TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

ĐỀ BÀI:
A. PHẦN LÝ THUYẾT:
Câu 8: Limit Analysis là gì? Áp dụng cho bài toán tấm tròn chịu uốn. Thí dụ.
Câu 14: Trình bày quy luật chảy dẻo kết hợp với tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr Coulomb.
B. BÀI TOÁN DẦM:
1/ Tính vị trí trục trung hòa đàn hồi và trục trung hòa dẻo của tiết diện đã cho. Suy ra
mômen giới hạn đàn hồi M e và mômen chảy dẻo M p ứng với lúc tiệt diện bị chảy
dẻo hoàn toàn.
2/ Phân tích đàn dẻo bằng phương pháp ma trận độ cứng (hoặc PTHH) theo sơ đồ và
dữ kiện được phân công. Từ đó suy ra hệ số tải trọng giới hạn, gh .
3/ Vẽ biểu đồ quan hệ giữa hệ số tải trọng  - chuyển vị của K khi  tăng từ 0  gh .
4/ Tìm tải trọng giới hạn bằng phương pháp tổ hợp cơ cấu.
5/ Nhận xét – Kết luận.
SƠ ĐỒ TÍNH VÀ TIẾT DIỆN
2P0

P0

q

h

0

K
L2 /2


4

4

b(mm) t(mm) h(mm)
350

---

600

p = 350 MPa, E = 200 GPa
C. BÀI TOÁN TẤM CHỊU UỐN:
Yêu cầu: Xác định tải trọng giới hạn cho các tấm tròn hoặc vành khăn chịu uốn theo
số liệu được phân công.
DỮ KIỆN
Dữ kiện hình học

Dữ kiện về tiêu chuẩn chảy dẻo

STT

a(m)

b(m)

STT

9


a

2


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

BÀI LÀM
A. PHẦN LÝ THUYẾT:
Câu 8: Limit Analysis là gì? Áp dụng cho bài toán tấm tròn chịu uốn. Thí dụ.
Khái niệm Limit Analysis:
L thuyết phân tích tr c tiếp tải trọng giới hạn -Limit Analysis là một lý thuyết gi p ta
t m được tải trọng giới hạn khi kết cấu đạt đến trạng thái phá hủy mà kh ng c n phải trải
qua các ước trung gian.
hư ch ng ta đã iết việc phân tích kết cấu đàn dẻo cho đến khi phá hủy à một quá
tr nh phức tạp do phải tiến hành từng ước với những gia tải nh của tải trọng. iệc phân
tích kể tr n cho ph p ta hiểu iết được toàn ộ quá tr nh phát triển iến dạng dẻo nhưng
kh ng có ợi v mặt tính toán.
Chính vì thế, Limit Analysis là một hướng rất th c dụng. Nó đã cung cấp cho ngư i k
sư một phương pháp đơn giản để t m trị số của tải trọng giới hạn kh ng ch ằng phương
pháp đơn giản mà còn à cơ s cho việc thiết kế k thuật. hiệm vụ của thuyết này à t m
tr c tiếp tải trọng giới hạn khi kết cấu chịu tác dụng của tải trọng gia tăng một cách t ệ
th ng qua một hệ số gọi à hệ số tải trọng load factor).
X t một vật thể

ằng vật iệu cứng dẻo

tư ng có các i n động học thu n nhất

iến dạng của kết cấu được em à
: các thay đổi v h nh học của kết cấu tải
trọng giới hạn à kh ng đáng kể v thế dạng h nh học của kết cấu em như kh ng
đổi trong quá tr nh iến dạng
iả thiết iến dạng
cho ph p s dụng nguy n c ng khả d được em à ch a khoá
để chứng minh các định v giới hạn. Phương tr nh c ng khả d có dạng :

t
s

s
i

u ik dS   f i s u ik dV    ijs  ijk dV
v

(8.3)

v

3


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

trong đó t is , f i s ,  ijs ) à tập hợp các trư ng


a) Ứng suất suy rộng và phương trình vi phân cân bằng
Xét một ph n t tấm tròn vi phân như h nh 8.1.

