LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới T.S Khuất Văn
Ninh, người thầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác giả hoàn
thành luận văn này. Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ
bảo ân cần của thầy Khuất Văn Ninh trong suốt quá trình tác giả viết luận
văn đã giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn
thành luận văn của mình.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng
Sau đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức, đóng
góp ý kiến và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn
thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Học viên
Nguyễn ngọc Bình


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của T.S Khuất Văn Ninh.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được
công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác.

Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Học viên
Nguyễn ngọc Bình



trong

n

........................................................................................................... 21

2.2.1. Điều kiện tồn tại nghiệm của hệ phương trình (2.19) sử dụng
phương pháp thác triển theo tham số ...................................................... 23
2.2.2. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp thác triển
theo tham số ............................................................................................ 23
2.2.3. Ví dụ .............................................................................................. 27
2.3. Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến
trong không gian

n

........................................................................................ 31

2.3.1. Định nghĩa ..................................................................................... 31
2.3.2. Định lý tồn tại của phương trình nghiệm (2.33) ........................... 32
2.3.3. Ví dụ .............................................................................................. 33
3. Ứng dụng phần mềm Toán học vào giải bài toán hệ phương trình
phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide ........................................ 39
3.1 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phần mềm Toán học ..................... 39
3.1.1. Ví dụ 1 ........................................................................................... 39
3.2. Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phần mềm toán học ....................... 47
3.2.1. Ví dụ 1 ........................................................................................... 47
3.2.2. Ví dụ 2 ........................................................................................... 52




2

- Ứng dụng phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình
toán tử phi tuyến.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp nói trên để giải hệ phương trình
phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có từ đó hệ thống
những vấn đề lý thuyết liên quan đến đề tài, áp dụng lý thuyết vào bài tập.
6. Đóng góp mới của luận văn
- Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp thác triển theo
tham số.
- Giải hệ phương trình tuyến tính và phi tuyến trên máy tính điện tử.


3

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian Banach
1.1.1. Không gian định chuẩn
Giả sử X là không gian vectơ trên trường vô hướng K thực hay phức.
Hàm thực p trên X gọi là một chuẩn trên X nếu:
i) p  x   0 x  X ; p  x   0  x  0.
ii) p   x    p  x    K x  X .
iii) p  x  y   p  x   p  y  x, y  X .

Không gian vectơ X cùng với một chuẩn trên nó được gọi là không
gian định chuẩn.




2
,  xi   .
i 1



*

Với x   xi  , y   yi   l2 , k  , ta định nghĩa:
i)  x  y i  xi  yi , i 

ii)  kx i  k.xi , i 

*

*

.

.

Khi đó, l2 là một không gian vectơ trên trường số

.

1


xn nN

xác định bởi xk 1  Axk , k  N là hội tụ đều ,đồng

thời ta có ước lượng:

n
d ( xn , x ) 
d ( x1, x0 ) .
1
*

1.3. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp
Ta xét phương trinh toán tử phi tuyến

x  A( x)

(1.1)

Áp dụng những dạng khác nhau của phương pháp xấp xỉ liên tiếp ta giải
gần đúng các phương trình đó.
Giả sử X là không gian Banach. Kí hiệu  S  x0 , r   là hình cầu trong X
với tâm x0 và bán kính

r . S  x0 , r   x  X ; x  x0  r .

Giả sử toán tư phi tuyến A tác động trong X, nghĩa là A(x)  X với
x X .
Ta nói rằng toán tử A thỏa mãn điều kiện Lipschitz nếu:
A( x)  A( y)   x  y , x, y  X ,


*
trong đó x là nghiệm của phương trình (1.1)

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằng dãy  xn  là dãy cơ bản từ đó
suy ra sự hội tụ của nó.
Ta có

xn1  xn  A( xn )  A( xn1 )   xn  xn1 ,
xn1  xn   n x1  x0
Từ đó
xnk  xn 

xnk  xnk 1  xnk 1  xnk 2  ...  xn1  xn

   nk 1   nk 2  ...   n  x1  x0

xnk  xn 

n
(1   k ) x1  x0
1 

(1.5)

Từ đó suy ra dãy  xn  là dãy cơ bản vì   1 .
Ta chứng minh rằng giới hạn x* của dãy  xn  là nghiệm của phương
trình (1.1). Rõ ràng là
x  y  A( x)  A( y)   x  y .


Định lí 1.3.3
Giả sử A là toán tử co trong s( x0 , r ) và
A( x0 )  x0  (1  )r .

