Toán học 7

1

SỐ HỮU TỈ, CỘNG TRỪ SỐ HỮU TỈ
Kiến thức:
- Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng

a
với a, b  Z , b  0. Tập hợp các số hữu
b

tỉ kí hiệu là Q.
- Các phân số bằng nhau biểu diễn cùng một số hữu tỉ
- Việc biểu diễn số hữu tỉ trên trục số không phụ thuộc vào cách chọn phân số
xác định nó.
- Để so sánh hai số hữu tỉ x và y ta làm như sau:
+ Viết x, y dưới dạng phân số có cùng mẫu dương: x =

a
b
;y=
m
m

+ So sánh các số nguyên a và b. Nếu a < b thì x < y
Nếu a > b thì x > y
Nếu a = b thì x = y
- Cộng, trừ số hữu tỉ: Với x =
a b ab
 

;
7
11

b. x =

213
18
và y =
;
300
25

c. x = 0,75 và y =

3
4

a
b
và ( a, b, m Z ; m >0) .
m
m
a
b
a
ab
b
CMR nếu < thì

2003
và
2001
2002

Hdẫn: So sánh qua các số hữu tỉ trung gian: 1 ; 0 ; -1
www.fb.com/n.v.tiens

0986 915 960


Toán học 7

Bài 5: Tìm phân số

2
x
x
4
x 1
(x  Z ) sao cho <

1 4
d. 2  3 
2
6 3

4
+ 0,75
15
 1 1
1 1
e.  ( )  
2
3
23 6

a.

b.

Bài 7: Tìm x biết
a. x +

2
3
=
3
5

b. x -


1
= 3
5
4

Bài 8: Thực hiện phép tính hợp lý
2 1
5 3
7 5
A =  6      5      3   
3 2 
3 2 

3 3 2 1 3 23
B=     
5 11 97 35 4 44

3

2

Hdẫn: Ở biểu thức A ta nhóm các số hữu tỉ có cùng mẫu vào các nhóm rồi thực
hiện. Kết quả: A =

5
2

Ở biểu thức B ta nhóm như sau: B =

3 3 2 1 3 23

99.100
1 1 1
1
1 1
1
1
1
  ;
  ; …..;


Hdẫn: a, Có
1.2 1 2 2.3 2 3
99.100 99 100
1
1
1
100  1 99
1 1 1 1


 A=  +  +…+ 
=199 100
100
100
100
1 2 2 3

A=


b
b d b c bc
d

Với x =

Lưu ý: Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y (y  0) gọi là tỉ số của 2
số x và y, kí hiệu là: x : y hoặc

x
y

3. Giá trị tuyệt đối của 1 số hữu tỉ đợc xác định như sau:
x
nếu x  0
x 
  x nếu x > 0

Nhận xét:  x  Q ta có: x  0; x  x; x =  x
Bài tập:
Bài 1: Tính:

3 32
.
8 11
2 4
d.  :
5 7

25


9 3
b.  3   :

 5 4
7  8
45
e. .     
23  6  18 

c.

3 12
6
. : ( )
4 5
25

f.

26 13
:  10
3 3

1
1
1
1
1
g.  2  3  :  4  3   7

15
35
42
15
1135
g.     :      .  
7  2
6 43 2
86
3 2  6

c. 7

0986 915 960


Toán học 7

4

Bài 3: Tìm x biết:

3
21
.x 
5
10
11
5
.x  0, 25 

43
43 7
43
: => x 
c. .x   => .x 
=> x 
5
5 7
5
35
35 5
49
11
5 1
7 11
7
.x   => x  :
d.
=> x 
12
6 4
12 12
11
1 2 5 3
1 56  100  105
1 51
51 1
51
. => x 
e. x :    => x : 

a.

b. x =

5 5 49 5

:
9 7
9 7
6 3 3
6 1 8
d. :     :   
7  26 13  7  10 5 

b. 4 :

Hdẫn:
3 68 3 36 3  68 36  3 104 3
.  .  .    .
 .8  6
4 13 4 13 4  13 13  4 13
4
41 49 5
7
3 4 2 5 7
b.     :  10.  14
c.        :  0
9  7
5
 9

1  0,875  0, 7
 
9 11 37
6
5 19 23
1 1 1 
4.    
 5 19 23   4  1
Hdẫn: A =
8
2
1 1 1 
8.    
 5 19 23 
1 1 1 