rz
r


z


r 
r

e



dR
R

(a)Ứng suất
M

Q+dQ
q
Mr+dMr

Q
d


e /2

M 

  zdz

(8.6)

 e /2

Do tính chất đối xứng, ch có một thành ph n l c cắt Q xuất hiện
e /2

Q  Qr 



rz

(8.7)

dz

 e /2

và thành ph n l c cắt này kh ng được xem là ứng suất suy rộng mà ch là phản l c c n thiết
cho phương tr nh vi phân cân ằng:
d
( RQ )   PR
dR

trong đó  r và   là những độ cong chính do tính đối xứng.
c) Tiêu chuẩn chảy dẻo
Do tính chất đối xứng, các mômen M r và M  là các mômen chính.
Theo tiêu chuẩn Tresca:
max( M r , M , M r  M )  M p

(8.11)

Theo tiêu chuẩn von Mises:
M r2  M2  M r M  M p2

(8.12)

d) Năng lượng tiêu tán chảy dẻo trên một đơn vị diện tích
.

.

.

D  M r  r  M 

(8.13)

Theo tiêu chuẩn Tresca và định luật phối hợp phương tr nh 8.13) tr thành
5


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO
.


có:

q
-

P
 b2

Khi r ≤ b:
d
(rV )  qr
dr
1
=> rV   qr 2  C1
2
Do V = 0 tại r = 0 nên C1  0

1
1 P 
=> rV   qr 2    2  r 2
2
2  b 
d
1
(rM r )  M  rV   qr 2  M 
dr
2
Áp dụng đi u kiện biên tại r = 0, ta có:
6

2
Trong đó c à hằng số kết hợp được ác định b i đi u kiện liên tục của M r , tại r = b:

M
M

r b

r b

2
P
 P b
 Mp  2   Mp 
6
 b  6
P c
 Mp 

6 b

Pb
3
Mặt khác đi u kiện biên tại r = a là M r  0 .

=> c 

M pa 

2 M p

 2b .
W E  q b2 
w 0   q b2  w 0   P 1 
w0
 a
 3
a

 3 a
ăng ượng chảy dẻo trên một đơn vị diện tích :
.

.

D = Mr .  r + M  .  
Theo tiêu chuẩn Tresca và định luật phối hợp phương tr nh tr n được viết thành :
.

D

.
.
1
M p ( r    r   )
2

Với giả định r  0 , ta có :
.

D  M p 

aR
w  w0 

 a 

.

.

.

1 dw
1 wo wo
  
  .

R dR
R
a
Ra
.

ăng ượng tiêu tán dẻo trên toàn bộ diện tích
 . 
.
wo 
WI   D.dA   M p .  .dA  M p  
2 R.dR  2 M p wo
0  Ra 


1 

 3 a

8


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

Câu 14: Trình bày quy luật chảy dẻo kết hợp với tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr Coulomb.
Trong các ứng dụng của phương pháp phân tích tải trọng giới hạn, một số loại vật liệu
có tính ma sát
t ng đất đá …) được tư ng hóa như vật liệu đàn – dẻo tư ng và
tuân theo tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr Coulomb.
B mặt chảy dẻo của tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr Coulomb là một hình chóp sáu mặt
kh ng đ u nhau, trong mặt phẳng độ lệch là hình lục giác kh ng đ u nhau như h nh:

1
d
1 (m,0,-1)

d2 (m,-1,0)
A

B
d6 (0,m,-1)

d3 (0,-1,m)

f c'



ft '

(14.1)

(14.2)
(14.3)

1

(14.4)

Rõ ràng, f c' à cư ng độ chịu nén dọc trục và ft ' à cư ng độ chịu kéo dọc trục
Gọi m là hệ số t lệ cư ng độ giữa f c' và ft '
m

f c' 1  sin 

ft ' 1  sin 

hi đó c ng thức 14.4) được thu gọn thành:
m 1   3  f c'

(14.5)
với  1   2   3

(14.6)

 d 
d  3  d 
d 3


với d   0

(14.7)

Hay viết dạng thu gọn,
(d 1p , d  2p , d  3p )  d  (m, 0, 1)

với d   0

(14.8)

ối với năm mặt còn lại của hình tháp, ta có thể ác định tương t bằng cách thay đổi
thứ t các ứng suất chính  1 ,  2 và  3 . Kết quả được thể hiện trên hình 14.1
Chú ý, gia số biến dạng thể tích chảy dẻo là
d  vp  d 1p  d  2p  d  3p  d  (m  1)
Khi m 

(14.9)

f c'
 1 , biểu thức (14.9) ch ra rằng mô hình vật liệu tính toán theo tiêu chuẩn
ft '

