Nội dung

Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen


1. Vật rắn quay quanh trục cố định
a. Định luật 2 cho chuyển động quay
b. Momen quán tính đối với trục quay
c. Momen lực đối với trục quay
d. Động năng và công trong chuyển động
quay
2. Chuyển động lăn không trượt
3. Bài tập

1a. Định luật 2 cho chuyển động quay

1b. Momen quán tính của vật đối với trục quay

Vật rắn

Định lý momen động:

Lz = I zω

Iz: momen quán tính
của vật đối với z
ω: vận tốc góc

dL
=τ

tới trục quay z


1c. Momen lực đối với trục quay
߬௭ = ෍ ߬௜௭

Bài tập 1.1

Dấu + khi lực Fi quay
vật theo chiều dương

௜

tổng theo các
momen lực τiz

߬௜௭ = ±݈௜ ‫ܨ‬௜

(N.m)

Tìm momen quán tính của một vành tròn
đồng nhất khối lượng M, bán kính R đối với:
(a) trục đối xứng của vành,
(b) trục song song với trục đối xứng, đi qua
một điểm trên vành tròn.

Khoảng cách từ lực
Fi tới trục quay z

Trả lời bài tập 1.1

ròng rọc đối với trục
quay, cho T1 = 5 N, R1
= 1 m, T2 = 15 N và R2 =
0,5 m.
(b) Ròng rọc sẽ quay
theo chiều nào?


Bài tập 1.3

Trả lời bài tập 1.2

Xét hệ như hình vẽ.
Mỗi ròng rọc có
momen quán tính I
và bán kính R.
Tìm gia tốc của mỗi
vật và các sức căng
dây.

+

τ z = −R1T1 +R2T2

m1

m2

= −1 × 5 + 0,5 × 15 = 2,5 N .m


R

Iα = R (T1 − T ′ )
Iα = R (T ′ − T2 )

T1

T2

Trả lời bài tập 1.3 - 2
• Hai vật có gia tốc bằng nhau:
a1 = a2 ≡ a
• Dây không trượt nên vận tốc của một điểm
trên vành ròng rọc = vận tốc vật:
⇒ αR = a
ωR = v
• Ta có hệ phương trình sau:
(1)
m1a = m1 g − T1
m2a = T2 − m2 g
(2)
Ia R 2 = T1 − T ′
(3)
(4)
Ia R 2 = T ′ − T2


Trả lời bài tập 1.3 - 3

1d. Động năng và công

I
m1 + m2 + 2 2
R

θ1

• Thế gia tốc a vào (1), (2) và (3) ta có các sức
căng.

Một thanh dài L, khối
lượng m có thể quay
không ma sát quanh một
trục ngang đi qua O.
Thanh được thả không
vận tốc đầu khi đang nằm
ngang. Tìm:
(a) vận tốc góc khi thanh
ở vị trí thẳng đứng,
(b) vận tốc khối tâm ở vị
trí đó.

1
K = Iω 2
2

r

P = τ zω

Bài tập 1.4

⇒ ω=
mL2
I=
3

mgL
I

ω=

3g
L

y

4b. Trả lời bài tập 4.1 - 3
• Giữa vận tốc dài của
một chất điểm của vật
rắn quay và vận tốc góc
có hệ thức:
v = ωr
• r là khoảng cách từ chất
điểm đến trục quay.
• Với khối tâm thì r = L/2:
vCM = ω

Bài tập 1.5
Ròng rọc có bán kính R và
momen quán tính I đối với
trục quay. Lúc đầu hệ được

∆K =  m1 + m2 + 2  v 2
2
R 

v


Trả lời bài tập 1.5 (tt)

2a. Chuyển động lăn của vật rắn

• Độ biến thiên thế năng của hệ là:

• Khối tâm của bánh xe lăn có chuyển động
tịnh tiến.
• Nhưng mỗi điểm trên vành bánh xe lại có
quỹ đạo cycloid.

∆U g = m1 gh − m2 gh

• Suy ra:

(

)

∆E = 12 m1 + m2 + I R2 v 2 + ( m1 − m2 ) gh = 0
v=

2( m2 − m1 ) gh


Vật lăn không
trượt

ω

ω
r

r

v

ω

s = rθ

v: vận tốc CM
r

vCM = r ω

v

v: vận tốc dài

v: vận tốc vật treo


2c. Kết hợp tịnh tiến và quay (tt)


v

• Mỗi điểm trên vành có
vận tốc quay vrot = ωr.
• Ở vị trí thấp nhất:
v = vCM − vrot = 0
• Ở vị trí giữa:
2
CM

v= v

+v

2
rot

= ωr 2

• Ở vị trí cao nhất:

‫ݒ‬Ԧ rot

v = vCM + vrot = 2ωr

Bài tập 2.1
Một quả cầu khối
lượng M và bán kính
R lăn xuống một mặt

∆K = MvCM
+ Iω
2
2

vCM
1 
I  2
⇒ ∆K = M  1 +
vCM
R
2 
MR 2 
• Độ biến thiên thế năng:
ω=

∆U = Mg∆yCM = − Mgh
1 
I  2
⇒ ∆E = M  1 +
vCM − Mgh = 0
2 
MR2 
vCM =

Trả lời bài tập 2.1 - 3
• Với mọi vật lăn ta có:
vCM =

2 gh

Trả lời bài tập 2.2 - 1
• Dùng định luật
Newton cho
• khối tâm trên trục x:
MaCM = Mg sinθ − f s

2

Trả lời bài tập 2.2 - 2
• Suy ra hệ phương trình:

N
+

fs

• và cho quả cầu quay:
Iα = f s R

mg

x

aCM =

• Do lăn không trượt:
α=

MaCM = Mg sinθ − f s


Bảo toàn cơ năng: mgh = K

⇒h=

1
Khối vuông: K 1 = mv 2
2
1
1
Quả cầu: K 2 = mv 2 + Iω 2 > K 1
2
2

K 2 > K 1 ⇒ h2 > h1

Quả cầu lên cao hơn

K
mg


Trả lời BT 3.2

BT 3.2
Một hình trụ đặc và một vành tròn có cùng
khối lượng và bán kính, được thả cùng một lúc
và lăn không trượt xuống một mặt nghiêng.
Vật nào lăn hết mặt
nghiêng trước?



Trả lời BT 3.4

Xét hai đĩa giống nhau. Hai vật nặng giống nhau
được thả từ cùng một độ cao. Ngay trước khi
hai vật nặng chạm đất, đĩa nào có động năng
quay lớn hơn?
b)

a)

h
Mặt đất

• Bảo toàn cơ năng cho hệ vật + đĩa:
1
1
mgh = mv 2 + Iω 2
2
2

v=

ω
R

= Kquay

1 2  mR 2
mgh