Chuyên đề: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Vấn đề 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp 1: Để tìm giao tuyến của 2 mp’ (α) và (β) ta cần thực hiện 2 bước sau:
Bước 1: Tìm 2 điểm chung A, B của (α) và (β)
Bước 2: Đường thẳng AB là giao tuyến cần tìm
Ví dụ 1: Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của 2
đoạn thẳng AD và BC. Tìm giao tuyến của hai mp’ (IBC) và (KAD)
Phương pháp 2: Tương tự như phương pháp 1 nhưng ta chỉ tìm ngay được một điểm chung
S. Khi đó ta có 2 trường hợp xảy ra.
TH1: Hai mp’ (α) và (β) theo thứ tự chứa 2 đường thẳng (d
1
) và (d
2
) mà (d
1
)
∩
(d
2
) = I Suy
ra SI là giao tuyến cần tìm.
TH2: Hai mp’ (α) và (β) theo thứ tự chứa 2 đường thẳng (d
1
) và (d
2
) mà (d
1
) // (d
2
). Khi đó
ta dựng đường thẳng xS // d

thẳng AD và BC. Gọi M, N là 2 điểm lần lượt lấy trên 2 đoạn thẳng AB, AC. Tìm giao
tuyến của 2 mp’ (IBC) và (DMN)
4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên
cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD. Gọi E là giao điểm của MP và
BD. Tìm giao tuyến của (PMN) và (BCD)
5. Cho hình chóp S.ABCD Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD. Tìm giao tuyến
của 2 mp’ (SBM) và (SAC)
6. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên
cạnh BD sao cho KB > KD. Tìm giao tuyến của mp’ (IJK) với các mp’ (ACD) và (ABD)
7. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.
a) Tìm giao tuyến của 2 mp’ (IBC) và (JAD)
b) M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến của 2 mp’
(IBC) và (DMN)
8. Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bên trong tam giác ABD, N là một điểm bên trong ∆
ACD. Tìm giao tuyến của 2 mp’ (AMN) và (BCD); (DMN) và (ABC)
9. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SB, SD. P là một điểm trên cạnh SC và SP > PC. Tìm giao tuyến của (MNP) với các
mặt (SAC), (SAB), (SAD) và (ABCD).
Vấn đề 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
1
Phương pháp: Để tìm giao điểm O của đường thẳng a và mp’ (α) ta xét 2 trường hợp xảy
ra:
TH 1: (α) chứa đường thẳng b mà b lại cắt đường thẳng a tại O. Tìm
O a b= ∩ ⇒
O là
giao điểm cần tìm.
TH 2: (α) không chứa đường thẳng nào cắt a. Trường hợp này ta cần thực hiện 2 bước.
B
1
: Tìm (β) chứa a và

Ví dụ 1: Cho ∆ ABC và ∆ DEF không nằm trong cùng một mp’. AB cắt DE ở M; BC cắt
EF ở N; AC cắt DF ở K. Chứng minh rằng M, N, K thẳng hàng
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD và E, F, G là 3 điểm lần lượt trên cạnh AB, AC, AD. Gọi M,
N, K là giao điểm lần lượt của BC và EF; CD và FG; BD và GE. Chứng minh rằng 3 điểm
M, N, K thẳng hàng.
Bài tập.
1. Cho ∆ ABC nằm ngoài mp’ (α), biết 3 cạnh của ∆ ABC kéo dài cắt (α) tại I, J, K. Chứng
minh rằng 3 điểm I, J, K thẳng hàng.
2. Cho tứ diện S.ABC có D, E lần lượt là trung điểm cảu AC, BC và G là trọng tâm của ∆
ABC. Mặt phẳng (α) qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M, N. Một mp’ (β) qua BC cắt SD và
SA lần lượt tại P và Q.
a) Gọi
; I AM DN J BP EQ= ∩ = ∩
. Chứng minh 4 điểm S, I, J, G thẳng hàng.
b) Giả sử
; K AN DM L BQ EP= ∩ = ∩
. Chứng minh 3 điểm S, K, L thẳng hàng.
3. Cho 3 tia ox, oy, oz. Trên các tia ox, oy, oz lần lượt lấy các cặp điểm A và A’; B và B’;
C và C’ sao cho BC cắt B’C’ tại M; CA cắt C’A’ tại N; và AB cắt A’B’ tại I. Chứng minh
3 điểm M, N, I thẳng hàng.
Vấn đề 4: Chứng minh một đường thẳng trong không gian đi qua một điểm cố định
Phương pháp 1: Để chứng minh đường thẳng a đi qua một điểm cố định ta cần tìm trên a
2 điểm A, B và chứng minh 3 điểm A, B, I thẳng hàng.
2
Phương pháp 2: Cần thực hiện 2 bước
B
1
: Tìm đường thẳng d cố định ở ngoài mp (α) mà (α) chứa a
B
2

Vấn đề 5: Chứng minh ba đường thẳng trong không gian đồng quy.
Phương pháp: Để chứng minh 3 đường thẳng d
1
, d
2
, d
3
trong không gian đồng quy ta cần
chứng minh chúng đôi một cắt nhau và đôi một nằm trong 3 mp’ phân biệt (α), (β), (γ).
Phương pháp này cơ bản cần thực hiện qua 2 bước:
3