1 1 1
2.  0, 2    
 
9
11
37
 3 4 5  22 0
B=  
1 1 1  7 1 1 1 7 7

7.  0, 2    
.   
9 11 37  2  3 4 5 


g. 3x  2  4  x  0

b. x = 1,75 + 3,21 => x = 4,96 => x =  4,96

c. x – 1,5 = 2 hoặc x – 1,5 = -2
=> x = 3,5 hoặc x = -0.5

d . 1,5. x = 2,81 + 1,09 =>1,5. x = 3,99
=> x = 3,99 : 1,5 => x = 2,66
=> x =  2,66

2 1
1
1
1
1
1
1
1
=  => x  = =>x - = hoặc x - = 3 2
6
6
6
6
6
6
6
2
=> x =
x=0

7

7

7

=> A = 0

Bài8: Tính các tích sau:
3 8 15 9999
...
4 9 16 10000

A= . .

1
1
1
1
 1

B =   1 .   1 .   1 ... 
 1
 1
 2   3   4   2007  2008 

Hdẫn:
3 8 15 9999 1.3 2.4 3.5 99.101 1.2.3....99 3.4.5...101 101
...



LUỸ THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ
KIẾN THỨC:
-

Ta có: xn = x.x.x…x ( x  Q; n  N; n > 1)
n thừa số

-

Tính chất:  x  Q ta có:

xm . xn = xm+n
(x.y)n = xn . yn
(xm)n = xm.n

xm : xn = xm-n (x; m  n)
n
n
(x:y)n = x : y (y  0)

BÀI TẬP:
Bài 1: Tính
a. (

2 3
)
3

2

1
155.105 (15.10)5 1505


h. 6 6 =
6
6
(6.25)
150 150
6 .25
3

53.(5  1)  1253.43 64
(54  53 )3
i.
=


1254
1254
125
1254

Nhận xét: + Luỹ thừa với số mũ chẵn của 1 số âm là một số dương
+ Luỹ thừa với số mũ lẻ của 1 số âm là một số âm.
Bài 2:

a, Viết các số sau dưới dạng luỹ thừa của cơ số 3:
1
1


Bài 3: Ta thừa nhận tính chất:  a  0, a   1, nếu am = an thì m = n. Dựa vào tính

chất này hãy tìm số n sao cho:
a. 3n-1 =

1
243

1
d.  



n5

 3 

b.

1
81

1
c.  
2

32 1

2n 2

3

1
   => 2n – 1 = 3 => n = 2
2

4

1
1
d.         n – 5 = 4 => n = 9
 3
 3
1
e. 2n . ( + 4) = 9 .25 => 2n = 25 . 2 =>n = 6
2

Bài 4: Tìm x biết:
2

3

1
a.  x    0
2


3

2

1
1
1
d. Có        nên ta có x   hoặc x    => x = hoặc x =
2 4
2
4
4
4
16  4   4 

Bài 5: So sánh các số sau:

a. 227 và 318

b*. 321 và 231

c*. 9920 và 999910

Hdẫn: a. Có 227 = 23.9 = 89; 318 = 32.9 = 99
Vì 8 < 9 nên 89 < 99 hay 227 < 318
b. Có 321 =3. 320 ; 320 = 32.10 = 910 ; 231 =2. 230 và 230 = 23.10 = 810
Lại có: 3 > 2; 910 > 810 => 3.910 > 2. 810 hay 321 > 231
c. Có 9920 = 9910 . 9910 ; 999910 = (99.101)10 = 9910.10110 mà 9910 < 10110
nên 9920 < 999910
Bài 6: Chứng minh rằng:

a. 278 – 321  26
b. 812 – 233 – 230  55
Ta có: a. 278 – 321 = (33)8 – 321 = 321 (33 -1) = 321 . 26

Toán học 7

9

TỈ LỆ THỨC, TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
KIẾN THỨC
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
- Ta có thể viết:

a
c
và
b
d

a c
 là a : b = c : d
b d

(a, b, c, d là các số hạng của tỉ lệ thức).
a và d là số hạng ngoài (ngoại tỉ); b và d là số hạng trong (trung tỉ)
- Tính chất :
a. Nếu

a c
 thì a.d = b .c
b d

b. Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau:
a c a b d c d b

Ví dụ: 1,4 : 1,89 = :
10 100 10 189 27

a. 1,4 : 1,89

b.

Bài 2: Từ các tỉ số sau có thể lập được các tỉ lệ thức không?
a. 5,4 : 13,5 = 6 :15
5
9

2
3

c. 15 : 21  2,5 : 3,9

5
: 1,5 = 7 : 13
8
2 12
d. 1, 7 : 2,85  :
3 17

b.

