Abstract: This paper presents a new approach to
compute the effective union bound for Serial Concatenated
Convolutional Codes (SCCC). Simulation results prove that
the new effective union bound is very close to the
performance of SCCC with Enhanced Max-Log-MAP
decoding in high E
b
/N
0
region (floor region). Then the
paper proposes an algorithm for designing the interleaver
that has a near-optimum effective union bound. Simulation
results show that the performance of the new interleaver
has been significantly improved as compared to other
known interleavers.
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Mã Turbo và mã chập liên kết nối tiếp (SCCC)
được phát minh lần đầu tiên tại [1], [2] gồm các mã
chập liên kết song song và nối tiếp nhờ bộ đan xen bit
(interleaver) với thuật toán giải mã lặp có chất lượng
tiến tới cận Shannon. Chất lượng của mã SCCC kém
hơn so với mã Turbo tại vùng E
b
/N
0
nhỏ, nhưng tại
vùng E
b
/N
0

÷10
-11
(Bit Error Rate) và có thể đánh giá
được bằng đường biên hiệu dụng. Trong lúc đó, các
bộ đan xen tốt khác như S-Random vùng "floor"
thường xuất hiện tại BER<10
-8
÷10
-9
.
II. MÃ HÓA VÀ GIẢI MÃ LẶP MÃ SCCC
Xét cấu trúc bộ mã hóa SCCC được mô tả như trên
hình 1. Chuỗi tin đầu vào được mã hóa bởi bộ mã
vòng ngoài G
out
, đầu ra của nó được hoán vị bởi bộ
đan xen π và đưa tới bộ mã vòng trong G
in
. Giả thiết
tốc độ mã hóa thành phần (vòng trong R
in
và vòng
ngoài R
out
) là 1/2, thì tốc độ mã hoá của SCCC sẽ là
1/4. Chuỗi đầu ra của bộ mã vòng trong có thể loại bỏ
xen kẽ (puncture) để đạt tốc độ tùy ý và truyền qua
kênh tạp âm trắng cộng tính Gaussian AWGN
(Additive White Gaussian Noise) với điều chế được
giả thiết là BPSK lý tưởng. Bộ giải mã lặp mã SCCC

. Thuật toán giải mã lặp Enhanced Max-Log-
MAP cũng có thể sử dụng cho mã SCCC như trên
hình 2 trong đó xác suất tiên nghiệm của bộ giải mã
vòng ngoài được nhân với hệ số SF.
Xét mã SCCC có bộ mã vòng trong và vòng ngoài
đều là mã RSC G
in
= G
out
= [1,5/7]
octal
, bộ đan xen có
kích thước N=256. Đầu ra của bộ mã hóa vòng trong
được loại bỏ xen kẽ theo mẫu chu kỳ P= [1 1 1 0] (bit
tại vị trí P(i)=0 sẽ bị loại bỏ) nên R
in
=2/3, tốc độ mã
hóa của SCCC là 1/3. Hệ số SF=0.55 của thuật toán
giải mã lặp được
chọn tối ưu bằng mô
phỏng trong khoảng
0÷1 với bước nhảy
0,01. So sánh BER
và tỷ lệ lỗi khung
(Frame Error Rate)
FER với các thuật toán
giải mã thành phần
khác nhau được mô tả
trên hình 3, 4 với số
lần lặp là 72. Ta nhận Hình 2. Bộ giải mã SCCC
Hard
decision

Đầu vào
mềm
SISO
i
LLR
SISOo
L(u;I)
L(c;I)
L(c;O)
L(u;O)
L(u;I)
L(c;I)
L(c;O)
L(u;O)
0
SF

Giải đan
xen π-1
Đan xen
π


NR N
∈
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑

và

k
kb
F
cC
0
2d RE
PQ
N
∈
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑
(1)
với N là kích thước của bộ đan xen, w
k
là trọng số

⎝⎠
∫
(2).
Đường biên tổng (1) của mã SCCC không thể tính
được với các máy tính hiện nay do phải xem xét toàn
bộ
−
out
NR
21
chuỗi tin C đầu vào có trọng số khác "0".
Để đơn giản hơn, chúng ta chỉ xét các thành phần có
ảnh hưởng lớn trong tổng (1) là các thành phần tạo ra
trọng số nhỏ tại đầu ra của bộ mã hóa vòng ngoài.
Tổng của các thành phần này được gọi là đường biên
hiệu dụng. Đường biên này tại vùng E
b
/N
0
đủ lớn là
khá sát với thực tế (theo thực nghiệm hoặc mô phỏng)
nên có thể sử dụng để ước lượng BER (FER) tại vùng
này
Do mã vòng trong là RSC nên trọng số đầu ra là d
in

