Trờng THPT Đề thi chọn học sinh giỏi khối 11 THPT
Gia Viễn B Môn: Toán.(Đề gồm 1 trang)
Năm học: 2006 2007.
(Thời gian làm bài 180 phút)
Bài I: (6điểm).
1) Tính giá trị của biểu thức: A =
080808
80sin40sin20sin
++
.
2) Giải hệ phơng trình:





=+
=+
=+
xzxzz
zzyy
yyxx
32
2
2
33
2
2
Bài II: (5điểm).
1) Cho dãy số (u
n

=

+

+

x
x
xx
.
Bài III: (6điểm).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Cạnh SC có độ dài bằng a, hợp với đáy góc

và hợp với mặt bên SAB một góc

.
1) Tính độ dài các cạnh SA, AB theo a,

,

.
2) Khi
0
30
=

, hãy xác định

sin

1
225
1
225
1
acaccbcbbaba
P
++
+
++
+
++
=
.
---Hết---
đáp án đề thi chọn học sinh giỏi khối 11 THPT
Năm học: 2006 2007.
Môn: Toán.(Đáp án gồm 3 trang).
Bài I: 1) Chứng minh 20
0
, 40
0
, 80
0
là các nghiệm của phơng trình: 4sin
2
(3x) = 3. 0,5đ
Do đó sin
2
20

=+
XXX
. (1)
Đặt
02
3
02
2
02
1
80sin4,40sin4,20sin4
===
XXX
. Khi đó
321
,, XXX
là ba nghiệm phân biệt của ph-
ơng trình (1), vì vậy theo định lý Vi-et ta có:
9,6
133221321
=++=++
XXXXXXXXX
. 0,5đ
Biểu thức cần tính đợc viết lại là
4
2
4
2
4
1

54)(51)(27
321
2
3
2
2
2
1
+++++=
XXXXXXA
[ ]
234546.51)(2)(274
133221
2
321
4
=+++++=
XXXXXXXXXA
. 1,0đ
Do đó
128
117
=
A
.
0,5đ
2) Hệ đã cho đợc viết lại là:








=

=

=
2
3
2
2
31
3
1
2
1
2
z
zz
x
y
y
z
x
x
y
. Đặt x = tg(t) thì ta có y = tg(2t), z = tg(4t) 1,0đ
Do đó x = tg(12t). Do vậy: tg(t) = tg(12t)

k
tg
k
tg
trong đó k = 0,1,...,10. 0,5đ
Bài II: 1) Ta có






=






=
12
5
cos2
12
sin2
1

u
. 0,5đ
Từ hệ thức truy hồi bằng phơng pháp chứng minh quy nạp ta có đợc

cos222
1
1
1
1




=












=






=








>
>
x
x
x
x
x
. 0,5đ
Đặt
x
x
xx
xf

+

+

=
154
6
4
14

. 0,5đ
áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông SAC, SBC ta có:

sin,cos,sin aBCaSBaSA
===
. 1,0đ
áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông SAB ta có:

2222
sincos
==
aSASBAB
. 1,0đ
2) Khi
0
30
=

, ta có diện tích hình chữ nhật ABCD là
2
1
cossin
22
=

aS
. 1,0đ
4
2
22

. 1,0đ
Bài IV: áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân đối với 3 số thực dơng x, y, z ta
có:
zyxzyx
++
++
9111
, (1). Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. 0,5đ
Ta có
22222
)2()()2(225 bababababa
+++=++
. Dấu = xảy ra

a = b.
Do đó






++
+

++
baaba
baba
111
9

22
. Dấu = xảy ra
cb
=
.







++
+

++
accac
acac
111
9
1
2
1
225
1
22
. Dấu = xảy ra
ac
=
.

cba
==
.

2
111
3
1111






++++
cbacabcab
. Dấu = xảy ra
cba
==
.
Kết hợp với giả thiết ta có đợc:
2007
111
3
10111
3
15
22
+





=++
==

cba
cba
cba
. 1,0đ
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng
5
6021
3
1
đạt đợc khi
5
6021
3
1
=== cba
. 0,5đ