TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11
PHẦN I: HÀM SỐ LƯNG GIÁC .
1>HÀM SỐ SIN
sin :
sin
R R
x y x
→
=a
2>HÀM SỐ COS
cos :
cos
R R
x y x
→
=a
3>HÀM SỐ TAN
tan :
tan
D R
x y x
→
=a
4>HÀM SỐ COT
t :
t
co D R
x y co x
→
=a
Một số tính chất của

 

b>Tập giá trò hàm số R
c>Là hàm số lẻ
d>Hàm số tuần hoàn
với chu kỳ
π
Một số tính chất của
hàm số y=cotx
a>Tập xác đònh
{ }
/D R k
π
=
b>Tập giá trò hàm số R
c>Là hàm số lẻ
d>Hàm số tuần hoàn
với chu kỳ
π
BÀI TẬP
Bài 1 :Tìm tập xác đònh hàm số sau :
2
2 2
2
2 cot
1/ cot(2 ) 2 / tan(3 ) 3/
4 3 cos 1
sin 2 1
4 / 5/ tan 6 / sin
cos 1 3 1

− −
Bài 2 : Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau :
2
2 2
2
1 4cos
1/ 2 3cos 2 / 3 4sin cos 3/
3
4 / 2sin cos 2 5/ 3 2 | sin | 6/ 3 1 sin 1
x
y x y x x y
y x x y x y x
+
= + = − =
= − = − = + −
PHẦN I I : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
I> PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN .
1>Phương trình lượng giác cơ bản : sinx=a (1)
+Với |a|>1 thì phương trình (1) vô nghiệm .
+Với
| | 1a ≤

i/Nếu a là giá trò của một góc đặc biệt nào đó thì
đặt : a=
sin
α
khi đó ta có :

1
B

2
u v k
u v k Z
u v k
π
π π
= +

= ⇔ ∈

= − +

ii/Nếu a là giá trò không có góc đặc biệt thì

arcsin 2
sin
arcsin 2
x a k
x a
x a k
π
π π
= +

= ⇔

= − +


*BÀI TẬP : Giải phương trình :

>
2
in(2 ) cos( ) 0
3 3
x x
π π
+ + + =
2>Phương trình lượng giác cơ bản : cosx=a (2)
+Với |a|>1 thì phương trình (2) vô nghiệm .
+Với
| | 1a ≤

i/ Nếu a là giá trò của một góc đặc biệt thì
đặt a=
cos
α
khi đó ta có :

2
cos cos
2
x k
x k Z
x k
α π
α
α π
= +

= ⇔ ∈

= ⇔

= − +


2
B
A
cos
α
=a=OH
sin
cos
O
H
K
M
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11
*BÀI TẬP : Giải phương trình :

1
1 cos 7 cos2 cos 0
2
2 2cos 3 0 8 cos cos3 0
3 2cos( ) 2 0 9 cos3 sin 0
3
4 2cos(2 ) 1 0 10 cos 2 sin 3 0
6
5 3cos(3 ) 2 0 11 cos(2 ) cos( ) 0
4 3 4

π
π
≠ +
+Nếu a là gía trò của góc đặc biệt thì
Đặt a=
tan
α
khi đó ta có: tanx=
tan
α
x k
α π
⇔ = +

Chú ý :
tan tanu v u v k
π
= ⇔ = +
+Nếu a không là giá trò của góc đặc biệt thì

tan arctanx a x a k
π
= ⇔ = +
4>Phương trình lượng giác cơ bản cotx=a (4)
+Điều kiện :
x k
π
≠
+Nếu a là giá trò của góc đặc biệt thì
Đặt

3 5
9 tan(3 ) tan 0 13 cot(2
4
x x
x x
x x
x x
x x x
π
π π
π π
π
> = > + =
> − = > − + =
> + − = > + + =
> − + = > − + =
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
> − − = > +
) cot( ) 0
4 4
2 3
10 tan(2 ) tan( ) 0 14 cot( 2 ) cot( ) 0
3 3 2 4
5 5
11 tan( ) cot(2 ) 0 15 cot( 3 ) tan(2 ) 0
3 3 3 3
4 5
12 tan(3 ) cot( 2 ) 0 16 cot(2 ) tan( ) 0
3 3 6 6
x

