Phòng Giáo dục và Đào tạo lâm thao
____________________________
đề thi chọn HọC sinh giỏi
Môn : Toán - Lớp 9 - Năm học 2008-2009
Ngày thi: 08 tháng 12 năm 2008
( Thời gian làm bài: 120' không kể thời gian giao đề )
__________________________________________________________
Bài 1: ( 3,0 đ)
Cho biểu thức: P =








+










+
+
1

Chứng minh rằng :

cbaaccbba 1009201019)1)(1(2008)1)(1(10)1)(1(30
+++++++
Với mọi a, b, c
1

Bài 4: ( 1,5 đ)
Cho
0

x
, Tìm giá trị nhỏ nhất của Q =
22
172
2
+
++
x
xx
.
Bài 5: ( 2,0 đ)
Cho tam giác ABC có trung tuyến BN và CM vuông góc với nhau tại G. Chứng
minh rằng:
a. AC
2
+AB
2
= 5.BC
2







+
+
1
2
1
1
:
1
1
aaaa
a
a
a
a
a, Điều kiện có nghĩa:
1;0

aa
....................
1
1
)1(
)1)(1(
.

++
=
a
aa
a
aa
a
aa
aa
a
a
a
aa
P

b, P < 1


1
1

++
a
aa
< 1



1
1

3819
=
a
=
2
)34(

=>
34
=
a
=> Thay vào biểu thức P tính đợc P =
2
315
33
3924

=


0,25 đ
1,0đ
0,75 đ
0,25 đ
0,75 đ
Bài 2
( 2 đ)
a, Chứng minh rằng : A =
nn


222
22
22
==
=++++
=++++
+=++
yx
yxyx
yxyxyx
yxxyyxyx
...........................................
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 3
(1,5đ)
Chứng minh rằng :

cbaaccbba 1009201019)1)(1(2008)1)(1(10)1)(1(30
+++++++
Với mọi a,b,c
0

Vì a,b,c
0

nên a + 1 > 0, a - 1


Cho
0

x
, Tìm giá trị nhỏ nhất của Q =
22
172
2
+
++
x
xx
.
1
8
2
1
)1(2
16)1(
2
+
+
+
=
+
++
=
x
x
x

x
....................................
=> Q
4

. Vậy GTNN của Q bằng 4

3
1
8
2
1
=
+
=
+
x
x
x
...........
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 5
(2đ)
Cho tam giác ABC có trung
tuyến BN và CM vuông góc với
nhau tại G. Chứng minh rằng:
a, AC
2

MG
2
GC
2
= CN
2
GN
2

BC
2
=BM
2
MG
2
+ CN
2
NG
2
=
2
22
4
MN
ACAB

+
=
44
222

GI
AD
GH
=> AD = 3 GH (2)
BC = 2 IC = 2GI ( T/c trung tuyến thuộc cạnh huyền)
mà GI

GH => BC

2GH (3)
Thay (2) và (3) vào (1) ta đợc điều phải chứng minh. ..................
1 đ
1 đ