PHÂN DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM HÌNH HỌC 12-LUYỆN THI THPT QUỐC
GIA
1) Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh
BC = a 2 và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.
A. a3 2

B. a3

2
3

C. a3

2
6

D. a2 2

Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính
thể tích khối lăng trụ này.
A. 9a3

B. 3a3

C. 6a3

D. 9a2

Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện
tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

A.

a3 6
2

B.

a3 6
12

C.

a3 3
2

D.

a3 6
2

2)Dạng 2Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B
với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích lăng trụ.

A.

a3 3
2

B.


a3 3
2

C.

D.

a3 6
2

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo
BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300.
Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ .

A.

4a 3 6
3

B.

a3 6
6

C.

a3 4 3
3


A.

a3 3
2

B.

a3
2

2 3a 3
3

C.

D.

3a 3

Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt
(A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8.
Tính thể tích khối lăng trụ.
A.

8 3

B.

8 3a 3
3


(A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể
tích khối hộp chữ nhật.

16a 3 2
3

A.

4) Dạng 4:

B.

16 6a 3

C. 6 3a 3

9

D.

16 2 3
a
3

Khối lăng trụ xiên

Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên
là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o .
Tính thể tích lăng trụ.

a3 3
4
LOẠI 2:

B.

3a 3

12

C.

8 3 3
a
3

D.

16 2 3
a
3

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC)
và (ASC) cùng vuông góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp
A.

a3 3
4

24

C.

8 3 3
a
3

D.

16 2 3
a
3

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA
vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o.

3


Tính thể tích hình chóp .
A.

a3 6
12

B.

3a 3



8 3 3
a
3

D.

16 2 3
a
3

2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
A.

a 3
2

B.

3a 3

2

3 2
a
3

C.

D.

a
3

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC)
⊥ (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o .
Tính thể tích tứ diện ABCD.
A.

a3 6
12

B.

3a 3

C.

9

8 3 3
a
3

D.

16 2 3
a
3

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cóBC = a. Mặt bên

4


A.

a3 6
12

B.

a 3 11
12

C.

2 3
a
9

D.

16 2 3
a
3

Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a . Tính thể tích khối
chóp SABCD.

A.


6

C.

2 3
a
9

D.

16 2 3
a
3

b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC.
A.

a3 6
12

B.

a3 2
24

C.

2 3
a
9


Với hình hộp chữ nhật.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

x

B

C

A(0;0;0) ; B( a;0;0) ; C ( a; b;0) ; D(0;b;0)

5


A '(0;0; c) ; B '( a;0; c) ; C '( a; b; c) ; D'(0;b;c)

Với hình hộp đáy là hình thoi ABCD. A' B' C ' D'

z
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
A’
- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai
đường chéo của hình thoi ABCD

D’

O’

B’

 a 2
 a 2

;0;0 ; C 
;0;0 
Khi đó : A −
2

  2


a 2   a 2 
B  0; −
;0 ÷
÷; D  0; 2 ;0 ÷
÷; S (0;0; h)
2

 


D

y

O
B

C


I

H

B

 a 3   a 3 
C  0;
;0 ÷
÷; S  0; 6 ; h ÷
÷
2

 


x

Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD)
z
ABCD là hình chữ nhật AB = a; AD = b

S

chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
A(0;0;0)

D


A
O
B

C

x

Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và ∆ ABC vuông tại A
z

S
Tam giác ABC vuông tại A có
AB = a; AC = b đường cao bằng h .
y

C

A
B

x

8


Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
A(0;0;0)
Khi đó : B ( a;0;0 ) ; C ( 0; b;0 )
S ( 0;0; h )


∆ ABC vuông tại C CA = a; CB = b
chiều cao bằng h

y

x

H là trung điểm của AB

B

H

A

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
C(0;0;0)

C
Khi đó : A ( a;0;0 ) ; B ( 0; b;0 )
a b
S ( ; ; h)
2 2

Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ SAB cân tại S
và ∆ ABC vuông tại A
z
∆ ABC vuông tại A AB = a; AC = b


Tam giác ABC vuông cân tại C có
CA = CB = a đường cao bằng h .

