Kỹ thuật sử dụng
Bất đẳng thức
Cô-Si
(Tài liệu lưu hành nội bộ)
Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường
Tel: 0904.15.16.50
Hà Nội 16 - 6 - 2006
Kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si
1. NHNG QUY TC CHUNG TRONG CHNG MINH BT NG THC S
DNG BT NG THC Cễ SI
Quy tc song hnh: hu ht cỏc BT u cú tớnh i xng do ú vic s dng cỏc chng minh mt cỏch song
hnh, tun t s giỳp ta hỡnh dung ra c kt qu nhanh chúng v nh hng cỏch gi nhanh hn.
Quy tc du bng: du bng = trong BT l rt quan trng. Nú giỳp ta kim tra tớnh ỳng n ca chng
minh. Nú nh hng cho ta phng phỏp gii, da vo im ri ca BT. Chớnh vỡ vy m khi dy cho hc sinh ta
rốn luyn cho hc sinh cú thúi quen tỡm iu kin xy ra du bng mc dự trong cỏc kỡ thi hc sinh cú th khụng trỡnh
by phn ny. Ta thy c u im ca du bng c bit trong phng phỏp im ri v phng phỏp tỏch nghch
o trong k thut s dng BT Cụ Si.
Quy tc v tớnh ng thi ca du bng: khụng ch hc sinh m ngay c mt s giỏo viờn khi mi nghiờn
cu v chng minh BT cng thng rt hay mc sai lm ny. p dng liờn tip hoc song hnh cỏc BT nhng
khụng chỳ ý n im ri ca du bng. Mt nguyờn tc khi ỏp dng song hnh cỏc BT l im ri phi c ng
thi xy ra, ngha l cỏc du = phi c cựng c tha món vi cựng mt iu kin ca bin.
Quy tc biờn: C s ca quy tc biờn ny l cỏc bi toỏn quy hoch tuyn tớnh, cỏc bi toỏn ti u, cỏc bi
toỏn cc tr cú iu kin rng buc, giỏ tr ln nht nh nht ca hm nhiu bin trờn mt min úng. Ta bit rng cỏc
giỏ tr ln nht, nh nht thng xy ra cỏc v trớ biờn v cỏc nh nm trờn biờn.
Quy tc i xng: cỏc BT thng cú tớnh i xng vy thỡ vai trũ ca cỏc bin trong BT l nh nhau do
ú du = thng xy ra ti v trớ cỏc bin ú bng nhau. Nu bi toỏn cú gn h iu kin i xng thỡ ta cú th ch
ra du = xy ra khi cỏc bin bng nhau v mang mt giỏ tr c th.
Chiu ca BT : , cng s giỳp ta nh hng c cỏch chng minh: ỏnh giỏ t TBC sang TBN v ngc
li
Trờn l 5 quy tc s giỳp ta cú nh hng chng minh BT, hc sinh s thc s hiu c cỏc quy tc trờn qua cỏc
vớ d v bỡnh lun phn sau.

...... ...........
n
n
n
x x x n x x x+ +
Dng 3:
1 2
1 2
...........
......

n
n
n
x x x
x x x
n

ữ

+ +

Du = xy ra khi v ch khi:
1 2
............
n
x x x= = =
H qu 1:
Nu:
1 2

x x x P const= =
thỡ:
( )
1 2 2
.........
n
Min S n Px x x =+ +=
khi
1 2
............
n
n
x x x P== = =
2. Dng c th ( 2 s, 3 s ):
n = 2: x, y 0 khi ú: n = 3: x, y, z 0 khi ú:
2.1
2
x y
xy
+


3
3
x y z
xyz
+ +

2.2
2x y xy+

Tel: 0904.15.16.50
Hà Nội 16 - 6 - 2006
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
2.4
( )
2
4x y xy+ ≥