Khi đó các kết luận của định lí 1.3.1 vẫn đúng.
Từ giả thiết của định lí này suy ra A là toán tử tác động trong S.
Thật vậy với

x  S ta có

A( x)  x0  A( x)  A( x0 )  A( x0 )  x0 
  x  x0  (1  )r

Áp dụng đinh lí 1.3.2 ta có điều phải chứng minh.
Định lí 1.3.4
Giả sử A là một toán tử tác động trong không gian Banach X, và một
lũy thừa nào đó Ak của toán tử A là một toán tử co trong X. Khi đó phương


8

trình (1.1) có một nghiệm duy nhất và nghiệm đó là giới hạn của dãy (1.2).
Tốc độ hội tụ được xác định bằng công thức

xn  x*  ( k  )( nk )/ k xk  x*

n  k;

Trong đó   là hệ số co của toán tử Ak .
Chứng minh.



9

mk  m1k

(m  0,1,2,...)

Hay là
n  ( k  )( nk )/ k .k ,

(n  k )

Cho n tiến đến vô hạn ta được

lim xn  x* .
n

Định lí được chứng minh.
Định lí 1.3.5
Giả sử X là một không gian Banach, toán tử F ( x, y) tác động từ X  X
vào X và thỏa mãn điều kiện Lipschitz:
F ( x, y)  F ( x)  F ( y)   x  x   y  y trong đó     1.

Khi đó phương trình x  F ( x, x) có nghiệm duy nhất và nghiệm này là
giới hạn của dãy
xn  F ( xn , xn1 )

n  1,2,..., x0  X.


1.4.1. Khái niệm toán tử đơn điệu
Giả sử X là không gian định chuẩn thực, X * là không gian liên hợp
của X . Toán tử A : D  A  X  X * được gọi là toán tử đơn điệu trên D  A
nếu:
A x   A y  , x  y  0, x, y  D  A.

(1.7)

Trong đó A, x  A x  (Giá trị của phiếm hàm A tại x ).
Nếu x, y  D  X  ta có A x   A  y  , x  y  0 thì toán tử A được
gọi là đơn điệu thật sự (nghiêm ngặt).
Ví dụ 1.4.1. Cho không gian Hilbert H . Khi đó ta có H *  H , xét toán tử

A : H  H.
Ta có
A x   A  y  , x  y   A  x   A  y  , x  y .

Lúc đó A là toán tử đơn điệu trong không gian H khi và chỉ khi

 A x   A y  , x  y   0,

x, y  H .

1.4.2. Toán tử d-đơn điệu
Cho không gian định chuẩn X , toán tử A : X  X * gọi là d-đơn điệu
nếu:



Au  Av, u  v    u     v

  s   ms 2 .
ii) Nếu toán tử A đơn điệu mạnh thì A là toán tử d-đơn điệu đều với

  s   ms .
iii) Nếu toán tử A đơn điệu đều thì toán tử A đơn điệu nghiêm ngặt.
iv) Nếu toán tử A là d-đơn điệu và X là không gian lồi ngặt thì A là
toán tử đơn điệu nghiêm ngặt.
1.4.5. Toán tử coercive
Toán tử A : X  X * ( X là không gian định chuẩn) gọi là toán tử
coercive ( toán tử bức) nếu tồn tại   s  xác định trên 0;  sao cho:
lim   s    và Au, u    u
s 

* Nhận xét:
Theo định nghĩa ta có :
lim

u 

Au, u
 lim   u   .
u 
u

u.

(1.11)


12

Ánh xạ A được gọi là đêmi liên tục tại x0  D  A  X nếu với mọi dãy

xn   D

mà xn  x0  0 khi n   thì A  xn  hội tụ yếu về G  x0  .

1.5.2. Toán tử hêmi liên tục
Giả sử X , Y là hai không gian định chuẩn và ánh xạ

A : X  Y.
Ánh

xạ

A

được

gọi

là

A x0  tx   A x0  khi t  0.

hêmi

liên

tục


2.1 Phương pháp thác triển theo tham số
2.1.1. Sự tồn tại nghiệm
Xét họ một tham biến các phương trình toán tử
x   Ax  f , 0    1

(2.1)

Với   0 ta có phương trình thường x  f
Với   1 ta có phương trình:
x   Ax  f (phương trình loại hai)

(2.2)

Nếu toán tử A thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số L thì có thể chỉ ra
được  0  0 sao cho  0 L  1 bằng cách cố định một số tự nhiên N sao cho
N>L và đặt  0 

1
N

Khi đó phương trình x   0 Ax  f xác định một toán tử co  0 A
Thật vậy
 x1, x2  X :  0 Ax1   0Ax 2   0 Ax1  Ax 2

Do A thỏa mãn điều kiên Lipschitz nên

 0 Ax1  Ax 2   0 L x1  x2   0Ax1   0Ax 2   0 L x1  x2
Mà

0   0 L  1 suy ra  0 A là toán tử co.


Ta viết phương trình (2.3) dưới dạng sau:
y  x   0 Ax

 F1 x

z  y   0 AF1 y  F2 y
.
.
.

     0 AF1 F2 1...F 1N  2  FN 1

Hay x  Ax  x   0 Ax+ 0Ax  ...   0Ax  f
Thực hiện N-1 phép thay biến:
y  x   0 Ax  F1 x
z  y   0 AF11 y  F2 y
.
.
.