Mohr Coulomb kết hợp luật chảy dẻo luôn d áo ượng giản nỡ thể tích chảy dẻo, ngoại
trừ trư ng hợp đặt biệt khi m = 1, biểu thức (14.9) sẽ tr v mô hình tính theo tiêu chuẩn

Thay biểu thức (14.6) và (14.10) vào (14.14)
dWp  fc'  d  cp

(14.13)
(14.14)
(14.15)

hoặc
dWp 

f c'
 d  tp
m

(14.16)
10


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

Trường hợp 2:
iểm ứng suất chảy dẻo nằm trên các cạnh của hình tháp, cụ thể xét cạnh tại điểm A
( em h nh 14.1). hi đó  1   2   3 và hai mặt phẳng
m 1   3  f c'

và
m 1   2  f c'


 fc' (d 1  d 2 )  fc'  d cp

(14.19)

Trường hợp 3:
iểm ứng suất chảy dẻo trùng với đ nh của h nh tháp nơi giao nhau của sáu b mặt hình
tháp. Bằng cách dẫn giải tương t như iểu thức (14.17), ta có thể suy ra giá trị của các gia
số biến dạng dẻo d  ip .
Trong trư ng hợp này, biểu thức (14.13) vá (14.15) vẫn đ ng.

11


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

2P0

P0

q

h=600

B. BÀI TOÁN DẦM:

0

K

p
yp

Trục trung hòa
dẻo

yG1
yG2

p
b=350

Hình b.2 Vị trí trục trung hòa dẻo
-

Trục trung hòa chảy dẻo phải chia tiết diện thành hai ph n có diện tích bằng nhau
y
35 2
1
F

y p  1050
y pb p 
60
2
h
2
 yp 

 bp 

3
3
2
2 1
1
2
h  y p  .bp   h  y p   b  bp 

2b  bp
3
2
yG 2  2
 h  yp 
3(b  bp )
 h  y p  .bp   h  y p  12 b  bp 
2  35  24.75
 yG 2  (60  42.43)
 9.29 cm
3(35  24.75)
yG1 



Suy ra:
Z

-

F
1050

Hình b.3 Vị trí trục trung hòa đàn hồi
-

Mômen chống uốn đàn hồi

bh3 35  603

 210000 cm4
36
36
I 210000
W  
 5250 cm3
2
C
60
3
I

-

Mômen giới hạn đàn hồi Me
Me   p .W  350 103  5250 106  1837.5 kN.m

13


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

2
1,9m

3

9
4

6
1,3m

1,9m

8
1,3m

11
5

10

0,95m

12

0,95m

Hình b.4 R i rạc hóa kết c u d m
Ma trận độ cứng ph n t


6 
L2 

2 
L 
6 
 2
L 
4 

L 

Ph n t 1: L =1.9 m
1.75 1.662 1.75 1.662 

2.105 1.662 1.053 

K

EI
 1

1.75
1.662 


2.105 
 dx

-

4.211 6.648 2.105 

 EI

13.996 6.648


4.211 
 dx

Ma trận độ cứng tổng thể
Ghép nối các ma trận độ cứng ph n t và áp đặt đi u kiện biên
v1  v2  v7  v11  0

Ta có được ma trận độ cứng tổng thể như sau:
0
0
0
0 
7.212 1.888 5.462 3.55

5.182 3.55 1.538
0
0
0
0 


10.924
0

P1  0

P2  P3

P4  P5

Pn  14
T

 qL 
 2 


2
 qL   1.365 
 12  0.296 



  qL   1.365
 2   0.296 
 2 
 qL 
 12 
 qL 
 2 


2
 qL  0.998


GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

 K v  P
0
0
0
0   v3  15.365
7.212 1.888 5.462 3.55

5.182 3.55 1.538
0
0
0
0   v4   0.296 


10.924
0
3.55
0
0
0   v5   9.73 

  

6.154 1.538
0
0
0   v6   0 


 v5 
 9.912 
 


 v6  1  6.56 
 


 v8  EI  5.251 
 v9 
 1.728 
 


v10 
 0.731 
v 
 2.325 


 12 

Bước 2: Xác định nội lực nút phần tử theo công thức
-

Ph n t 1
 g1 
1.75 1.662 1.75 1.662 


Ph n t 2
 g3 
5.462 3.55 5.462 3.55 
11.679   1.365  1.113
g 


3.077 3.55 1.538  1  5.54   0.296  9.853
 4

. 
   EI




5.462 3.55 EI  9.912   1.365   3.843 
 g5 


 g6 
3.077 
 dx
 6.56  0.296   6.632 

-

Ph n t 3
 g5 


 g8 
3.077 
 dx
 5.251  0.296   9.238 

-

Ph n t 4

16


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

 g7 
13.996 6.648 13.996 6.648 
g 

4.211 6.648 2.105  1
 8

   EI .