( )
3
27x y z xyz+ + ≥
2.5
1 1 4
x y x y
+ ≥
+

1 1 1 9
x y z x y z
+ + ≥
+ +
2.6
( )
2
1 4
xy
x y
≥
+


+ y
2
≥ 2xy. Do đó:
2 2
2 2
2 2
2
2
2
a b ab
b c bc
c a ca





+ ≥
+ ≥
+ ≥
⇒
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
8 , ,a b b c c a a b c a b c+ + + ≥ ∀
(Sai)
Ví dụ:
2 2
3 5
4 3


≥


≥


≥


+ ≥
+ ≥
+ ≥
⇒
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
| 8| 8 , ,a b b c c a a b c a b c a b c=+ + + ≥ ∀
(Đúng)
Bình luận:
• Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả được BĐT cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm.
• Cần chú ý rằng: x
2
+ y
2
≥ 2
2 2
x y
= 2|xy| vì x, y không biết âm hay dương.
• Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Cô Si như bài toán nói trên mà phải qua một và phép biển đổi
đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT Cô Si.
• Trong bài toán trên dấu “ ≥ ” ⇒ đánh giá từ TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 gợi ý đến việc sử dụng bất đẳng thức Côsi

64 ( )ab a b= +
Bài 3: Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab ∀ a, b ≥ 0.
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
3
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
Giải
Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥
3 3
3 1. . . 3. . . 9a b a b ab ab=
Bình luận:
• 9 = 3.3 gợi ý sử dụng Côsi cho ba số, 2 cặp. Mỗi biến a, b được xuất hiện ba lần, vậy khi sử dụng Cô Si cho ba số
sẽ khử được căn thức cho các biến đó.
Bài 4: Chứng minh rằng: 3a
3
+ 7b
3
≥ 9ab
2
∀ a, b ≥ 0
Giải
Ta có: 3a
3
+ 7b
3
≥ 3a
3
+ 6b
3
= 3a
3

81
3
1 1 1 1
a b c d
CMR abcd
a b c d





>
≤
+ + + ≥
+ + + +
Giải
Từ giả thiết suy ra:
( )
( )
( )
ôsi
3
3
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
= -
C
b c d bcd

3
3
3
3
3
3
1
0
1
1 1 1
1
0
1
1 1 1
1 d
81
1 1 1 1 1 1 1 1
1
0
1
1 1 1
1
0
1
1 1 1
bcd
a
b c d
cda
b

+ + +
≥
+ + + + + + + +
≥ ≥
+
+ + +
≥ ≥
+
+ + +
⇒
1

81
abcd ≤
Bài toán tổng quát 1:
Cho:
( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
, , ,.............,
1
0
1
: ...........
1 1 1 1
......... 1
1 1 1 1
n
n

   


 ÷ ÷ ÷

   

>
− − − ≥
+ + =
(1)
Giải
ôsi
1 1 1
(1) . .
2 2 2
. . . . 8
C
a b c
VT
a b c
b c c a a b bc ca ab
a b c a b c
− − −
=
+ + +
= =≥
(đpcm)
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
4

 ÷ ÷
 ÷
+ + + + =

 
  
 
>
− − − − ≥
Bài 7: CMR:
( )
( )
( )
( )
1 2 3
3
3
3
1 1 1 1 1 8 , , 0
3
a b c
a b c abc abc a b c
     
 ÷  ÷  ÷
     
 
 ÷
 ÷
 
+ +

+ +
+ ≥ + + +
(1)
Ta có:
( )
( )
( )
( ) ( )
1 1 1 1a b c ab bc ca a b c abc
 
 
 
=+ + + + + + + + + +
( )
(
)
2 2 2
3
ôsi
3
3
3
3 11 3
C
a b c abc abc abc+ + = +≥ +
(2)
Ta có:
( )
3
3

( )
(
)
1 2 3
1 2
1 2 1 2 1 2
....
...... ..... 2 ......1 1 1 1 1
n
n n n
n
n
n
n
x x x
x x x x x x x x x
n
     