     0 AF11 F2 1...F 1N 2  FN 1

(2.4)


16

Sau các phép thay biến trên phương trình (2.3) có dạng:
   0 AF11F21...F 1N 1  FN   f

Fk 1 (k  1, 2,..., N 1) được xác định trên toàn không gian và liên tục Lipschitz

với hệ số L= 1.
Do đó ánh xạ  0 AF11F21...FN 1 là ánh xạ co với hệ số co q   0 L  1 .
Vì vậy do nguyên tắc ánh xạ co phương trình (2.5) với f tùy ý có nghiệm
duy nhất 


17

Như vậy phương trình xuất phát (2.3) tương đương với phương trình (2.5)
cũng giải được duy nhất với phần tử tùy ý f.
Cụ thể đối với phương trình:
x  Ax  f

Trong đó A là toán tử tác dụng từ không gian Banach X vào X, f là phần
tử cho trước. Giả thiết A(0) = 0.
Giả sử hằng số Lipschitz là L và

L
 1.
2

Trong trường hợp này có thể lấy số N= 2.
Khi đó
1
1
x  Ax  x  Ax  Ax  f
2
2

2

Nghiệm xấp xỉ x của (2.10) có thể tìm bằng phép lặp

(2.10)


18

1
xm   Ax m  yn , x0 cho tùy ý, m  0,1, 2...
2

Dưới dạng tổng quát có thể viết quá trình lặp như sau:
1
1
Ax m  Ax+f, m=0,1,2,...; k=0,1,2,...
2
2

xm1 

(2.11)

Ta có thể hiểu cách viết (2.11) như sau.
Ta lấy xấp xỉ không x0  x và dựng quá trình lặp
xm1 

1
1

N
2
N

(2.12)

2.1.2. Ước lượng tốc độ hội tụ
Xét tốc độ hội tụ của phương pháp thác triển theo tham biến một cách tự
nhiên là trong các tính toán thực tế ta luôn cần đến một số hữu hạn phép lặp.
Ta sẽ ước lượng sai số của phương pháp nêu trên với điều kiện là trong mỗi
quá trình lặp chỉ sử dụng n phép lặp. Ta giả thiết toán tử trong định lý (2.1)
thỏa mãn điều kiện A(0) = 0.
Định lý 2.1.2
Giả sử ánh xạ A tác động trong không gian Banach X là đơn điệu và liên
tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L. Khi đó dãy nghiệm xấp xỉ{x(n,N)},
N>L, n=1,2,…, được dựng trong quá trình lặp (2.12), hội tụ đến nghiệm đúng x
của phương trình (2.3), theo chuẩn của không gian X, hơn nữa ta có ước lượng


19

x(n, N )  x 

 ( n) 

Trong đó

K n 1  exp( L)  1  f
(1  K ) exp( q) 1



Ta kí hiệu
q n1
 ( n) 
f , n  1,2,...
1 q

Bài toán 2 (hai bước theo tham biến  )
Xét phương trình
x  2 0Ax  f

Nói chung toán tử 2 0 A không phải là toán tử co. Để sử dụng nguyên tắc
ánh xạ co khi giải phương trình này ta thực hiện thay biến (2.4).
Sau đó phương trình trên sẽ có dạng
y   AF11 y  f

(2.13)


20

Như đã chứng minh, trong phương trình này toán tử  0 AF11 là toán tử co
do đó nhờ nguyên lý ánh xạ co phương trình (2.13) có nghiệm y. Giá trị xấp
xỉ của phần tử y thu được nhờ quá trình lặp
yn   0 AF11  f

(2.14)

Với sai số  (n) . Vì toán tử  0 A co với hệ số co q   0 L  1 nên sai số


 k   exp[q(k  1)], k  2,3,4,..., N

(2.17)


21

Do đó có thể viết ước lượng sai số (2.16) đới với bài toán K dưới dạng sau
đây nếu lưu ý đến ước lượng (2.16)
k

xn  x( K  0 )   k (n)    i (n)
i 1

k

   exp[ q(i  1)]  
i 1

exp(kq)  1
exp(q)  1

Ta kí hiệu nghiệm xấp xỉ của bài toán (2.3) được dựng với quá trình lặp
(2.13) là x(n,N), trong đó N là số các bước theo tham biến  , n là số phép lặp
được thục hiện trong mỗi quá trình lặp đã sử dụng.
Ta thu được:

[exp(qN )  1] f
(1  q)[exp(q)  1]



Ta đã biết rằng chuẩn của ma trận A 
vectơ trong

n

nn

tương thích với chuẩn của

được xác định bởi hệ thức:
A  sup
x 0

Trong không gian

n

Ax
 sup Ax .
x
x 1

, chúng ta thường dùng một trong 3 công thức sau:
x



 max xi ;
1i n