SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
CẤP THÀNH PHỐ
KHÓA THI NGÀY 09/03/2016
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài:150 phút
(không kể thời gian phát đề)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(đề thi gồm 01 trang)
Bài 1. (3 điểm)
Giải phương trình:

x2  1 

( x 2  1)(2  x) 4
 .
x
x

Bài 2. (4 điểm)
Giải hệ phương trình:

y  y2  1
2
2
( x  y )( x  xy  y  2)  2ln

x  x2  1

HẾT


ĐÁP ÁN
Bài 1. (3 điểm)

( x 2  1)(2  x) 4
Giải phương trình: x  1 

x
x
2

(*) .

Lời giải.
( x 2  1)(2  x)
 0  x   1;0   1; 2 .
(0,5đ)
x
4
Vế trái của (*) dương nên  0  x  0 , do đó, ta chỉ cần xét x  1;2 và ta có:
x

Điều kiện

x3  x  x( x 2  1)(2  x)  4
 x3  x  4  x( x 2  1)(2  x)  0

(0,5đ)

Điều kiện xác định: x, y  R

(1đ)

Phương trình đầu  x3  y 3  2( x  y)  2ln( y  y 2  1)  2ln( x  x 2  1)

 x3  2 x  2ln( x  x 2  1)  y 3  2 y  2ln( y  y 2  1)
Xét f (t )  t 3  2t  2ln(t  t 2  1)
Tập xác định: R

f '(t )  3t 2  2 

2
t 1
2

Đặt u  t 2  1; u  1

2 3u 3  5u  2
 3(u  1)  2  
=> 3t  2 
u
u
t2 1
2
(u  1)(3u  3u  2)
 0 u  1
=
u
2


Phương trình  log 3 x 

1 1 

Kết luận : Tập nghiệm của hệ là : (x ;y)  (3;3);( ; ) 
3 3 


(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,5đ)

(0,5đ)

Bài 3. (3 điểm)
Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x 2  y 2 

3
 2( x  y ) . Tìm giá trị lớn
2

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
6  2( x  1)( y  1)
.
P
( x  1)2  ( y  1)2
Lời giải.
3

đúng hai nghiệm phân biệt trên đoạn [0; ] .
2
Lời giải.
Đặt t  sin x  cos x (1  t  2) ,
(0,5đ)
2
2
(*)  mt  1  (m  3)t  m(t  t )  3t  1 (**)
t = 1 không thỏa phương trình (**)
3t  1
 f (t ) (1  t  2)
(**)  m 
(0,5đ)
t  t2
3t 2  2t  1
f / (t ) 
 0 t  (1; 2]
(t  t 2 )2
(0,5đ)

Suy ra f đồng biến trên (1; 2]


Ứng với mỗi t  (1; 2) ptrình t  sin x  cos x có đúng 2 nghiệm x  (0; ) (0,75đ)
2

Như vậy (*) có đúng hai nghiệm phân biệt trên đoạn [0; ] khi
2
87 2
(0,75đ)


 ADE; O là
(1đ)
(1đ)
(0,5đ)

Ta có DE  DC 2  CE 2  2 2
DE
 AK 
2 2
2sin( AD, AE )

(0,5đ)

 OA  AK 2  OK 2  AK 2  IJ 2  3
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 3.

(0,5đ)

(0,5đ)

Bài 6. (3 điểm)
Trong một buổi tọa đàm về “Tình yêu tuổi học đường” tại lớp 12A, có tất
cả 21 bạn tham gia và có 4 cặp có tình cảm với nhau (không có học sinh nào
thuộc về nhiều cặp). Cô giáo chọn ra 5 bạn để tham gia một trò chơi tập thể.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong đó, có ít nhất một cặp có tình cảm với
nhau?
Lời giải.
Gọi A là nhóm các học sinh có tình cảm với nhau (gồm 8 học sinh) và B là nhóm các
học sinh còn lại (gồm 13 học sinh)


1
 Tiếp theo ta chọn 1 học sinh còn lại: có C17
cách chọn.

2

1
13

1
3

2
13

3
13

(0,25đ)

1
Như vậy số cách chọn trong trường hợp 2 là 6C17
(0,25đ)
 102 .
Vậy tổng cộng có 3774 cách chọn ra 5 bạn mà trong đó, có ít nhất một cặp có tình cảm
với nhau.
(0,5đ)