= d
out
+ p
in

*
được bắt đầu từ vị trí i (hình
5.a, 5.b), C và D là tập hợp các lỗi cụm có trọng số
d
out
≤ d
*
gồm n các lỗi đơn có trọng số d
**
(hình 5.c,
5.d với n=2). Tổng (1) có thể ước lượng là:

out
i
k
ii
NR
kkb
b
i1
c
out 0
w2dRE
PQ
NR N
=
⎛⎞
≅
⎜⎟
⎜⎟

D có trọng số thông tin đầu vào
i
k
w
, trọng số đầu ra
tương ứng
i
k
d
. Để ý rằng nếu bộ mã hóa vòng ngoài
có sử dụng kết thúc trạng thái bằng m bit đuôi (m là
số lượng trạng thái), các thành phần liên quan đến B,
D trong tổng (3) được bỏ qua do B, D chỉ chứa các
mẫu lỗi chưa kết cuối.
Gọi U
j
là tập hợp các chuỗi tin mà tại thời điểm j
trên lưới không kết thúc trạng thái có trọng số d≤d
*
-
d
0
. Trong đó d
0
là trọng số nhỏ nhất của các nhánh kết
nối tới trạng thái "0", với mã RSC=[1,5/7]
octal
ta có
d
0

.
Với một lỗi cụm gồm n lỗi đơn, ta có trọng số d
n

của một mẫu lỗi sẽ thỏa mãn d
n
≥ n d
out
free
. Giả thiết
n=2, các cụm lỗi đơn có trọng số tối thiểu cần phải
tính toán là d
**
= d
*
- d
out
free
. Ví dụ với mã vòng ngoài
RSC=[1,5/7]
octal
có d
out
free
= 5, d
*
= 12, ta có 255 mẫu
lỗi thuộc A, d
**
=7 và số lượng mẫu lỗi đơn cần phải

(N là kích thước của bộ đan xen). Bộ
S-Random có khả năng loại bỏ các sự kiện lỗi đơn
trọng số thấp tại đầu ra của bộ mã hóa vòng ngoài để
chúng không tạo ra mẫu lỗi có trọng số thấp tại đầu ra
bộ mã hóa vòng trong. Bộ đan xen S-Random chỉ tính
đến các lỗi đơn ngắn
chưa xem xét đến các
mẫu lỗi cụm và mất
nhiều thời gian thi
ết
kế trên máy tính mà
khó thành công.
Bộ đan xen tương
quan CDI
(Correlation
Designed Interleaver)
tối ưu hệ số tương
quan giữa các đầu
vào các bộ giải mã
SISO [7], [8] đã được
nghiên cứu ứng dụng
cho mã Turbo với chỉ
tiêu thiết kế là:

(
i1
c
j
jM,m1
(i) arg min eHình 6. Các mẫu lỗi đơn U(j) (đường đậm)
NR
out
1
d ≤ d
*

a) Các mẫu lỗi thuộc A
state
"
0"
1
b) Các mẫu lỗi thuộc B
d ≤ d
*

state
"
0"
i
i
NR
out
1
c) Các mẫu lỗi thuộc C
state

2
1
0
Trạng thái
j
1 2 3

j+1
d
0
chất lượng tại vùng "floor". Tương tự, kết hợp chỉ tiêu
S-Random, chỉ tiêu tương quan, và cận tối ưu đường
biên hiệu dụng, ta có chỉ tiêu thiết kế mới cho mã
SCCC là:

()
design
i1
c(m)jim
j
j
jM,m1
P(i) P
(i) argmin K e (6),
−
−π −+−
∈=

thỏa mãn P(i)< P
design
. Bộ đan xen mới cho mã SCCC
cũng được gọi là MEUB với thuật toán thiết kế trên là
gần tối ưu.
Xét bộ mã SCCC có cấu trúc như mục trên, kích
thước bộ đan xen N=256, không kết thúc trạng thái bộ
mã vòng ngoài và giới hạn trọng số lỗi đầu vào bộ mã
hóa vòng ngoài d
*
=12, d
n
=7, ta có thể thiết kế một bộ
đan xen có đường biên hiệu dụng như hình 7,8. Với
các mẫu lỗi đã xác định, ta cũng dễ dàng tính được
khoảng cách hiệu dụng là d
free.eff
=32.

Sử dụng chương
trình tính d
free
của Gallero [10] ta cũng có d
free
= d
free.eff

=32 nhưng sử dụng phương pháp hạn chế các mẫu lỗi
cho phép độ phức tạp giảm đáng kể. So sánh với bộ
đan xen S-Random trên hình 7,8 ta cũng nhận thấy