CHUYÊN ĐỀ 2 :
TÍNH CHIA HẾT
==============
A/ CHIA HẾT SỐ NGUYÊN :
I/ MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1/ a chia hết cho m, b chia hết cho m, c chia hết cho m, thì (a+b+c) chia hết cho m.
2/ a chia hết cho b

a = bq
a không chia hết cho b

a = bq + r
3/ (a,b) = 1 và a.c chia hết cho b => c chia hết cho b
4/ c chia hết cho a, c chia hết cho b, và (a,b) = 1 => c chia hết cho a.b
5/ a chia hết cho m, b chia hết cho n, thì a.b chia hết cho m.n
II/ PHƯƠNG PHÁP GIẢI :
1/ Phương pháp 1 : A(n) chia hết cho p; ta xét số dư khi chia n cho p
Ví dụ : A(n) = n(n
2
+1)(n
2
+4) chia hết cho 5
n chia cho 5 có số dư là r =0,1,2,3,4,5
a/ Với r = 0 thì n chia hết cho 5 => A(n) chia hết cho 5
b/ Với r = 1 => n = 5k+1 => n
2
= 25k
2
+10k +1 thì (n
2
+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5


m ta phân tích A(n) thành nhân tử, trong đó có một
nhân tử bằng m hoặc chia hết cho m: A(n) = m.B(n)
+ Thường ta sử dụng các hằng đẳng thức :
a
n
– b
n


a – b ( a
≠
b) n bất kỳ.
a
n
– b
n


a – b ( a
≠
- b) n chẵn.
a
n
+ b
n


a + b ( a
≠

k
– 15k – 15 – 1 =
= (16
k
– 15k – 1) + 15. 16
k
– 15
Theo giả thiết qui nạp thì : 16
k
– 15k – 1

225
Còn 15. 16
k
– 15 = 15(16
k
– 1)
Mà (16
k
– 1)

( 16 – 1) = 15
 15(16
k
– 1)

15.15 = 225
 Vì vậy 16
k+1
– 15(k+1) – 1

Cách 2 : Biến đổi đa thức bò chia thành tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia.
Cách 3 : Sử dụng biến đổi tương đương : chứng minh f(x)

g(x) ta chứng minh : f(x) + g(x)

g(x) hoặc f(x) - g(x)

g(x).
Cách 4 : Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bò chia
=============================
MỘT SỐ BÀI TẬP
- - - - - - - - -
1/ Chứng minh rằng : n(n
2
+ 1)( n
2
+ 4)

5
2/ Chứng minh rằng lập phương của một số nguyên n bất kỳ ( n>1) trừ đi 13 lần số nguyên đó thì
chia hết cho 6.
3/ Chứng minh rằng : 2
4n
– 1

15
4/ Chứng minh rằng : 2.7
n
+ 1


+ 27a
2
– 54a + 32
Từ kết quả đó suy ra rằng biểu thức : n
4
– 6n
3
+ 27n
2
– 54n + 32 luôn là một số chẵn với mọi số
nguyên dương n.
9/ Chứng minh rằng : n
4
+ 6n
3
+ 11n
2
+ 6n

24;
∀
n
∈
N
10/ Chứng minh rằng : A = n
3
(n
2
– 7)
2

100
12/

Chứng minh rằng : 16
n
– 1

17 khi n
∈
N và n chẵn.
13/ Chứng minh rằng :
∀
a
∈
Z ta có :
a/ a
2
– a

2
b/ a
3
– a

3
c/ a
5
– a

5

+ 9

384;
∀
n lẻ
15/ a/ Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3, CMR : a
2
– 1

24
b/ CMR nếu a,b là các số nguyên tố lớn hơn 3,t hì : a
2
– b
2


24
c/ Tìm điều kiện số tự nhiên a để a
4
– 1

240
16/ Tìm số nguyên n để giá trò biểu thức A chia hết cho giá trò biểu thức B :
A = n
3
+ 2n
2
– 3n + 2 ; B = n
2
– n

– 2

n – 2
d/ n
3
- 3n
2
+ 3n - 1

n
2
+n + 1
e/n
4
– 2n
3
+ 2n
2
– 2n + 1

n
4
– 1
20/a/ CMR nếu n + 1 và 2n + 1 (n
∈
N) đều là số chính phương thì n

24
b/ CMR nếu 2n + 1 và 3n + 1 (n
∈

+ 1

x
20
+ x
10
+ 1
b/ x
2
- x
9
– x
1945


x
2
- x + 1
c/ x
10
- 10x + 9

(x – 1)
2
d/ 8x
9
- 9x
8
+ 1


– 1, mà mỗi đa thức không chia hết cho
x
2
– 1
30/ Xác đònh a,b,c để : a/ P(x) = x
4
+ ax
2
+ bx + c

(x – 3)
3
b/ P(x) = x
3
– 5x
2
– 8x + a

x
2
+x + b
c/ P(x) = x
3
+ ax
2
+ 2x + b

x
2
+x + 1

+
=
−+
+
b/ ( x – 1)m
2
– (5x – 1)m + 2(3x + 1) = 0
4/ Cho Q = 3
2n+1
+ 2
n+2
( n là số tự nhiên ). Chứng minh rằng Q chia hết cho 7
5/ Cho điểm D trong
∆
ABC đều. Vẽ các
∆
BDE,
∆
CDF đều ( E, F, D nằm cùng phía đối với
BC). Chứng minh AEDF là hình bình hành
2/ Cho B = n
3
+ 3n
2
+ 2n với n là các số nguyên. Chứng minh rằng B chia hết cho 6
3/ Cho n lẻ và C = n
3
– n ; D = n
2
+ 4n – 5 . Chứng minh rằng C 24 và D 8.

- y
2
= 105.
7/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình x
2
- y
2
= 93.
8/ CMR phương trình x
2
– 3y
2
= 17 không có nghiệm nguyên
9/ Giải và biện luận phương trình :
a/ a
2
x = a
2
(x + b) – b.
b/ ( x – 1)m
2
– (5x – 1)m + 2(3x + 1) = 0
c/
x
x
mx
x 2
1
3
+