13.996 6.648 EI
 g9 


 g10 
4.211 

13.996 6.648 EI
 g11 


 g12 
4.211 
 dx

-

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

 1.728   0.998  4.862 
 0.731  0.158   3.671

 
 





 0   0.998  2.867 
2.325 0.158  0 

Suy ra hệ số tải trọng tương ứng với các mômen tại các điểm nút 1, 2, 3, 4, 5
4305.26
 294.236
14.632
4305.26

Bước 3: Chuyển vị và nội lực nút phần tử ở giai đoạn này
Chuyển vị và nội l c nút ph n t
giai đoạn này ác định bằng cách nhân kết quả
trong ước 1 và 2 với hệ số 1  294.2 . hi đó ta có
-

Chuyển vị
 v3 
11.679 
 3436.3
v 
 4.54 
1335.8
 4




 v5 
 9.912 
2916.5
 




1  1930.2 
 v6  1  6.56 
 




TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

 g1   12.887 
 3791.8 
 g   14.632 


 2 

 4305.26 
 
  294.236  

 g3  12.887 
3791.8
 g 4   9.853 
 2899.2 

-

Nội l c ph n t 2
 g3  1.113
 327.4 
 g  9.853



 g 7   13.573 
 3993.6 
 g8   9.238 
2718.2 

-

Nội l c ph n t 4
 g7   6.857 
 2017.6 
 g   9.238 


 8 

 2718.2 


294.236

  



 g9  4.862 
1430.6 
 g10   3.671
 1080.3

-


T

Bước 4: Khớp dẻo hình thành tại nút số 1, kết cấu thay đổi như hình vẽ
7kN

14kN

2.1kN.m

K
1,9m

1

1,3m

5

3
1

2
4

2
1,9m

1,3m


GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

Hình b.5 Kết cấu sau khi khớp dẻo tại nút 1 hình thành
Bước 5: Phân tích đàn hồi với kết cấu thay đổi chịu tải trọng quy chuẩn (hình b.5)
-

Ma trận độ cứng ph n t
Ph n t 1: L =1.9 m
Ph n t 1 có khớp dẻo hình thành

đ u trái do đó ma trận độ cứng có dạng

3
3 
 3
0

3
3
 L
L1
L12 
 1

0
0
0 
 0
 K 1  EI   3 0 3  3 
 L13

Ta có được ma trận độ cứng tổng thể như sau:
0
0
0
0 
5.899 2.719 5.462 3.55

4.656 3.55 1.538
0
0
0
0 


10.924
0
3.55
0
0
0 


6.154 1.538
0
0
0 

 K   EI 
7.287 6.648 2.105
0 

0   v3  15.365
5.889 2.719 5.462 3.55

4.656 3.55 1.538
0
0
0
0   v4   0.296 


10.924
0
3.55
0
0
0   v5   9.73 
 



6.154 1.538
0
0
0   v6   0 

EI








 v6  1  12.792 





v
 8  EI  8.509 
 v9 
 2.889 




v10 
 1.139 
v 
 3.954 


 12 

Bước 6: Độ gia tăng nội lực trong các phần tử
-

Ph n t 1
 g1 

 0   8.492 
    0 

 




24.663 8.892 
 2.761  16.136 

Ph n t 2
 g3 
5.462 3.55 5.462 3.55 
 24663   1.365   5.508 
g 


3.077 3.55 1.538  1  2.761   0.296  16.136
 4

. 

  EI




5.462 3.55 EI 16.885  1.365   8.238 
 g5 

5.462

3.55
0
1.365
EI
7



 
  17.968 


 g8 
3.077 
 dx
 8.509  0.296 14.382 

-

Ph n t 4
 g7 
13.996 6.648 13.996 6.648 
 g 

4.211 6.648 2.105  1
 8



 g9 
13.996 6.648 13.996 6.648 
g 

4.211 6.648 2.105  1
 10 


EI
.



