sở giáo dục và đào tạo
tuyên quang
Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 thcs
Năm học 2010 - 2011
chớnh thc
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài : 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang
Câu 1 (3 điểm). Cho 3 số a, b, c khác 0 thoả mãn:
1 1 1
2
a b c
+ + =
và
a b c abc+ + =
.
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
2
a b c
+ + =
.
Câu 2 (3 điểm). Cho 3 số x, y, z thoả mãn:
2 2 2
3 3 3
1
1
1
x y z
x y z

a) Chứng minh rằng: AH = AD; BH = BE .
b) Chứng minh rằng: AD.BE = CH
2
.
c) Chứng minh rằng: DH // BC.
d) Cho góc
ã
0
60ABC =
và BC = a. Tính diện tích hình thang vuông ABED theo
a.
Câu 6 (2 điểm). Cho hai s a, b tha món a
3
+ b
3
= 2. Chng minh rng:
0 < a + b 2.
.HT
sở giáo dục và đào tạo
tuyên quang
đáp án Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thcs
cấp tỉnh
Năm học 2010 - 2011
Môn thi: Toán
Câu Hớng dẫn giải Điểm
1(3)
Cho 3 số a, b, c khác 0 thoả mãn:
1 1 1
2
a b c

(*)
Từ giả thiết (2), do abc0, nên chia 2 vế cho abc ta đợc:
1 1 1
1
ab bc ca
+ + =
. Thay vào (*) ta đợc:
1 1 1
2
a b c
+ + =
.
1,5
1,5
2(3)
Cho 3 số x, y, z thoả mãn:
(1)
2 2 2 (2)
3 3 3 (3)
1
1
1
x y z
x y z
x y z

+ + =

+ + =










x
3
+y
3
+z
3
< x
2
+y
2
+z
2
= 1. Nhng do (3)
3 2
3 2
3 2
x x
y y
z z

=


a) Ta có:
4 2 4 2 2
( 5 4) 4( 1)P n n n n n n n

= + =

( 2)( 1) ( 1)( 2)n n n n n= - - + +
b) Ta có 120 = 3.5.8
- Vì P là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên P chia hết cho 3 v 5.
- Nếu n chẵn thì n - 2 và n + 2 cũng chẵn nên P chia hết cho 8.
- Nếu n lẻ: n = 2p + 1 thì (n - 1)(n +1) = 4p(p + 1) chia hết cho 8
Vậy P chia hết cho 120 (do 3, 5 v 8 ụi mt nguyờn t cựng nhau)
1,5
0,5
0,5
0,5

4(3
)
Tìm tt c cỏc nghiệm nguyên của phơng trình (x, y l cỏc n s)
2 2
6 5 4 8 0x xy y y+ + =
Ta có :
2 2 2 2
6 5 4 8 0 ( ) (5 5 5 ) ( 1) 7x xy y y x xy x xy y y x y+ + = + + + + + =
( 1) 5 ( 1) ( 1) 7 ( 1)( 5 1) 7x x y y x y x y x y x y + + + + + = + + + =
1đ
1 1 1
5 1 7 1
1 1 2

+ = =

+ + = = + = =

+ + = =2đ
5(6)
D
E
C
H
O
A
B
1đ
a) Xét 2 tam giác vuông : AHC và ADC có : AC chung
ã
ã
HAC OCA=

ã
0
60CBE =
nên
0
3
.sin 60
2
a
CE BC= =
Do đó
2
( ) 3ABED aS =
2đ
6(2) Cho hai s a, b tha món a
3
+ b
3
= 2. Chng minh rng:
0 < a + b 2.
Ta cú:
a
3
+ b
3
> 0 a
3
> b
3
a > b a + b > 0 (1)

Từ (1) và (2) ⇒ 0 < a + b ≤ 2.
Ghi ch: học sinh làm bài theo cách khác với đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối
đa.
……………… HẾT……………