SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 1995-1996
Môn thi: Toán 12 (vòng1)
Ngày thi:23-12-1995
Thời gian làm bài:180 phút
Bài I
Xét đường cong:
3 2
y mx nx mx n= − − +
(C)
Tìm các cặp số (m; n) sao cho trong các giao điểm của (C) với trục hoành có hai giao điểm
cách nhau 1995 đơn vị và khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến trục hoành là 2000 đơn vị.
Bài II
Với những giá trị nào của m thì trong khoảng
0;
2
π
 
 ÷
 
ta luôn có:
3 2 2
sin 2 os 3 sin osm mc m c
α α α α
+ ≤
Bài III
Cho hai dãy số
( )
n
a
và

a b
+ =
với tâm O và các tiêu điểm
1 2
,F F
. Qua O,
1
F
vẽ các đường
song song MOM', MF
1
N'. Tính tỉ số:

1 1
. '
. '
OM OM
F N F N
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 1996-1997
Môn thi: Toán 12 (vòng1)
Ngày thi:21-12-1996
Thời gian làm bài:180 phút
Bài I
Cho dãy
( )
n
x
xác định bởi điều kiện:
x

− +
Hãy xác định giá trị của m sao cho với mọi giá trị của
α
thì phương trình có nghiệm.
Bài IV
Trên mặt phẳng toạ độ vuông góc Oxy, cho các điểm A(-1; 0); B(2; 0);
H(-2; 0); và M(-1; -0,6). Kẻ đường thẳng
( )
∆
vuông góc với AB tại H và đường tròn (C)
nhận AB làm đường kính.
Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn tiếp xúc với
( )
∆
và tiếp xúc trong với (C) sao cho điểm
M nằm ở bên ngoài đường tròn (I).
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 1997-1998
Môn thi: Toán 12 (vòng1)
Ngày thi:25-12-1997
Thời gian làm bài:180 phút
Câu 1 (5 điểm):
Cho hàm số
( )
2
2
x
e
f x
e e

x a
π π
− −
− − +
+ + + =
− + +
Câu 3 (5 điểm):
Cho
1 2 3 4
, , ,
6 4
x x x x
π π
≤ ≤
Chứng minh rằng:
( )
( )
2
1 2 3 4
1 2 3 4
4 3 1
1 1 1 1
cotgx cotgx cotgx cotgx
cotgx cotgx cotgx cotgx
3
+
 
+ + + + + + ≤
 ÷
 

Giải hệ phương trình:
( )
6 4
sinx
siny
10 x 1 3 2
5
;
4
x y
e
y
x y
π
π
−

=



+ = +





p p
Câu 3 (5 điểm):
Chứng minh bất đẳng thức:

x
=
+
và
( ) arctgxg x =
1. Cmr: đồ thị của chúng tiếp xúc nhau.
2. Giải bất phương trình:
( ) ( )f x g x x≥ +

Câu 2 (5 điểm):
Cho tam giác ABC thoả mãn:
( )
( )
( )
2 2 2
2
3
4
cot cot cot
3 cot cot cot 2 2 2
a b c
m m m
A B C
abc g g g
gA gB gC
+ +
=
+ +
Cmr: tam giác ABC đều.
Câu 3 (5 điểm):

đường thẳng tạo với nhau góc 45
0
và chúng đều tiếp xúc với đường tròn (C).
2. Cho 2 điểm A(a;b), B(c;d) thuộc đường tròn (C) chứng minh:
4 3 4 3 4 3 6a b c d ac bd− − + − − + − − ≤
.