Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số

1
CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ

Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC

Cho hàm số
xfy
,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm
00
;M x y C
.
Tính đạo hàm và giá trị
0
'fx
.
Phương trình tiếp tuyến có dạng:
0 0 0
'y f x x x y
.

Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm
00
;M x y C
có hệ số góc
0
'k f x
.

;
AA
A x y C
.
Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó
:
AA
d y k x x y

Điều kiện tiếp xúc của
à d v C
là hệ phương trình sau phải có nghiệm:
'
AA
f x k x x y
f x kTổng quát: Cho hai đường cong
:C y f x
và
':C y g x
. Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với
nhau là hệ sau có nghiệm.
''
f x g x
f x g x
.
1. Cho hàm số
42

3. Cho hàm số
2
1
1
xx
y
x
có đồ thị (C).
Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số

2
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0.
d. Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C).
4. Cho hàm số
2
33
1
xx
y
x
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b. Chứng minh rằng qua điểm M( 3;1) kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho hai tiếp tuyến đó
vuông góc với nhau.
5. Cho hàm số:
2
1
x

Đặt g(x) = x
2
+ mx + 1 . d cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.

2
40
2
2
0 1 0
gm
m
m
g
.
Vì x
B
, x
C
là nghiệm của g(x) = 0
1
BC
BC
S x x m
P x x
.
Tiếp tuyến của (C
m
) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có:

Gọi M(x
0
;y
0
). Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k là y = k(x – x
0
) + y
0
.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
2
00
1
,0
x
k x x y kx
x

2
00
1 1 0 *k x y kx x

d tiếp xúc với (C):
2
00
1
4 1 0
k
y kx k
2 2 2

yx
0
22
00
00
0
4
x
xy
yx
.
Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số

3
Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là một đường tròn:
22
4xy
loại bỏ bốn giao điểm của
đường tròn với hai đường tiệm cận.
8. Cho hàm số
2
1
x
y
x
. (ĐH Khối D 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và diện tích tam giác
OAB bằng
1

y x x
(*) (m là tham số). (ĐH Khối D 2005)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m=2.
b. Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến của (C
m
) tại M song song với
đường thẳng
50xy

ĐS: m=4.
11. Cho hàm số
32
33
m
y x mx x m C
. Định m để
m
C
tiếp xúc với trục hoành.
12. Cho hàm số
4 3 2
1
m
y x x m x x m C
. Định m để
m
C
tiếp xúc với trục hoành.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(–1;–9).
Lời giải:
a. D=R, y’ = 12x
2
– 12x; y’ = 0 x = 0 hay x = 1.

BBT :
b. Tiếp tuyến qua M( 1; 9) có dạng y = k(x + 1) – 9.
Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng :
4x
3
– 6x
2
+ 1 = (12x
2
– 12x)(x + 1) – 9.
4x
3
– 6x
2
+ 10 = (12x
2
– 12x)(x + 1) 2x

y
Các dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số

4
x = –1 hay x =
5
4
; y’( 1) = 24;
5 15
'
44
y
.
Vậy phương trình các tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y =
15
4
x
21
4
.

Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ

Cho hàm sô
xfy
,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ:
Nghiệm của phương trình
'0fx
là hoành độ của điểm cực trị.
Nếu

y
a
.
Để hàm số
y f x
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành
.0
CĐ CT
yy
.
Để hàm số
y f x
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung
.0
CĐ CT
xx
.
Để hàm số
y f x
có hai cực trị nằm phía trên trục hoành
0
.0
CĐ CT
CĐ CT
yy
yy
.
Để hàm số
y f x
có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành

'
2
'
ax bx c
ab
yx
dx e d d1. Chứng minh rằng hàm số y =
2 2 4
11x m m x m
xm
luôn có có cực trị với mọi m. Tìm m sao cho hai
cực trị nằm trên đường thẳng y=2x.
2. Cho hàm số
32
1
21
3
y x mx m x
. Định m để:
a. Hàm số luôn có cực trị.
b. Có cực trị trong khoảng
0;
.
c. Có hai cực trị trong khoảng
0;
.
3. Định m để hàm số

hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
8. Cho hàm số
22
2 1 3x mx m
y
xm
. Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về hai phía đối với trục
tung.
9. Cho hàm số
32
1
2 1 2
3
m
y x mx m x m C
. Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng dương.
10. Cho hàm số
22
2 1 4
2
x m x m m
y
x
(1). (ĐH Khối A năm 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m= 1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ
O tạo thành tam giác vuông tại O.
ĐS:
4 2 6m
.

3
03
m
m

13. Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số
2
11
1
x m x m
y
x
(*) (m là tham số)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.