SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG THPT AN NHƠN 1


ĐỀ TÀI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2x

x y

2y
2z

3
yz
zx

GIÁO VIÊN : PHAN NGỌC TOÀN

NĂM HỌC : 2011 - 2012


PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI

Phần A. MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề
Bất đẳng thức và cực trị là một bài toán khó nhằm phát triển tư duy và nâng cao
kiến thức cho học sinh cấp THCS và THPT. Trong đó, việc vận dụng các bất đẳng thức
cơ bản như Côsi, Bunhiacopxki để giải được thành thạo các bài toán về bất đẳng thức và
cực trị không phải là một điều đơn giản.

PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI

Phần B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
“PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI”

I. Mục tiêu
Nội dung của đề tài gồm hai phần, phần 1: giới thiệu về bất đẳng thức
Bunhiacopxki và các biến thể thường gặp của nó, phần 2: giới thiệu một số kỹ năng cần
rèn luyện cho học sinh trong quá trình vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải toán
Đề tài chủ yếu đi sâu vào phân tích để tìm ra những điểm then chốt trong các kỹ
năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải toán. Các tài liệu tham khảo hiện nay
hầu như chỉ viết chung chung và giải một số lượng lớn các bài tập mang tính chất rời rạc.
Trong khi đó, Chúng tôi cố gắng qua những ví dụ cụ thể để làm nổi bật lên từng kỹ năng
vận dụng bất đẳng thứcBunhiacopxki để giải toán
II. Nội dung giải pháp của đề tài
1. Giải pháp

Chương I. Giới thiệu về bất đẳng thức Bunhiacopxki và các biến thể
Trong chương trình toán học phổ thông ta thượng gặp bất đẳng thức mà chúng tôi
gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki với hai dạng sau( có thể có những tên gọi khác ) :
 Dạng 1 .Với a1 , a2 ,..., an , b1 , b2 ,..., bn là các số thực tùy ý ta luôn có:
(a1b1  a2 b2  ...  anbn )2  (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...  bn2 ) (A)
Đẳng thức xảy ra khi:

a
a1 a2

 ....  n
b1 b2
bn

 Với 4 số a, b tùy ý và x, y  0 ta luôn có:
Đẳng thức xảy ra khi

a 2 b 2 (a  b) 2
 
.
x
y
x y

a b

x y

 Với 6 số a, b, c tùy ý và x, y, z  0 ta luôn có:
Đẳng thức xảy ra khi

2

a 2 b 2 c 2 ( a  b  c) 2
  
.
x
y z
x yz

a b c
 
x y z
GV: PHAN NGỌC TOÀN

1. Kỹ năng” Biến đổi thuận”.
1.1 Biến đổi thuận dạng 1.
Để vận dụng kỹ năng “Biến đổi thuận Bunhiacopxki” ở dạng 1 ta thường xuất phát
từ giả thiết bài toán hoặc từ bất đẳng thức cần chứng minh( biểu thức cần tìm GTLN,
GTNN) làm xuất hiện biểu thức dạng (a1b1  a2b2  ...  anbn ) 2 .Từ đó biến đổi để đánh giá
về theo biểu thức (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...  bn2 ) . Ta cùng xem xét qua một số ví dụ sau:
Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng :
3(a  b  c )2  (a 2  2)(b 2  2)(c 2  2)

Nhận xét:
Trước hết, ta cần chú ý đến sự xuất hiện biểu thức (a  b  c)2 ở vế trái và a 2  2 ở
vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh . Điều này làm cho ta suy nghĩ đến việc biến
đổi biểu thức (a  b  c)2 làm sao để có thể đánh giá theo biểu thức a 2  2 , mục đích là
làm đơn giản bất đẳng thức cần chứng minh bằng cách giảm số biến ( ở đây có thể giảm
biến a chẳng hạn). Từ đó, ta có lời giải như sau:
Lời giải :
2

