Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS”
PHẦN THỨ NHẤT :
NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG CỦA ĐỀ TÀI
1. TÊN ĐỀ TÀI
Hướng dẫn giải dạng “toán chia hết” trong chương trình toán THCS
2. TÍNH CẤP THIẾT CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
2.1 Lí do về mặt lí luận:
Nghò quyết hội nghò lần thứ IV Ban chấp hành Trung ưng Đảng Cộng Sản
Việt Nam (khoá VII, 1993) đã chỉ ra:
Mục tiêu GD – ĐT phải hướng vào đào tạo những con người lao động, tự
chủ, sáng tạo có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp
phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội
cơng bằng văn minh.
Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt
Nam (khóa VII, 1997) khẳng định rõ hơn.
Cuộc cách mạng về phương pháp giáo dục phải hướng vào người học, rèn luyện
và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải quyết vấn đề một cách năng động,
độc lập sáng tạo ngay trong q trình học tập ở nhà trường phổ thơng . . . Áp dụng
những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy
sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề.
Điều 24 Luật giáo dục (1998) viết: Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc điểm
của từng lớp học, mơn học.
RajaRoy singh trong cuốn “Nếu giáo dục cho thế kỷ XXI. Những trển vọng của
Châu Á – Thái Bình Dương” đã khảng đònh .
Để đáp ứng được những đòi hỏi mới được đặt ra cho sự bùng nổ kiến thức và
sáng tạo kiến thức mới, cần phải phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyết
vấn đề và tính sáng tạo . . . Các năng lực này có thể quy gọn về năng lực giải quyết
vấn đề.
Khả năng giáo dục của môn Toán rất to lớn, nó có khả năng phát triển tư
duy lôgíc, khái quát hoá, phân tích tổng hợp, so sánh dự đoán, chứng minh và

NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
Phương pháp giải toán:
Là toàn bộ những thủ thuật toán được sắp xếp theo trình tự nhất đònh và
vận dụng sáng tạo để tìm ra kết quả bài toán.
Thủ thuật : Phép giải mang tính linh hoạt, hợp lí, sáng tạo để giải quyết
một khâu hay cả bài toán.
Giải bài toán:
Là việc làm tìm ra ẩn số, tức tìm ra đáp số của bài toán. Muốn tìm ra ấn số
phải là một quá trình suy luận. Chính vì thế nên gọi việc giải toán là một quá
trình hoạt động trí tuệ của học sinh.
Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán giáo viên cũng phải truyền
thụ cho học sinh những tri thức phương pháp để học sinh biết cách học, biết
cách suy luận, vận dụng cái đã biết để tìm những kiến thức mới có tính chất
thuật toán. Đặc biết khi hướng dẫn giải toán giải toán cần coi trọng phương
pháp có tính chất tìm tìm đoán, và ngầm thể hiện cho học các bước giải toán
của “Polya”. Học sinh cần được rèn luyện các thao tác tư duy, phân tích, tổng
hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ về quen. Trong chương trình
toán (THCS), có rất nhiều dạng toán thể hiện mục tiêu trên, một trong số đó có
dạng “Toán chia hết” là một trong số các dạng toán quan trọng trong chương
trình toán THCS. Nó có mặt nhiều trong các lần kiểm tra đònh kỳ, thi học kỳ, thi
học sinh giỏi, thi vào trường chuyên, lớp chất lượng cao, và một số đề thi cấp
Huyện, Tỉnh ,… Điều này còn được thể hiện ở chỗ lượng bài tập trong sách giáo
khoa, sách bài tập khá nhiều và rất phong phú. Dạng toán chia hết được đề cập
ngay từ học kỳ I của lớp 6 và nó trải xuyên suốt cả chương trình toán THCS và
ở mỗi khối học, yêu cầu về mặt kiến thức cũng khác nhau, mức độ yêu cầu
cũng khác nhau. Nhưng kiến thức đòi hỏi có sự kế thừa, cái này là cơ sở của cái
kia, chúng bổ trợ cho nhau. Chính điều này yêu cầu người học phải nắm chắc
được kiến thức cơ bản, được cụ thể hoá trong từng bài và tóm tắt trong từng
chương của sách giáo khoa từng khối lớp, biết vận dụng linh hoạt các phương

mạnh dạn viết đề tài này.
Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 4
Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS”
III. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
A. Cơ sở lý thuyết
§Ĩ häc sinh häc tèt, lµm tèt ®ỵc d¹ng “To¸n chia hÕt ” nµy t«i trang bÞ cho c¸c
em néi dung kiÕn thøc sau, ®ã lµ nỊn t¶ng, lµ c¬ së ®Ĩ ¸p dơng gi¶i c¸c bµi tËp d¹ng
nµy.
1.TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng, mét hiƯu, mét tÝch.
- NÕu