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
 
 ÷
 ÷
 
+ + +
+ ≥ + + + ≥ + ≥
Bình
luận:
• Bài toán tổng quát trên thường được sử dụng cho 3 số, áp dụng cho các bài toán về BĐT lượng giác trong tam

Giải
Ta có:
( )
2
2 2
2 2 2 2
ôsi
2
2 2
1 1
2 1 1
1 1
1 1 1 1
C
a
a
a a
a a a a
= = ≥ =
+ +
+
+ + +
+ + + +
Dấu “ = ” xảy ra ⇔
2 2
2
1
1 1 1 0
1
a a a

Dấu “ = ” xảy ra ⇔
( )
( )
1
b a b
b a b
== −
−
⇔ a = 2 và b = 1.
Bài 4: CMR:
( )
( )
2
4
3 0
1
a a b
a b b
+ ≥ ∀ > >
− +
(1)
Giải
Vì hạng tử đầu chỉ có a cần phải thêm bớt để tách thành các hạng tử sau khi sử dụng BĐT sẽ rút gọn cho các
thừa số dưới mẫu. Tuy nhiên biểu thức dưới mẫu có dạng
( )
( )
2
1a b b− +
(thừa số thứ nhất là một đa thức bậc nhất b,
thừa số 2 là một thức bậc hai của b) do đó ta phải phân tích về thành tích của các đa thức bậc nhất đối với b, khi đó ta

a b b b
a b b
= + +
+ +
+ + − +
− + +
− +

( )
( )
( ) ( )
4
ôsi
. . . .
1 1 4
4 4
2 2
1 1
C
b b
a b
a b b b
+ +
≥ − =
− + +
⇒ ĐPCM
Bài 5: CMR :
3
1
2a 1

2 4
b a b
a
b a b a
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
+ −
− ≤ = =
Vậy:
3 3 3
ôsi
3
2 2
3
ôsi
3 3
2a 1 2 1 1 1 1
. .
4 ( )
C
C
a a a
a a a a
b a b a a
a a
+
= = =

Cho:
1 2 3
............., 0 à 1
n
x x x x v k Z> > > > ≤ ∈
. CMR:
( )
( ) ( )
( )
1
1 2
1
1 2 2 3 1
1 2
1
...............
k kk
n k
n k
n n
n
n k
a
a a a a a a a
k
 
 
 ÷
 
 ÷

− + − −
− − −
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1
1 2 1 2
1 2 2 3 1
.. ...
.
1
..
.
n
n n
n n
k k k
n n
n
k k
a a a a
a a a a
a
k k k k
a a a a a a a
− −
−
+ + + +
+ +

a a a a
n k a
k k k k
a a a a a a a
 
 ÷
 ÷
 
− −
−
− +
 
 
− −
− −
− +
− − −
≥
1 4 44 2 4 4 43 1 4 4 44 2 4 4 4 43
( )
1 2
1
1 2
n k
n k
n k
k
 
 
 ÷

=2
Dấu “ = ” xảy ra ⇔
1
a
a
=
⇔ a = 1 ⇒ vô lí vì giả thiết là a ≥ 2.
Cách làm đúng:
Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử
1
a
để sao cho khi áp dụng BĐT Côsi dấu “ = ” xảy ra khi a = 2.
Có các hình thức tách sau:
1 1
; (1)
1
; (2)
1
,
1
; (3)
; (4)
a
a
a
a
a
a
a
a

 ÷

 

⇒
Vậy ta có:
5
1
4 4 2
1 3 1 3 3.2
2
4 4 4
a a a a
S
a a
+ + ≥ + == + ≥
. Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a = 2.
Bình luận:
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
7
Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1):
(sơ đồ điểm rơi (2), (3), (4) học sinh tự làm)
1 2
1 1
2
a
a
α α



a
= +
Giải
Sơ đồ chọn điểm rơi: a = 2 ⇒
2
2
1 1
4
a
a
α α







=
=
⇒
2 1
4
α
=
⇒ α = 8.
Sai lầm thường gặp:
2 2 2
.
1 1 7 1 7 2 7 2 7.2 2 7 9

3
2 2 2
ôsi
. .
1 1 6 1 6 3 6 3 6.2 9
3
8 8 8 8 8 8 4 8 4 8 4
C
a a a a a a a
S a
a a a
 
