PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Năm học: 2016-2017
Khóa ngày 21 tháng 10 năm 2016
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (4 điểm)
Cho biểu thức: P =

1
3
2


x +1 x x +1 x - x +1

a) Rút gọn P.
b) Chứng minh P  0.
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng n3 - n chia hết cho 6 với mọi n  Z.
Bài 3: (4 điểm)
Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 1
a) Tính giá trị của biểu thức M = x(x + 2000) + y(y + 2000) + 2xy + 15



1 



ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1
(4đ)

a) ĐKXĐ: x  0
1
3
2


P=
x +1 x x +1 x - x +1
1
3
2


=
x +1
x +1 x - x +1 x - x +1

0,25

0,5






x
P=
0
x - x +1
P= n3 - n = n(n2 -1)
= n(n+1)(n-1)
3

3

0,5
0,5

Ta có n(n+1)  2 => P  2
n(n+1)(n-1)  3=> P  3
Mà (2,3) = 1 => P  6

0,5
0,5
0,5
0,5

a) M = x(x + 2000) + y(y + 2000) + 2xy + 15
= x2 + 2000x + y2 + 2000y + 2xy + 15
= x2 + 2xy + y2 + 2000x + 2000y + 15
= (x +y)2 + 2000(x + y) + 15
= 12 + 2000.1+15 = 2016

0,5
0,5

2
+
=1+
xy xy
xy

0,5
0,5

Ta có: x + y  2 xy 1  2 xy
 1  4 xy
1
4

xy
2
P=1+
 1+ 2.4=9
xy
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

0,5
0,25


1
2
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 = 0
 (x2 + 4x + x + 4)(x2 + 3x + 2x + 6) - 24 = 0
 (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24 = 0


B

O
G

D

H

C

với 10  x < 100, 0  y < 1000 (1)
Ta có: x3 = 1000x + y (2)
Từ (1),(2)=> 1000x  x3 < 1000x+1000
=> 1000  x2 < 1000+

1000
31< x

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5


b) Ta có : DH.GB = BM.DA ( câu a)
2
2
ADO vuông cân tại O => AD = DO. 2
2
DH.GB = BM.DA = BO.
. DO. 2 =BO.DO
2
DH DO
 = GBO
 (=45o)
=>
mà ODH

BO GB

0,25

=>
=>

0,5