Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
Đờng thẳng trong mặt phẳng 1/ Véc tơ chỉ ph ơng, véc tơ pháp tuyến của đ ờng thẳng
* Véc tơ

u


0
đợc gọi là vtcp của d nếu giá của nó // d
* Véc tơ

n


0
đợc gọi là vtpt của d nếu giá của nó

d
NX : Một đờng thẳng có vô số vtcp và vtpt
2/ Ph ơng trình đ ờng thẳng
Đờng thẳng d qua điểm M
0
(x
0
,y
0
) nhận


u
xx
phơng trình TQ u
2
(x-x
0
)-u
1
(y-y
0
) = 0
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng : Ax+By+C = 0 (A
2
+B
2

0)
Có vtcp

u
(-B,A) , vtpt

n
(A,B)
Đờng thẳng d qua điểm M
0
(x
0
,y
0


u
(1;3) làm vtcp
b. Qua A(2;4), B(1;3)
Bài 2 Viết phơng trình tham số, phơng trình chính
tắc của đờng thẳng có phơng trình TQ : 3x-5y+11= 0
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
HD : vtcp

u
(5,3), Chọn x
0
=-2, y
0
=1
Bài 3 Cho trung điểm 3 cạnh một tam giác là
M(3;-2), N (-1;1), P(5,2).
Lập phơng trình TQ 3 cạnh của tam giác.
Giải
* phơng trình AB :
01560)2(6)3(1
)1;6(
)2;3(
==++








>
yxyxpt
MPvtcp
QuaN
Bài 4 : Viết phơng trình trung trực các cạnh một tam giác
biết trung điểm các cạnh là M(-2;1), N(3,-4), P (5,2)
Gọi tam giác đã cho là ABC ,
Giải
M;N;P lần lợt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC
PT trung trực của AB
0130)1(6)2(2:
)6,2(
)1,2(
=+=++






>
yxyxpt
NPvtpt
QuaM
Tơng tự cho các trờng hợp còn lại
Bài 5 : Cho trung điểm 3 cạnh của tam giác ABC là M(2,1), N(5,3), P(3,-4)
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
a. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC
b. Lập phơng trình các đờng trung trực các cạnh của tam giác ABC

)
52
36
;
52
89
(
52
36
52
89
0138
0274








=
=




=+
=+
B

có dạng :
x-y+M= 0 (*) Thay A(2;2) vào (*) đợc M = 0
*Lập phơng trình AC : Qua A(2;2) và

d
1
có dạng -3x-9y+M = 0 (**)
Thay A(2;2) vào (**) đợc M = 24
Vậy phơng trình AC : 3x+9y-24 = 0 x+ 3y 8 = 0
Lập phơng trình BC (Tìm toạ độ B, C)
+ Toạ độ B là nghiệm của hệ :
)
3
2
;
3
2
(
3/2
3/2
0439
0
B
y
x
yx
yx




>
)
3
7
;
3
5
(
)3;1(
BCvtcp
QuaC
=> phơng trình 7x+5y-8=0
b/ Học sinh tự giải
3/ Vị trí t ơng đối của hai đ ờng thẳng chùm đ ờng thẳng
Kiến thức cần nhớ :
Xét 2 đờng thẳng có phơng trình :
d
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
= 0
d
2
:A
2
x+B

1
2
1
C
C
B
B
A
A
=
d
1
trùng d
2


2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
==
d

y+C
2
) = 0
Bài 1: Với a, b ? thì các đờng thẳng
d
1
: ax-2y-1 = 0; d
2
: 6x- 4y- b = 0
a. Cắt nhau
b. Song song
c. Trùng nhau
d. Vuông góc
Giải :
a. d
1
cắt d
2

3
4
2
6
a
a
b. d
1
//d
2


4
2
6
b
a
b
a
d. d
1

d
2
2.4+a.6 = 0 a= -4/3
Bài 2 Tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3)
a. Biết 2 đờng cao có phơng trình :
BH : 5x+3y-25= 0; CR : 3x+8y-12 = 0. Viết phơng trình đờng cao AL
b. Viết phơng trình đờng thẳng BC nếu biết đờng trung trực của BC là :
3x+2y- 4 = 0 và toạ độ trọng tâm G(4;-2)
Giải
a. Đờng cao AL thuộc chùm xđ bởi BH, CR nên phơng trình dạng :
m(5x+3y-25)+n(3x+8y-12)=0 ( 5m+3n)x+(3m+8n)y-(25m+12n) = 0
Đờng thẳng AL đi qua A nên ta có : -5m-3n-9m-24n-25m-12n = 0
39m+39n=0
Chọn m=1 => n = -1 Vậy phơng trình AL : 2x-5y-13 = 0
b. Hớng dẫn
- Lập phơng trình AG
- Đờng thẳng BC thuộc chùm AG và đờng trung trực của BC => phơng trình
Bài 3 Các cạnh tam giác ABC cơ phơng trình
AB : 2x+3y 5 = 0; BC ; x-2y+1 = 0 ; CA: -3x+4y-1 = 0. Viết phơng trình đ-
ờng cao AH của tam giác ABC

2
:A
2
x+B
2
y+C
2
= 0
cos(d
1
;d
2
) =
2
1
2
1
2
1
2
1
2121
.
||
BABA
BBAA
++
+
d
1

21
12
1 kk
kk
+

d
1

d
2

k
1
.k
2
= -1
*Phơng trình đờng phân giác của góc tạo bởi 2 đờng thẳng d
1
và d
2
là :
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A x+B y+C A x+B y+C
A AB B
=
+ +
Bài 1 : Tìm khoảng cách từ điểm M(1,2) tới đờng thẳng

