
'y f x x x y= − +
.
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
có hệ số góc
( )
0
'k f x=

= −
.
Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
( ) ( )
;
A A
A x y C∉
.
− Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó
( ) ( )
:
A A
d y k x x y= − +
− Điều kiện tiếp xúc của
( ) ( )
à d v C
là hệ phương trình sau phải có nghiệm:
( ) ( )
( )
'
A A
f x k x x y
f x k

= − +


=



B, C sao cho các tiếp tuyến của (C
m
) tại B và C vuông góc với nhau.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C
m
) là: x
3
+ mx
2
+ 1 = – x + 1
⇔
x(x
2
+ mx + 1) = 0 (*)
Đặt g(x) = x
2
+ mx + 1 . d cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt
⇔
g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.
( )
2
4 0
2
2
0 1 0
g m
m

= =

.
Tiếp tuyến của (C
m
) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có:
( )
( )
1
C B
f x f x
′ ′
= −
( )
( )
3 2 3 2 1
B C B C
x x x m x m⇔ + + = −

( )
2
9 6 4 1
B C B C B C
x x x x m x x m
 
⇔ + + + = −
 

( )
2

( )
( )
2
0 0
1
, 0
x
k x x y kx
x
+
= − + ≠
( )
( )
( )
2
0 0
1 1 0 *k x y kx x⇔ − − − + =
d tiếp xúc với (C):
( )
( )
2
0 0
1
4 1 0
k
y kx k
≠


⇔



= −


( )
0
2
0
2
0
2
0 0
0
4
1
0
x
y
x
y x

≠


−

⇔ = −



x
y
x
=
+
. (ĐH Khối−D 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và diện tích tam giác OAB
bằng
1
4
ĐS:
1
; 2
2
M
 
− −
 ÷
 
và
( )
1;1M
.
4. Cho hàm số
2
1
2
x x
y

– 6x
2
+ 1 (1) (ĐH Khối−B 2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(–1;–9).
Lời giải:
a. D=R, y’ = 12x
2
– 12x; y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x = 1.
BBT :
2
CĐ
CT
f(x)=4x^3-6x^2+1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
-6
-4
-2
2
x
y
32
461
yxx
=−+
b. Tiếp tuyến qua M(−1;−9) có dạng y = k(x + 1) – 9.
Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng :
4x
3
– 6x

4 4
y
 
=
 ÷
 
.
Vậy phương trình các tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y =
15
4
x
21
4
−
.
Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
Cho hàm sô
( )
xfy
=
,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ:
− Nghiệm của phương trình
( )
' 0f x =
là hoành độ của điểm cực trị.
− Nếu
( )
( )
0
0


thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x x=
.
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
− Để hàm số
( )
y f x=
có 2 cực trị
'
0
0
y
a ≠


⇔

∆ >


.
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành
. 0
CĐ CT
y y⇔ <

0
. 0
CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
+ <

⇔

>

.
− Để hàm số
( )
y f x=
có cực trị tiếp xúc với trục hoành
. 0
CĐ CT
y y⇔ =
.
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Dạng 1: hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
Dạng 2: Hàm số
2
ax bx c
y

2
x m x m m
y
x
+ + + +
=
+
(1). (ĐH Khối−A năm 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=−1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ
O tạo thành tam giác vuông tại O.
ĐS:
4 2 6m = − ±
.
2. Cho hàm số
( )
3 2 2 2
3 3 1 3 1y x x m x m= − − + − − −
(1), m là tham số. (ĐH Khối−B năm 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa
độ.
ĐS : b
1
2
m = ±
.
3. Cho hàm số
( )
4 2 2

1 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
(*) (m là tham số)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
b. Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (C
m
) luôn có hai điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa
hai điểm đó bằng
20
.
4
a.
f(x)=x+1+1/(x+1)
f(x)=x+1
x(t )=-1 , y(t )=t
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x

2. Nếu
0∆ =
thì f(x) có nghiệm
2
b
x
a
= −
và f(x) luôn cùng dấu với a khi
2
b
x
a
≠ −
.
3. Nếu
0∆ >
thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2 nghiệm f(x) cùng
dấu với a.
So sánh nghiệm của tam thức với số 0
*
1 2
0
0 0
0
x x P
S
∆ >



(C
1
) và (C
2
) tương đơưng với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1). Số giao điểm của (C
1
) và
(C
2
) đúng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1).
(1) vô nghiệm ⇔ (C
1
) và (C
2
) không có điểm chung.
(1) có n nghiệm ⇔ (C
1
) và (C
2
) có n điểm chung.
(1) có nghiệm đơn x
1
⇔ (C
1
) và (C
2
) cắt nhau tại N(x
1
;y
1