ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

NGUYỄN THU HÀ

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA
BÀI TOÁN QUAN HỆ BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:
60. 46. 01. 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG

Hà Nội – Năm 2015


Mục lục
Mở đầu

3

1 Kiến thức cơ sở
1.1 Kiến thức tôpô và giải tích hàm . . . . . .
1.1.1 Không gian véctơ . . . . . . . . . .
1.1.2 Không gian tôpô . . . . . . . . . .
1.1.3 Không gian véctơ tôpô . . . . . . .


6

.
.
.
.
.

8
8
9
9
9
12

. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
về điểm
. . . . .

. . . . . . . .
. . . . . . . .

3.2.4 Bài toán cân bằng Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Bài toán cân bằng chiến lược trội . . . . . . . . . . . . . . .

1

14
14
15
15
15
15
15
15


4 Bài toán quan hệ biến phân không có tính chất KKM
4.1 Quan hệ KKM tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Bài toán quan hệ biến phân không có tính chất KKM . .
4.3 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

.
.
.
.
.




Mở đầu
Để đưa ra một chứng minh đơn giản hơn chứng minh ban đầu rất phức tạp
của định lý điểm bất động Brower (1912), ba nhà toán học Balan là Knaster,
Kuratowski, Mazurkiewicz đã chứng minh một kết quả quan trọng về giao khác
rỗng của hữu hạn các tập đóng trong không gian hữu hạn chiều (1929), kết quả
này sau gọi là bổ đề KKM. Năm 1961, Ky Fan mở rộng bổ đề này ra không
gian vô hạn chiều, kết quả này được gọi là Nguyên lý ánh xạ KKM. Vào năm
2008, GS. Đinh Thế Lục đã sử dụng quan hệ KKM vào một bài toán mới, bài
toán "Quan hệ biến phân", nhằm nghiên cứu một bài toán tổng quát hơn theo
nghĩa một số lớp bài toán quen thuộc như bài toán tối ưu tuyến tính, bài toán
tối ưu phi tuyến, bài toán cân bằng, bài toán tựa cân bằng, bài toán bao hàm
thức biến phân, bài toán bao hàm thức tựa biến phân, bài toán bất đẳng thức
biến phân có thể biến đổi được về bài toán này.
Bài toán quan hệ biến phân được phát biểu như sau:
Cho A, B, Y là các tập khác rỗng, S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B , T : A × B ⇒ Y là
các ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng và R(a, b, y) là quan hệ giữa các phần tử
a ∈ A, b ∈ B , y ∈ Y. Hãy tìm một điểm a ∈ A sao cho
(1) a¯ là điểm bất động của ánh xạ S1 , tức là a¯ ∈ S1 (¯a);
(2) Quan hệ R(¯a, b, y) đúng với mọi b ∈ S2 (¯a) và y ∈ T (¯a, b).
Mục đích của luận văn là trình bày sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến
phân trong trường hợp bài toán có hoặc không có tính chất KKM và tính lồi
dựa theo các bài báo [3] , [4] , [5] .
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm bốn chương:
Chương 1. Kiến thức cơ sở. Chương này giới thiệu cơ sở lý thuyết cho ba
chương sau, nhắc lại một số kiến thức về giải tích hàm, trình bày một số khái
niệm và tính liên tục của ánh xạ đa trị.
Chương 2. Bài toán quan hệ biến phân. Mục đích chính của chương này
là trình bày về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân dựa trên tính

Nguyễn Thu Hà

5


Chương 1

Kiến thức cơ sở
Trong chương này, ta sẽ trình bày một số kiến thức về giải tích hàm như các
khái niệm không gian metric, không gian tôpô, không gian véctơ tôpô,..và khái
niệm ánh xạ đa trị, tính liên tục của ánh xạ đa trị,...(theo [1] và [2]) cần thiết
cho việc trình bày các nội dung ở chương sau.

1.1

Kiến thức tôpô và giải tích hàm

1.1.1

Không gian véctơ

1.1.2

Không gian tôpô

1.1.3

Không gian véctơ tôpô

1.1.4

Chương sau
6


Định lý 1.2.1. (Định lý về sự tương giao của các tập compact) Giả sử {Ci : i ∈ I}
là một họ các tập compact, khác rỗng trong không gian X . Nếu nó có tính chất
Ci = ∅.
Cj = ∅ với J là tập hữu hạn trong I thì
giao hữu hạn, tức là
i∈I

j∈J

Định lý 1.2.2. (Định lí KKM-Fan cho ánh xạ đa trị) Cho A là tập compact,
lồi, khác rỗng và ánh xạ F : A ⇒ A đóng với giá trị khác rỗng, là ánh xạ KKM
F (a) = ∅.
. Khi đó
a∈A

Định lý 1.2.3. (Định lí điểm bất động Fan-Browder) Cho A là một tập compact, lồi, khác rỗng. Nếu ánh xạ đa trị F : A ⇒ A thỏa mãn điều kiện A =
intF −1 (a), thì tồn tại a ∈ A mà a ∈ convF (a).
a∈A

7


Chương 2

Bài toán quan hệ biến phân
Trong chương này ta trình bày bài toán quan hệ biến phân và đưa ra một số

Ví dụ 2.1.6. Bài toán cân bằng véctơ tổng quát mạnh (Generalized strong
vector equilibrium problem)
Ví dụ 2.1.7. Bài toán tựa cân bằng (Quasi-Equilibrium Problem )
Kết luận: Hầu hết các bài toán của tối ưu phi tuyến đều đưa được về mô
hình bài toán quan hệ biến phân.

2.2
2.2.1

Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân
Định lý cơ bản

Giả sử S1 , S2 , T là các ánh xạ đa trị và quan hệ biến phân R được xác định
trong Mục 2.1. Xét ánh xạ đa trị P : B ⇒ A được xác định bởi
P (b) = P1 (b) ∪ P2 (b),

trong đó
P1 (b) = A\S2−1 (b), S2−1 (b) = {a ∈ A : b ∈ S2 (a} ,
P2 (b) = a ∈ A : a ∈ S1 (a) và R(a, b, y) đúng với mọi y ∈ T (a, b) .

Định lý 2.2.1. a ∈ Sol (V R) khi và chỉ khi a¯ ∈

P (b).
b∈B

Hệ quả 2.2.1. Điểm a¯ ∈ A là nghiệm của bài toán (VR) nếu và chỉ nếu tập
B\P −1 (¯
a) là tập rỗng. Đặc biệt, nếu A = B thì bài toán (VR) có nghiệm nếu các
điều kiện sau thỏa mãn:
(i) Ánh xạ a → A\P −1 (a) có điểm bất động nếu nó có giá trị khác rỗng ∀a;