Hdẫn: Tính các tỉ số và so sánh, nếu các tỉ số bằng nhau thì ta có thể lập được
tỉ lệ thức, nếu không bằng nhau thì ta không thể lập được tỉ lệ thức.

www.fb.com/n.v.tiens

5

c. 3 : 2 x  0, 25 : 2

2
3

f. 0,3: x  x : 2,7

Hdẫn: Dùng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức để lập tích ngoại tỉ bằng tích trung tỉ, sau
đó tìm x. Ví dụ:
a. Từ

x 3
18 . (-3) 54
=> x. 3,6 = 18 . (-3) => x =
= -15


18 3, 6
3,6
3, 6

Bài 4: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ 4 số sau:
a. 4,4 ;
9,9;
0,84;
1,89
b. 0,03;
6,3;

a b
 ; a + b = 45
2 3

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a b a  b 45
 

 9 => a = 2 . 9 = 18; b = 3 . 9 = 27
2 3 23 5

vậy độ dài hai cạnh của hcn đó là 18cm và 27cm
b. Làm tương tự, kết quả: số đo 3 góc lần lượt là: 200; 400; 1200

www.fb.com/n.v.tiens

0986 915 960


Toán học 7

11

a b
 và a2  b2  81
5 4
2
a b
a

d
bd b 2  d 2

Bài7: Cho tỉ lệ thức

Hdẫn:

a c
a
c
ab cd
 =>  1   1 

b d
b
d
b
d
2
2
2
2
a c
ac a
c
a
c
b.Từ  => 2  2 =>  2  2 .
b d
bd b

y
z
5y = 7z    
7 5 14 15
x
y
z
=>   .
21 14 15

b. Từ 2x = 3y   

Từ đó áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và tìm x, y, z bình thường.
Bài 9: Tìm a và b biết

a b
 ; a.b = 48?
3 4

Hdẫn:
C1: Từ

a b
a a b a
a 2 ab
 => .  . 
. Mà a.b = 48 => a2 = 36 => a = 6 hoặc a = -6

3 4
3 3 4 3

violet.vn/thandieu2

www.fb.com/n.v.tiens

0986 915 960


Toán học 7

13

SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN
SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Mỗi số hữu tỷ được biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần
hoàn và ngược lại, mỗi số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn đều biểu diễn một
số hữu tỷ.
Ví dụ:
2
 0,4
5
21
 0,14
 150
1
 0,33...  0, 3
3
7
 0,6363...  0, (63)
11

 0, 01
9
1
 0, 001
999

0, 39 

39 13

99 33
263  2 261 29
0,263 


990
990 110
12423  12 56789
5,12423  5

99900
11100

B. BÀI TẬP
Bài 1: Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn
5
;
64
2
;

a)
10,(3) + 0,(4) - 8,(6)
b)
[12,(1) - 2,3(6)] : 4,(21)
c)
0,5 (3) : 0,58(3) . 0,875
d)

1 4 
5   42 
3 .  2, 4.2  :   
2 9 
11  53 

www.fb.com/n.v.tiens

0986 915 960


Toán học 7

14

LÀM TRÕN SỐ
LÍ THUYẾT

Quy ƣớc làm tròn số
+ Trường hợp 1: Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ
nguyên bộ phận còn lại. Trong trường hợp số nguyên thì ta thay các chữ số bị bỏ đi
bằng các chữ số 0


B. 3,3

C. 3,27

35
là
19,827

D. 3,28

E. 3,272

Bài 4: Thực hiện phép tính rồi làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai.
A  0,  3  1,  5   0,  21  .

11
83

Giải:

A  0, 3  1, 5  0, 21.

11
83
5 21  11 166 11
2
3
  1 
.

7 6
7 5
35
x : x . x
 2,91(66)
4 10
4 3
12
Lấy chính xác đến 1 chữ số thập phân thì x  2,9

Giải: (1)  0,6 x.

Bài 6. Chứng tỏ rằng
a. 0,(37) + 0,(62) = 1.
Ta có: 0,(37) =

37
62
37
62
99
1
và 0,(62) =
. Do đó: 0,(37) + 0,(62) =
+
=
99
99
99
99

+) Khi đã tồn tại A thì A  0 và - A  0.
+)  A 2  A

+) Khi A = B thì B không âm và A = B2.
+) Khi a, b > 0 thì a > b khi và chỉ khi căn
bậc hai của a lớn hơn căn bậc hai của b.
+) Ta có: A2 | A | .

* Mọi tính chất của các phép toán trên tập R giống như trên tập hợp số hữu tỉ.
II) Bài tập:
Bài 1: Tính :
a) 0,36 + 0, 49 ;

25
;
36

4
9

b)

c) (2  3)2 + ( 3  4)2 .

Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A = (4 3 ) 2  (3 5 ) 2  ( 7 ) 4 ; b) B = (2 3 ) 2  (3 2 ) 2  (4 0,5 ) 2  (
c) C =





2



 5   : 2 :  2 2    .
2

7

2

 
 

2


81  
 

Bài 3: Rút gọn biểu thức sau theo cách hợp lí:

2 2 
a) A  8 

2

 8



2

2

1

c)

C

2

2

1
1
1


49
49
7 7



2




25
5


.
204
374

0986 915 960


Toán học 7

17

Bài 4: So sánh A và B trong các trường hợp sau:
a) A = 4 +

33; B  29  14;

b) A  48  120 ; B  18;
d) A = 17  26  1 ; B =

c) A  23  15 ; B  91.

99 ;

Bài 5: Tìm x biết:
a)x - 2 x = 0;


9
6 9

Bài 6: a) Chứng minh rằng 2 ; 3 ; 5 là số vô tỉ.
b) Tổng quát: Nếu a là số tự nhiên không chính phương thì a là số vô tỉ.
Bài 7: Tìm x  Z sao cho A  Z với A =

x 3
.
x 2

Đáp án hoặc hƣớng dẫn:
Bài 2: Đáp số: A = 52; B = -3; C = 2; D = 15/4.
1
; B = 1; C = 1/4; D = 6/11.
33

Bài 3: Đáp số: A = 7

Bài 4: Đáp số:
a) A > B ; b) A < B; c) A < B; d) A > B.
Bài 5: Đáp số: h) x = 4/9; i) x = 5/4.
Bài 7: Đáp số: x = 9; x = 1; x = 49.( Chỉ ra x -2 là ước của 5)
BÀI TẬP TỰ RÈN
Bài 11: Tính các căn thức sau (không dùng máy tính)
49 ;

 10 6 ;

1225 ;

9

d)


25  
2
b)  64  2.  32  7. 1,69  3.
 :  5. 
16  
3


 

9
4



2

3
1 3 1
x
 
5
20 4 5

e) x  5 x  0


0986 915 960


Toán học 7

18

ĐẠI LƢỢNG TỈ LỆ THUẬN
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƢỢNG TỈ LỆ THUẬN
KIẾN THỨC
- Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = k.x (với k là hằng
số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k.
- Khi y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là
1
và ta nói x, y tỉ lệ thuận với nhau.
k
- Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau y = kx (với k là hằng số khác
0). Khi đó, với mỗi giá trị x1, x2, x3, …khác 0 của x ta có một giá trị tương ứng
y1 = kx1; y2 = kx2; y3 = k x3 ; ... của y và luôn có:
1/

y1 y2 y3
   ........  k
x1 x2 x3

2/

x1 y1 x1 y1 x2 y2
 ;  ;  ;……

c. x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ
. Công thức: x =
y.
3
3
Bài 2: Các giá trị của 2 đại lượng x và y được cho trong bảng sau:
x

-3

-2

0,5

1

4

y

-4,5

-3

0,75

1,5

6


a.
Giả sử x mét dây nặng y gam. Hãy biểu diễn y theo x.
b.
Cuộn dây dài bao nhiêu mét biết rằng nó nặng 4,5kg.
Đáp án: a. y = 25.x(gam)
b. Gọi x là chiều dài của cuộn dây đó, ta có:

25
1
4500.1
 x
 180 ( m)
4500 x
25

Bài 6: Tam giác ABC có số đo các góc A, B, C tỉ lệ với 3, 5, 7. Tính số đo các góc
của tam giác ABC?
Hdẫn: Gọi số đo các góc của tam giác lần lượt là a, b, c ta có: a + b + c = 1800
a b c
a b c a  b  c 1800
và   =>   

 120 => Các góc a, b, c.
3 5 7
3 5 7 357
15

Bài 7: Biết độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với 3; 4; 5. Tính độ dài mỗi cạnh
của tam giác đó, biết rằng cạnh lớn nhất dài hơn cạnh nhỏ nhất là 8cm?
Hdẫn: Gọi độ dài các cạnh của tam giác lần lượt là a, b, c( cm) (a, b, c >0)

0986 915 960


Toán học 7

20

Bài tập 3: Cho bảng sau:
x
y

-3
6

5
-10

4
-8

-1,5
3

6
-18

Hai đại lượng x và y được cho ở trên có phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận không?
Vì sao?
Bài tập 4:
Tìm ba số x, y, z, biết rằng chúng tỉ lệ thuận với các số 5, 3, 2 và x–y+z = 8.