13.996 6.648 EI
 g11 


g12 
4.211 
 dx

-

-

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

 2.889   0.998   7.57 
1.139  0.158   6.244 



4305.26  1080.3
 516.5
6.244

Trị số nh nhất của  xảy ra tại nút 2 với 2  87.138 . Do vậy khớp dẻo thứ hai sẽ
xảy ra tại nút 2

Bước 7: Phóng đại các độ gia tăng chuyển vị và nội lực trong các phần tử
ộ gia tăng chuyển vị và nội l c nút ph n t
giai đoạn này ác định bằng cách nhân
kết quả trong ước 5 và 6với hệ số 2  81.16 . hi đó ta có
-

Chuyển vị
 v3 
 24.663
 2149.1
 v 
 2.761 
 240.6 
 4




 v5 
16.885
1471.3




v10 
 1.139 
 99.2 
v 
 3.954 




 344.6 
 12 

-

ia tăng nội l c ph n t 1
 g1   8.492 
 740.01 
g   0 


 2 

 0 


87.138



  87.138  

 g5   8.238 
 717.81 
g6   7.201 
 627.49 

-

ia tăng nội l c ph n t 3
 g5   15.238
 1327.78
g   7.201 


 6 

 627.49 


87.138


 



g 7   17.968 
 1565.66 
 g8  14.382

 10  

 544.05 


87.138


 



 g11  5.575
485.76 
g12   0 
 0 

Bước 8: Độ tích lũy chuyển vị và nội lực trong các phần tử
-

Chuyển vị
 v3 
 3436.3
v 
1335.8
 4


 v5 
2916.5

5585.4 
 240.6 
1576.4 




1471.3
 4387.8 




 1114.7  1  3044.9 




741.4

 EI  2286.3 
 251.7 
 760.1 




 99.2 
 314.4 
 344.6 


 g3   327.4   479.92   807.4 
 g  2899.2 1406.02  4305.26
 4 
 
 

 



 g5   1130.7   717.81   1848.5 
 g 6   1951.4   627.49   2578.9 

-

Nội l c ph n t 3
 g5   3190.3  1327.78  4518.1
 g  1951.4   627.49  2578.9
 6 
 
 

 



 g7   3993.6   1565.66   5559.3 
 g8  2718.2 1253.24 3971.4


 g12   0   0   0 

Bước 9: Khớp dẻo hình thành tại nút số 2, kết cấu thay đổi như hình vẽ
7kN

14kN

2.1kN.m

K
1,9m

1

1,3m

5

3
1

2
4

2
1,9m

1,3m

7

Ph n t 1: L =1.9 m
Ph n t 1 có hai khớp dẻo hình thành

hai đ u do đó ma trận độ cứng có dạng

23


TIỂU LUẬN CƠ KẾT CẤU NÂNG CAO

GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

0
0
 K 1  EI 0

0

-

Ph n t 2 có một khớp dẻo hình thành

 K 2

 K 2
-

 3
 L3
 2


đ u trái do đó ma trận độ cứng có dạng
0 
0
0

3
L23

0
3
L23

0 

3
L2 2

3 
L2 2 

0 

3 
 2
L2 

3 
L2 


0
0 
1.775 3.55
0
0
0 
5.385 1.538
0
0
0 

1.538 7.287 6.648 2.105
0 
0
6.648 27.992
0
6.648 

0
2.105
0
8.421 2.105
0
0
6.648 2.105 4.211

ectơ tải tổng thể

P



GVHD: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

1.775
0
0
0
0   v3  15.365
1.775 3.55
0
0
0   v5   9.73 
5.385 1.538
0
0
0   v6   0 
 


1.538 7.287 6.648 2.105
0   v8    0.138 
0
6.648 27.992
0
6.648  v9   1.995 
 


0
2.105

v 


 16.15 
 12 

Bước 11: Độ gia tăng nội lực trong các phần tử
-

Ph n t 1
 g1 
g 
 2

0
 g3 
g 4 

-

Ph n t 2
 g3 
 1.365
g 
 0
 4

  EI 
 1.365


Ph n t 3
 g5 
5.462 3.55 5.462 3.55 
78.025  1.365   23.73
g 


3.077 3.55 1.538  1  80.071   0.296   20.27 
 6

. 

  EI




5.462 3.55 EI  0   1.365   26.46 
g 7 


 g8 
3.077 
 dx
 32.899  0.296  52.89 

-

Ph n t 4
 g7 

4.187  0.158 25.50

Ph n t 5
25