mb
ma


mba 
+→
- NÕu



mb
ma


mba 
−→
- NÕu

lËp thµnh mét sè chia hÕt cho 4.
Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 5
Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS”
*DÊu hiƯu chia hÕt cho 8: Mét sè chia hÕt cho 8 khi vµ chØ khi sè ®ã cã ba ch÷ sè
tËn cïng lËp thµnh mét sè (cã 3 ch÷ sè) chia hÕt cho 8.
*DÊu hiƯu chia hÕt cho 10: Mét sè chia hÕt cho10 th× cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 0
vµ ®¶o l¹i.
* DÊu hiƯu chia hÕt cho 11: Mét sè chia hÕt cho 11 khi vµ chØ khi hiƯu gi÷a tỉng
c¸c ch÷ sè cđa nã “®øng ë vÞ trÝ lỴ ” vµ tỉng c¸c ch÷ sè “®øng ë vÞ trÝ ch½n ” (kĨ tõ
tr¸i sang ph¶i) chia hÕt cho 11.
3. §ång d:
*Hai sè a vµ b ®ång d víi nhau theo m« ®un m khi vµ chØ khi a – b chia hÕt cho
m.
*Cã thĨ “céng ” c¸c ®ång d thøc cã cïng m« ®un. Tøc lµ: NÕu a
≡
b (mod m), c
≡
d ( mod m ) th× a
±
c
≡
b
±
d (mod m)
*Cã thĨ nh©n tõng vÕ c¸c ®ång d thøc cã cïng m« ®un. Tøc lµ: NÕu a
≡
b (mod
m) , c
≡
d ( mod m) th× ac

• Bước 2: Từ giả sử P sai, chúng ta suy ra điều vô lý.
• Bước 3: điều vô lý đó chứng tỏ rằng P không sai, tức là khẳng đònh P đúng.
B. Các dạng toán
Trong phần này tôi chia theo từng dạng để dễ dàng cho người dạy và người
học tham khảo, lựa chọn một số bài để cho học sinh làm từ dễ đến khó. Một bài
có thể vận dụng theo nhiều cách khác nhau, phát triển cho học sinh tính linh
hoạt trong quá trình giải toán.

1. D¹ng1: T×m c¸c ch÷ sè cha biÕt cđa mét sè
Bµi to¸n 1: T×m c¸c ch÷ sè a vµ b sao cho
ab19
chia hÕt cho 5 vµ chia hÕt cho 8.
§Ĩ t×m ®ỵc a vµ b häc ph¶i thÊy ®ỵc 2 dÊu hiƯu c¬ b¶n ®ã lµ sè ®ã chia hÕt cho 5
vµ cho 8.
V×
ab19
chia hÕt cho 5 nªn ch÷ sè tËn cïng b = 0 hc b = 5.
V×
ab19
chia hÕt cho 8 nªn suy ra b = 0.
MỈt kh¸c
019a
chia hÕt cho 8 suy ra
019a
chia hÕt cho 4.
019a
chia hÕt cho 4
↔
0a
chia hÕt cho 4 suy ra a ∈{ 0, 2, 4, 6, 8}.

a ∈{ 2, 4, 6, 8} (1).
Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 7
Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS”
V×
96aaaaa


3
↔
(a + a + a + a + a + 9 + 6 )

3
↔
5a + 15

3
Mµ 15

3
→
5a

3
Mµ (5, 3) = 1
Suy ra a

3 vËy a ∈{ 3, 6 ,9} (2).
Tõ (1) vµ (2 ) suy ra a = 6
KL: VËy sè ph¶i t×m lµ 6666696.
Bµi to¸n 3 : T×m ch÷ sè a ®Ĩ

ab1234


9 th× (1 + 2 + 3 + 4 + a + b)

9
Hay (1 + a + b)

9
→
1 + a + b = 9q (q∈ Z) ( **)
V× a vµ b lµ c¸c ch÷ sè nªn a + b ≤ 18
Tõ (**) suy ra 9q ≤ 28 (q>1) VËy q = 2 hc q = 3
Trõ (*) víi (**) ta cã 390 + 9a = 8p – 9q , hay p = 49 + a + q +
8
2
−+
qa
V× p nguyªn nªn
8
2
−+
qa
nguyªn hay a + q – 2

8
+NÕu q = 2 th× a = 0 hc a = 8
Tõ (**) ta cã b = 9q – a – 10 do ®ã b = 8 hc b = 0
+ NÕu q = 3 th× a = 7 suy ra b = 10 ( v« lÝ v× b ≤ 9)
KL: VËy cã sè tho¶ m·n ®Ị bµi lµ: 123480, 123408.

= 80
KL: VËy c¸c sè tho¶ m·n ®Ị bµi lµ: 123480, 123408.
Bµi to¸n 5: T×m c¸c sè a,b sao cho:
1) a – b = 4 vµ
157 ba
chia hÕt cho 3
2) a – b = 6 vµ
74a
+
51b
chia hÕt cho 9
Giải:
1) a – b = 4 vµ
157 ba
chia hÕt cho 3
Ta cã:
157 ba
chia hÕt cho 3 khi vµ chØ khi ( 7 + a + 5 + b + 1) chia hÕt cho 3
hay ( a +b + 13) chia hÕt cho 3 suy ra ( a +b ) chia 3 d 2 (1)
Ta cã a – b = 4 nªn 4 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 5
Suy ra 4≤ a+b ≤ 14 (2)
MỈt kh¸c a – b lµ sè ch½n nªn a + b lµ sè ch½n (3)
Tõ (1) (2) vµ (3) suy ra a + b ∈ {8;14}
Víi a + b = 8; a – b = 4 ta ®ỵc a = 6; b = 2.
Víi a + b = 14; a - b = 4 ta ®ỵc a = 9; b = 5.
KL: VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ a = 6; b = 2 vµ a = 9; b = 5
2)
74a
+
51b