π π
= +

= ⇔ ∈

= − +

= +

= ⇔

= − +


2
sin sin
2
u v k
u v k Z
u v k
π
π π
= +

= ⇔ ∈

= − +


*

2
cos cos
2
u v k
u v k Z
u v k
π
π
= +

= ⇔ ∈

=− +


*
tanx=tan x= +k
tan arctanx a x a k
α α π
π
⇔
= ⇔ = +

tan tanu v u v k
π
= ⇔= +

*
t t
cot cot

x x x x
x x x x
x x x x
x
x x x
x
x
π π
π π π π
π π π
π
π
> + = > + − =
> + + + = > + + =
> − + − = > + + + =
> + + + = > + + + + =
> + −
2 2
) 0 12 tan 5 .tan 1
4
2
6 cot(3 ).tan( ) 1 13 tan .tan(2 ) 1 0
3 3 6
7 tan 2 .tan 3 1
x x
x x x x
x x
π
π π π
+ = > =

2
2sin (2 3)sin 3 0x x− + + =
4/ 6-4cos
2
x-9sinx=0 5/
2
4sin 2( 3 1)sin 3 0x x− + + =
6/ sin
2
3x-2sin3x-3=0
7/ sin
2
x+cos2x+sinx+1=0 8/ 2sin
2
x+cos
2
+sinx-1=0 9/ cos
2
x+sinx+1=0
10/ cos2x+5sinx+2=0 11>cos
2
x+cos2x+sinx+2=0 12>
sin cos 2 4 0
6 3
x x
π π
   
+ − + + =
 ÷  ÷
   

5 4sin 8cos 4
2
x
x− − = −
8/2cos2x+cosx-1=0 9/sin
2
x-2cos
2
x+cos2x=0
10>sin
2
x+cos2x+cosx=0 11>
2
cos( ) cos(2 ) 2 0
3 3
x x
π π
+ + + − =
12>(1+tan
2
x)(cosx+2)-sin
2
x=cos
2
x
C>Phương trình bậc hai đối hàm tan và cot
* atan
2
x+btanx+c=0
Đk

3
4 tan 2 0
cos
x
x
− − =
3>Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin và cos .
Phương trình có dạng : Asin
2
x+Bsinxcosx+Ccos
2
x=D
+B
1
: xét cosx=0
+B
2
: với
cos 0
2
x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +
chia hai vế của phương trình cho cos
2
x ta được :
(A-D)tan
2
x+Btanx+C-D=0

x x x x x x x x
x x x x
x x x x
+ =
> + − = > − + + =
> + − − =
> + + + = +
4> Phương trình bậc nhất đối với sin và cos .
(Nhắc lại công thức cộng : cosacosb+sinasinb=cos(a-b)
Sinacosb+sinbcosa=sin(a+b)
Phương trình có dạng : asinx +bcosx =c
6
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11
Để phương trình có nghiệm thì điều kiện là :
2 2 2
a +b -c 0
≥
Khi đó ta chia hai vế của phương trình với
2 2
a b+
khi đó ta được :
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
Do
2 2

7 / 3sin 5cos 4 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x
− = + =
+ = + =
− = − =
+ =
7
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11
PH ẦN II : TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
I>QUI TẮC ĐẾM .
a>Qui tắc cộng .
Một cơng việc được hồn thành bởi hành động một hoặc hành động hai . Nếu hành động một có m
cách thực hiện , hành động hai n cách thực hiện khơng trùng với bất kỳ hành động nào của hành động
một thì cơng việc đó có m+n cách thực hiện .
b>Qui tắc nhân .
Một cơng việc được hồn thành bởi hai hành động liên tiếp , nếu có m cách thực hiện hành động thứ
nhất , ứng với mỗi cách thực hiện đó có n cách thực hiện hành động hai thì có m.n cách hồn thành
cộng việc .
BÀI TẬP
II>HỐN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
a>Hốn vị :
Có tập hợp A gồm n phần tử
( )
1n ≥
. Một kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được
gọi là một hốn vị của b phần tử .
Ví dụ : A={1,2,3} thì 123,321,213 … là những hốn vị .

C
k n k
=
−
Ví dụ : Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ . Cần lập một đồn đại biểu gồm 5 người hỏi :
a/ Có tất cả bao nhiêu cách .
b/ Có bao nhiêu cách thành lập đồn đại biểu chỉ có 3 nam và 2 nữ .
III>NHỊ THỨC NIU TƠN
Cơng thức sau gọi là cơng thức nhị thức niu tơn

( )
0 0 1 1 1 1 1 1 0
... ...
n
n n k n k k n n n n
n n n n n
a b C a b C a b C a b C a b C a b
− − − −
+ = + + + + + +
Số hạng thứ k+1 là :
1
k n k k
k n
T C a b
−
+
=
.
8