S

H là trung điểm của AB
y
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
H(0;0;0)

A

H

B
C

x

 a

 a

;0;0 ÷; A  0;
;0 ÷
Khi đó : C 
2 
 2




O

AB = (− a ; b ; 0)
AC = (−a ; 0 ; c)

Tìm vectơ pháp tuyến của :

γ

y

A

x

C’

[

]

B

n = AB, AC = (bc ; ac ; ab)

•

Mặt phẳng (ABC)


cos α = cos( (OBC ), ( ABC ) )
cos β = cos( (OBC ), ( ABC ) )
cos γ = cos( (OBC ), ( ABC ) )

Kết luận

cos γ =

b.c
b c + c 2 a 2 + a 2b 2
2 2

c.a
b 2 c 2 + c 2 a 2 + a 2b 2
a.b
b 2c 2 + c 2 a 2 + a 2b 2

b 2 c 2 + c 2 a 2 + a 2b 2
cos α + cos β + cos γ = 2 2
=1
b c + c 2 a 2 + a 2b 2
2

2

2

Bài toán 2. Bằng phương pháp toạ độ hãy giải bài toán sau :
Cho hình lập phương ABCD. A' B' C ' D' có cạnh bằng a.
a.Chứng minh rằng đường chéo A' C vuông góc với mặt phẳng ( AB' D ' )

Nếu 
 A' C ⊥ AD'

C’
D

A

C (a; a;0) ; C ' ( a; a; a)
D(0; a;0) ; D' (0; a; a )

G

D’

B
x

C

 A' C = (a; a;−a )


Ta có :  AB' = (a;0; a)

 AD' = (0; a; a)
 A' C. AB' = a 2 + 0 − a 2 = 0
⇔
Vì 
 A' C. AD' = 0 + a 2 − a 2 = 0

]

n1 = AB', AD' = (−a 2 ;− a 2 ; a 2 )

x = t
y = t

⇔
nghiệm của hệ : 
z = a − t
 x + y − z = 0

a

x = 3

a

y =
3

2a

z = 3


 a a 2a 
G ; ;  (1)
3 3 3 
x A + xB ' + xD ' a


[

]

Ta có :

( AB' D' ) : x + y − z = 0
(C ' BD) : x + y − z − a = 0

⇒ ( AB' D' ) // (C ' BD)

⇒
a
3

n2 = C ' B, C ' D = (a 2 ; a 2 ;−a 2 )

d ( ( AB' D' ), (C ' BD) ) = d ( B, ( AB' D' ) ) =

d. Tính cos( ( DA' C ), ( ABB' A' ) )

Vec tơ pháp tuyến của ( ABB' A' ) là j = (0 ; 1 ; 0)

Oy ⊥ ( ABB' A' ) ⇒ Vec tơ pháp tuyến của
( ABB' A' ) là j = (0 ; 1 ; 0)
Vectơ pháp tuyến của ( DA' C ) :

[



B’
O ≡ A(0;0;0) ; A' (0;0; a ) ;
B (0; a;0) ; B ' (0; a; a)

Chứng minh B' D' và A' B chéo
nhau, ta chứng minh ba vectơ
B ' D'; A' B, BB ' không đồng
phẳng.
Cần chứng minh

y

A

C (a; a;0) ; C ' ( a; a; a)
D(a;0;0) ; D ' (a;0; a )

C’

x

D

B

C

Ta có : B ' D' = (a;− a;0)
A' B = (0; a;−a) ;

4

4

=

a3
a

2

3

=

a 3
3

[ B' D', A' B ]

15


Bài toán 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
thoi. AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S (0;0;2 2 ) . Gọi M là trung điểm của
SC .
1. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM
2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N.
Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 )

Chứng minh SA và BM chéo nhau Sử dụng
công thức tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau

M

N

x

D
A

C
O

B

y

Ta có :

(

)

cos α = cos SA, BM =

SA.BM
SA BM

8+4

MN // AB // CD ⇒ N là trung điểm của SD
1


Toạ độ trung điểm N  0;− ; 2 
2


SA = (2;0;−2 2 ) ;
SM (−1;0;− 2 )
SB = (0;1;−2 2 ) ;

SM (−1;0;− 2 )

⇒ [ SA, SM ] = (0;4 2 ;0)

1
[ SA, SM ].SB
6
1
= [ SA, SM ].SN
6

1
4 2 2 2
[ SA, SM ].SB =
=
6


Bài giải

Dựng hình :

A1

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyz như sau : O(0;0;0) ;

B1

z

M



Với :

C1

A(0;−3;0) ; B(4;0;0) ; C (0;3;0) ; B1 (4;0;4)
A
x

B

O


O

C

Ta có : A1 (0;−3;4) ∈ mp(Oyz )
C1 (0;3;4) ∈ mp(Oyz )

Phương trình mặt cầu có tâm là A và
tiếp xúc với mặt phẳng ( BCC1B1 )
Viết phương trình mp ( BCC1 B1 )
Tìm bán kính của mặt cầu (S)
R = d ( A, ( BCC1B1 ) )

Vectơ pháp tuyến của mp ( BCC1 B1 )
n = [ BC , BB1 ] = (12; 16; 0)
Phương trình tổng quát của mp ( BCC1 B1 ) :
( BCC1B1 ) : 3 x + 4 y − 12 = 0
Bán kính của mặt cầu (S) : R =

Phương trình mặt cầu (S) :
Phương trình mặt phẳng (P) :

2
2
2
(S) : x + ( y + 3) + z =

24
5


z

Dựng hình :