 ÷
 
= + + + +
= + ≥ = + ≥ + =
Với a = 2 thì Min S =
9
4
Bài 3: Cho
, , 0
3
2
a b c
a b c






1
2
a b c= = =
Sơ đồ điểm rơi:
1
2
a b c= = =
⇒
1
2
1 1 1 2
a b c
a b c
α α α α







= = =
= = =
⇒

2
4
1
2
α

= = =
= = =
⇒ =
⇒
2
4
1
2
α
α
= ⇒ =
Vậy ta có cách giải theo sơ đồ 2 như sau:
( ) ( )
6
. .
1 1 1 1 1 1
4 4 4 3 6 4 .4 .4 . 3S a b c a b c a b c a b c
a b c a b c
 
 ÷
 
≥= + + + + + − + + − + +
3 15
12 3.
2 2
≥ − =
. Với
1
2
a b c= = =

1 1 1 1 1 1
3 3a b c a b c
b c a b c a
S
     
 ÷  ÷  ÷
     
≥ =+ + + + + +
2 2 2
6
2 2 2
6
. . . . .
1 1 1
3 2 2 2 3 8 3 2a b c
b c a
     
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
= =≥
⇒ MinS =
3 2
.
Nguyên nhân sai lầm:
MinS =
3 2
⇔
3
1





⇒ =
= = =
= =
= ⇒
=

Lời giải
2 2 2
2 2 2 2 2 2
16 16 16
..... ..... .....
1 1 1 1 1 1

16 16 16 16 16 16
S a b c
b b c c a a
+ + + + + += + + + + +
1 4 44 2 4 4 43 1 4 44 2 4 4 43 1 4 44 2 4 4 43
2 2 2
2 2 2 2 2 2
16 16 16
17 17 17
17 . ..... 17 . ..... 17 . .....
1 1 1 1 1 1

16 16 16 16 16 16

16 16 16 16
2 2 2 2
a b c a
b c a a b c
a b c
 
 
= =
 
 
≥
15
17
2 2 2
.
3
3 17 3 17
2
2
a b c
≥ ≥
 
+ +
 ÷
 
. Dấu “ = ” xảy ra khi
1
2
a b c= = =
⇒ Min S =

b c d a b c d a
c d a b c d a b
c a b d c a b d
a b d c a b d c
d a b c d a b c
a b c d a b c d













+ + + +
+ ≥ =
+ + + +
+ + + +
+ ≥ =
+ + + +
+ + + +
+ ≥ =
+ + + +
+ + + +
+ ≥ =

Phân tích và tìm tòi lời giải
Để tìm Min S ta cần chú ý S lá một biểu thức đối xứng với a, b, c, d do đó Min S nếu có thường đạt tại “điểm rơi tự
do” là : a = b = c = d > 0.(nói là điểm rơi tự do vì a, b, c, d không mang một giá trị cụ thể). Vậy ta cho trước a = b = c
= d dự đoán

4 40
12
3 3
Min S = + =
. Từ đó suy ra các đánh giá của các BĐT bộ phận phải có điều kiện dấu bằng
xảy ra là tập con của điều kiện dự đoán: a = b = c = d > 0.
Ta có sơ đồ điểm rơi: Cho a = b = c = d > 0 ta có:

1
1 3
3
9
3
3
a b c d
b c d c d a a b d a b c
b c d c d a a b d a b c
a b c d
α
α
α



⇒ ⇒

+ + ≥
+ +
+ + + + + + + +
≥
+ + + + + + + +
=
∑ ∑
8
9
b c c d a b a b
a a b b c c d d
d a d c
a b c d
 
 ÷
 
+ + + + + + + + + + + +
≥
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
10