(b  c) 
bc 2


2
Ta có: (a  b  c)   a.1  2.
) 
  (a  2) 1  (
2 
2 




PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI

Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng :
(ab  bc  ca  1) 2  (a 2  1)(b 2  1)(c 2  1)

Nhận xét:
Tương tự như bài toán 1, ta cần chú ý đến sự xuất hiện biểu thức (ab  bc  ca  1) 2
ở vế trái và a 2  1 ở vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh . Điều này làm cho ta suy
nghĩ đến việc biến đổi biểu thức (ab  bc  ca  1) 2 làm sao để có thể đánh giá theo biểu
thức a 2  1 , mục đích là làm đơn giản bất đẳng thức cần chứng minh bằng cách giảm số
biến ( ở đây có thể giảm biến a chẳng hạn). Từ đó, ta có lời giải như sau:
Lời giải :
2
Ta có: (ab  bc  ca  1)2   a.(b  c)  (bc  1)   (a 2  1) (b  c) 2  (bc  1)2 
Bài toán đưa về chứng minh: (b  c) 2  (bc  1)2  (b 2  1)(c 2  1) (2)
Đây là một đẳng thức đúng vì (b  c) 2  (bc  1)2  (b 2  1)(c 2  1)
Đẳng thức xảy ra khi a(bc  1)  b  c  a  b  c  abc
Bài toán 3. Cho a, b, c, d là các số thực thõa mãn (a 2  1)(b 2  1)(c 2  1)(d 2  1)  16 .
Chứng minh rằng : 3  ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd  5
Lời giải :
Ta viết bất đẳng thức cần chứng minh lại như sau :
4  ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd  1  4
2

Hay  ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd  1  16
2

2


x y z
 x

x 1  y 1  z  1  x  y  z





1 1 1
 x  y  z 1
3

Đẳng thức xảy ra khi 
x yz
2
 x 1  y 1  z 1
2
2
2
 x
y
z

4

GV: PHAN NGỌC TOÀN


PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI

(b  1)(c  2)(2c  1)

b(c  2)  1  c   b(c  2)  1  (c  1)   1 

c 1
 c 1 

(c  2)(2c  1) 3

c  1 (*)
c 1
2
Mà (*) tương đương với: 4(c  2)(2c  1)  9(c  1)2  (c  1) 2  0
Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1

Nên ta chỉ cần chứng minh:

Bài toán 6. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng :
a
b
c
9
 2
 2

b (c  a ) c (a  b) a (b  c ) 2(ab  bc  ca)
2

Lời giải :
Ta có:

c
 2
 2
 2
  b(c  a )  c(a  b)  a (b  c) 
 b (c  a ) c ( a  b ) a (b  c ) 
a
b
c


 33
b
c
a
a
b
c
9
 2
 2

Nên 2
b (c  a ) c (a  b) a (b  c ) 2(ab  bc  ca)

Mặt khác theo bất đẳng thức Côsi :

a b c
. .
3

b b 2 c (c  2 a )
c c 2 a (a  2b)



5

2

GV: PHAN NGỌC TOÀN


PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI
2


1
1
1
2
 1 1 1 
Nên       4
 4
 4
  ab  bc  ca 
 a b c   a b(b  2c) b c(c  2a ) c a(a  2b) 
1
1
1
1

4. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng :
a4
b4
c4
3



3
3
3
b (c  a ) c (a  b) a (b  c) 2
5. Cho a, b, c là các số thực dương thõa a  b  c  1 . Chứng minh rằng :
1 a 1 b 1 c
b a c


 2   
1 a 1 b 1 c
a c b

1.2 Biến đổi thuận dạng 2.
Để vận dụng kỹ năng “Biến đổi thuận Bunhiacopxki” ở dạng 2 ta thường xuất phát
từ giả thiết bài toán hoặc từ bất đẳng thức cần chứng minh( biểu thức cần tìm GTLN,
GTNN) làm xuất hiện biểu thức dạng
theo biểu thức

a2
a12 a22
  ...  n . Từ đó, biến đổi để đánh giá về

Lời giải :
a2
b2
c2
( a  b  c) 2
(a  b  c )2 a  b  c





b  c c  a a  b (b  c)  (c  a)  (a  b) 2(a  b  c)
2
Đẳng thức xảy ra khi a  b  c

Ta có:

Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng :
a
b
c


1
2b  c 2c  a 2 a  b

6

GV: PHAN NGỌC TOÀN



1
2b  c 2c  a 2 a  b
Đẳng thức xảy ra khi a  b  c

Ta có:

Bài toán 3. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng :
a3
b3
c3
a 2  b2  c2



a  2b b  2c c  2a
3

Lời giải :
a3
b3
c3
a4
b4
c4
(a 2  b 2  c 2 )2





c4
abc (a  b  c)



2
2
2
1  a b 1 b c 1  c a
1  abc

Nhận xét:
Ở bài toán này tử số của các phân thức đã ở dạng lũy thừa bậc chẵn nên ta có thể
nghĩa đến việc vận dụng ngay :
a4
b4
c4
(a 2  b 2  c 2 )



1  a 2 b 1  b 2 c 1  c 2 a 3  a 2b  b 2 c  c 2 a

Từ đó để giải quyết bài toán ta chỉ cần chứng minh:
(a 2  b 2  c 2 )
abc(a  b  c )

2
2
2






1  a 2 b 1  b2 c 1  c 2 a c(1  a 2b) a (1  b 2c ) b(1  c 2 a ) c (1  a 2b)  a(1  b 2c)  b(1  c 2 a )

a


2

c  b2 a  c 2 b



2

(1  abc)(a  b  c)

Ta cần chứng minh : a 2 c  b 2 a  c 2 b  abc (a  b  c) (1)
a2
b2
c2
(1) 


 abc
ab
ca

a b c
1 1 1
     (a  b  c )    
b c a
a b c

Lời giải :
Ta có:

a b c a 2 b 2 c 2 ( a  b  c) 2
  
  
(1)
b c a ab bc ca ab  bc  ca
a b c c 2 a 2 a 2b 2 b 2c 2 (ab  bc  ca )2
  



b c a abc 2 bca 2 cab 2 abc (a  b  c)

(2)

Nhân các bất đẳng thức (1) và (2) vế theo vế ta được:
2

(a  b  c )2 (ab  bc  ca)2
a b c
 1 1 1
.


1
a  2b 2 b  2c 2 c  2a 2
3. Cho a, b, c là các số thực không âm thõa a 2  b 2  c 2  1 . Chứng minh rằng :
2
a
b
c
3


 a a b b c c
2
2
2
1 b 1 c 1 a
4
2





4. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng :


a
b
c  9


GTLN, GTNN) làm xuất hiện biểu thức dạng (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...  bn2 ) . Từ đó,
biến đổi để đánh giá về theo biểu thức (a1b1  a2b2  ...  anbn ) 2 . Ta cùng xem xét qua một số
ví dụ sau:
Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
T

3a
4b
5c


bc ca ab

Nhận xét:
Chính sự xuất hiện biểu thức T 

3a
4b
5c


mà bài toán lại yều cầu tìm
bc ca ab

GTNN nên ta liện hệ đến việc vận dung dạng 2 của bất đẳng thức Bunhiacopxki . Với suy
n
p 
 m





  (b  c)  (c  a )  (a  b)  




bc ca ab  2
bc ca ab
2
1

32 5
2
2
1
Nên T 
3  2  5  12
2
bc ca a b


Đẳng thức xảy ra khi
2
3
5

Ta có: T  12  




 . Từ đó
 2b  a b  2c c  2a 

Chính sự xuất hiện biểu thức T 

ta đã có lời giải như sau bằng cách biến đổi nghịch Bunhiacopxki ở dạng 1.

9

GV: PHAN NGỌC TOÀN