D
∆ABC có : AB 2 + AC 2 = BC 2 = 25 nên
vuông tại A Chọn hệ trục toạ độ Đêcac
vuông góc Oxyz như sau O ≡ A(0;0;0) ;
B (3;0;0) ; C (0;4;0) D(0;0;4) ;

A

Tính : AH = d ( A, ( BCD) )
x

Viết phương trình tổng quát của
mặt phẳng (BCD)
Sử dụng công thức tính khoảng
cách từ một điểm đến một mặt
phẳng

H

C

y

I

B

Bài giải

z

B

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông

19


góc Axy' z như sau : A(0;0;0) ;
B (0;0; a ) ; M (2a;0;0) N (0;2a; a)

N
A

Toạ độ trung điểm I của MN
a

Ia ; a ; 
2


M

y
I
y'



Ta có : AM = (2a;0;0) ;
a

BI =  a; a;−  ; AB = (0;0; a )
2


Chứng minh AM và BI chéo nhau

[ AM , BI ] = (0; a 2 ;2a 2 )

Sử dụng công thức tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau

d ( AM , BI ) =

[ AM , BI ]. AB
[ AM , BI ]

=

2a 5
5

Bài toán 8 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh
MN vuông góc với BD và tính (theo a ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. ( trích đề
thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 )



;0;0 ÷
;0;0
A  −
;
C

÷
÷
 2
÷D
2




 a 2 

a 2 
 0;
 ; B  0;−
;
0
;0 



2
2


2
4
2





Tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường
thẳng MN và AC.
Chứng minh MN và AC chéo nhau
Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau

D
O

B

N

C

x

uuuur  3a 2
h  uuur
MN = 
;0; − ÷
; BD = (0; −a 2;0)


[ MN , AC ]. AM
[ MN , AC ]

a 2h
4 =a 2
4
a 2h 2
2

=

Bài toán 9 . Cho tứ diện ABCD, có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông
tại A; AD = a, AC = b, AB = c .
a. Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c
b. Chứng minh rằng : 2S ≥ abc ( a + b + c )

Hướng dẫn

Bài giải
z

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
A(0;0;0)

D

Khi đó : B ( c;0;0 ) ; C ( 0; b;0 )

A


a 2b 2 + b 2 c 2 ≥ 2ab 2 c
b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ 2abc 2
c a + a b ≥ 2a bc
2

2

2 2

2

abc ( a + b + c ) = a 2bc + b 2 ac + c 2 ab ≤
 b2 + c2  2  a2 + c2  2  a 2 + b2 
≤ a2 
÷+ b 
÷+ c 
÷
 2 
 2 
 2 
= a 2b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 = 2S ∆BCD

Bài toán 10 . Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S độ dài các cạnh đáy bằng a . Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN. Biết rằng mặt phẳng
(AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Hướng dẫn

Bài giải


M
N

B
I

y
A

H

C

x

 a a 3 h a a 3 h
M  − ;
; ÷
; ÷
÷; N  ;
÷
 4 12 2   4 12 2 
uuuur  a 5a 3 h 
AM =  − ; −
; ÷
12 2 ÷
 4

uuur  a 5a 3 h 

SB =  − ; −
; −h ÷
÷
6
 4

uuur  a a 3

SC =  ; −
; −h ÷
÷
6
2

ur uur ur uur
( AMN ) ⊥ ( SBC ) ⇔ n1 ⊥ n2 ⇔ n1.n2 = 0
⇔−

Diện tích tam giác AMN :
S ∆AMN =

a 2 h 15a 4
a 2 h 15a 4
+
=0⇔
=
4
24.6
16
242


Bài giải
z
S

Dựng hình :
Gọi H là hình chiếu vuông góc của
S trên AB ⇒ SH ⊥ (ABCD)

A

Ta có : SA2 + SB 2 = a 2 + 3a 2 = AB 2
⇒ ∆SAB vuông tại S ⇒ SM = a
Do đó : ∆SAM đều ⇒ SH =

a 3
2

D y
K

H
x

B

M

N



D  − ; 2a;0 ÷ ; M
 ;0;0 ÷ ;
 2

 2

a

 3a

N  ; a;0 ÷
 ;0;0 ÷ ;
2

 2

uuur  a
a 3
SM =  ;0; −
÷
2 ÷
2

uuur  3a
a 3
SN =  ; a; −
÷
2 ÷
 2


  2
2
2



÷
÷


3
3
uuur uuur uur
uuur uuur uuur
 SM , SN  SB = a 3 ;  SM , SN  SD = 3a 3




2
2

VSMNB =

1  uuur uuur uur a 3 3
SM , SN  SB =
6
12



Bài toán 12 . Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a , cạnh
bên AA ' = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’
và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm
2008 )

Hướng dẫn

Bài giải
z

25