3x-5y+2=0 và 5x-2y+4 = 0 đồng thời // với đờng thẳng 2x-y+4 = 0
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
Bài 5 : Lập phơng trình các đờng trung trực các cạnh một tam giác biết trung
điểm các cạnh là M(-1;-1); N(1;9), P(9;1)
Đờng tròn
1/ Phơng trình chính tắc, tổng quát của đờng tròn
* Đờng tròn tâm I(a,b) bán kính R có phơng trình
chính tắc:
(x-a)
2
+(y-b)
2
= R
2
* Khai triển phơng trình chính tắc ta đợc :
x
2
+y
2
2ax 2by + c = 0 gọi là ph ơng trình tổng quát
của đờng tròn.
Với c =
2 2 2
a b R+
; R =
2 2
a b c+
* Đặc biệt I

O(0,0) ta có phơng trình đờng tròn là :

Tống Long Giang Nghĩa Lé – Yªn B¸i





=
=
=
⇔





=−
=−
=
⇔





=+−
=+−
=+−
2/7
6
2/5

0
(x
0
, y
0
) ta cã :
P M
0
/(C) =M
0
I
2
R–
2
= x
0

2
+y
0

2
2ax–
0
2by–
0
+ c
P M
0
/(C) < 0 => M

+y
2
– 2x – 2y +2 = 0
3/ Trôc ®¼ng ph¬ng cña hai ®êng trßn
Cho : x
2
+y
2
2ax 2by + c = 0 (C)– –
x
2
+y
2
2a x 2b y + c = 0 (C )– ’ – ’ ’
Trôc ®¼ng ph¬ng cña hai ®êng trßn lµ ®êng
th¼ng cã ph¬ng tr×nh :
2(a-a )x +2(b-b )y +c - c = 0’ ’ ’
VÝ dô : Cho 2 ®êng trßn cã ph¬ng tr×nh
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
x
2
+y
2
2x 2y -10 = 0 (C
1
)
x
2
+y
2

) + ( y
0
-b)(y-y
0
) = 0
Nếu điểm M(x
0
, y
0
) nằm ngoài đờng tròn lập
phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm M(x
0
, y
0
). ĐK để d là tiếp tuyến là
d (M
0
, d) = R
Ví dụ : Cho đờng tròn (C) : x
2
+ y
2
-4x+8y -5 = 0
a/ Lập phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (-1;-8)
b/ Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(-1,0)
c/ viết phơng trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đờng thẳng 3x-4y+5=0 5/ Bài tập
Bài 1 : Tìm tâm và bán kính đờng tròn

F
2
}
F
1
(-c,0), F
2
(c,0) Tiêu điểm
F
1
F
2
= 2c - Tiêu cự
Trục lớn 2a, nửa trục là a
Trục nhỏ 2b, nửa trục b
b M
-a/e -a F a a/e

-b
(H)={M|MF
1
-MF
2
|=2a<2c =F
1
F
2
}
F
1

p
;0
2
2. Phơng
trình chính
tắc
2 2
2 2
x y
1
a b
+ =
với a
2
= b
2
+c
2
2 2
2 2
x y
1
a b
=
với c
2
= a
2
+b
2

b
y x
a
=
6. Bán kính
qua tiêu
1
cx
MF a
a
= +
2
MF =
cx
a
a

1
2
cx
MF a
a
(x 0)
cx
MF a
a

= +



tuyến
* Tiếp tuyến của (E) tại điểm M
0
(x
0
, y
0
)

(E) là :
0 0
2 2
x.x y.y
1
a b
+ =
* Đờng thẳng Ax+By+C = 0 là tiếp
tuyến của (E) a
2
A
2
+b
2
B
2
= C
2
* Đờng thẳng y = kx+m là tiếp tuyến
của (E) k
2

= C
2
* Đờng thẳng y = kx+m là tiếp tuyến
của (E) k
2
a
2
-b
2
= m
2
* Tiếp tuyến của (P) tại điểm M
0
(x
0
, y

(P) là : y
0
y =p(x+x
0
)
* Đờng thẳng Ax+By+C = 0 là tiếp
tuyến của (P) pB
2
= 2AC
* Đờng thẳng y = kx+m là tiếp tuyến
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
Elíp (E) Hypebol (P) Parabol (P)
của (P) p

2
+9y
2
= 1 g/ 4x
2
+9y
2
=36
Ví dụ 2 : Lập phơng trình chính tắc của (E) biết :
a/ Độ dài trục lớn và nhỏ lần lợt là 8 và 6
b/ Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự 8
c/ Độ dài trục lớn là 12, tâm sai e = 1/2
Ví dụ 3 :Lập phơng trình chính tắc của (E) trong các trờng hợp sau :
a/ (E) đi qua các điểm M(0;3), N (3;-12/5)
b/ (E) có một tiêu điểm F
1
(
3
3;0),M(1; )
2

Bài tập
Bài 1 : Viết phơng trình chính tắc của (E) biết :
a/ Trục lớn 10, tiêu cự 8.
b/ Tiêu cự 6, tâm sai e = 3/5
c/ Độ dài trục nhỏ 10, tâm sai e = 12/13
d/ Khoảng cách giữa các đờng chuẩn là 16, độ dài
trục lớn 8
e/ Khoảng cách giữa các đờng chuẩn là 32, tâm sai
e=1/2