www.fb.com/n.v.tiens

0986 915 960


Toán học 7

21

ĐẠI LƢỢNG TỈ LỆ NGHỊCH
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƢỢNG TỈ LỆ NGHỊCH
KIẾN THỨC:
- Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y 

a
(hay x.y =a) (với
x

a là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.
- Khi y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo hệ số
tỉ lệ là a và ta nói x, y tỉ lệ nghịch với nhau.
- Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau y 

a
(với a là hằng số khác
x

0). Khi đó, với mỗi giá trị x1, x2, x3, … khác 0 của x ta có một giá trị tương ứng
y1 

Vì số máy tỉ lệ nghịch với số ngày hoàn thành công việc
 4 x1  6 x2  10 x3  12 x4
x
x  x2  x3  x 4
x
x
x
 1 2  3  4  1

1
1
1
1
1 1 1
1
 

4
6 10 12 4 6 10 12
36

 60 (t/c của dãy tỉ số bằng nhau)
36
60
1
1
 x1  60.  15 x 2  60.  10
6
6
1


45
. Vậy y tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ là 45.
z

b. y tỉ lệ nghịch với x, hệ số tỉ lệ là a nên y =

a
x

x tỉ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ là b nên x =

b
z

Từ (1) và (2) suy ra y =

15
z

(1)
(2)

a
.x
b

Vậy y tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ

a

5

Với k = 150 thì x  .150  50 và y  .150  30
1
3

1
3

Với k = - 150 thì x  .(150)  50 và y  .(150)  30
b. 3x = 2y 

x y
1
1
  k  x  k; y  k
1 1
3
2
3 2

x2 + y2 =

k 2 k 2 13k 2


9
4
36



Với k = 30 thì x = k  .30  10; y  k  .30  15
1
3

1
3

1
2

1
2

Với k = - 30 thì x = k  .(30)  10; y  k  .(30)  15
Bài 4: Học sinh lớp 9A chở vật liệu để xây trường. Nếu mỗi chuyến xe bò chở 4,5 tạ
thì phải đi 20 chuyến, nếu mỗi chuyến chở 6 ta thì phải đi bao nhiêu chuyến? Số vật
liệu cần chở là bao nhiêu?
Giải:
Khối lượng mỗi chuyến xe bò phải chở và số chuyến là hai đại lượng tỉ lệ nghịch
(nếu khối lượng vật liệu cần chuyên chở là không đổi)
Mỗi chuyến chở được
Số chuyến
4,5tạ
20
6tạ
x?
Theo tỉ số của hai đại lượng tỉ lệ nghịch có thể viết
6
20

10
5 6 10

x2 + y2 + z2 =

k2 k2 k2
1
1 
 1


 k2 

  70  k  30
25 36 100
 25 36 100 
1
5

1
5

1
6

1
6

Vậy cạnh của mỗi hình vuông là: x = .k  .30  6 (cm); y  .k  .30  5 (cm)
z


Bài tập 7: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và khi x = 2, y = -15.
e) Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x và hãy biểu diễn y theo x.
f) Tính giá trị của x khi y = -10.
Bài tập 8: Cho bảng sau:
x
y

-10
6

20
-3

4
-15

-12
5

9
-7

Hai đại lượng x và y được cho ở trên có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Vì
sao?.
Bài 9: Ba đội máy cày cùng cày trên ba cánh đồng như nhau. Đội thứ nhất hoàn
thành công việc trong 3 ngày, đội thứ hai hoàn thành công việc trong 5 ngày, đội thứ
ba hoàn thành công việc trong 9 ngày. Biết rằng mỗi máy cày đều có năng suất như
nhau và tổng số máy cày của ba đội là 87 máy. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu chiếc máy
cày?

y
10
5
0
5
10
15
b)
x
y

0
-3

1
-4

2
-5

3
-4

4
-3

5
-2

c)


-3
2

-1
2

1
2

3
2

Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = x2 - 1
Các khẳng định sau đúng (Đ) hay sai (S)
a) Với x = -3 thì f(x) = -10
b) Với x = -3 thì f(x) = 8
c) Nếu f(x) = 0 thì x = 1
d) Nếu f(x) = 0 thì x =  1
e) Với x = 3 thì f(x) = 8
f) Với f(x) = 8 thì x = 3
g) Với f(x) = 8 thì x =  3
Bài tập tự luận
Bài 1: Hàm số y = f(x) được cho bởi công thức y = 3x2 - 7
1
2

1
5