Nội dung
1. Động học
2. Động lực học chất điểm

Bài tập Cơ học – Phần 1
Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen


1.1
Một chất điểm chuyển động trên trục Ox theo
chiều dương, bắt đầu từ O với vận tốc 2m/s.
Gia tốc có biểu thức a = −v/2 (m/s2). Tìm biểu
thức vận tốc theo thời gian t.

Trả lời 1.1
• Từ đề bài và định nghĩa của gia tốc:

dv
v
=−
dt
2

• Chuyển v sang vế trái, dt sang vế phải:
dv
1
= − dt
v
2
• Tích phân hai vế từ t = 0 đến lúc t bất kỳ, để

dt
• Chuyển dt sang vế phải rồi lấy tích phân từ t
= 0 đến lúc t bất kỳ, để ý điều kiện ban đầu:
x (t )

t

∫ dx = ∫ dt
0

0

y(t )

t

⇒ x (t ) = t
t

∫ dy = ∫ x (t ) dt = ∫ tdt
0

0

0

• Khử t: y = x 2
2

1.3

t

dv x = − ∫ dt

⇒ vx (t ) = 3 − t

0
t

dv y = −0,5∫ dt

⇒ v y ( t ) = −0,5t

0

• Theo đó vx sẽ giảm dần, bằng 0 lúc t = 3, rồi
hạt sẽ chuyển động ngược lại theo chiều âm.


Trả lời 1.3 (tt)
• Vậy lúc t = 3 thì x đạt giá trị cực đại.
• Lúc đó:
v x = 0; v y = −1,5
v ( t = 3) = −1,5 j ( m s )

Trả lời 1.4
dv
= 2 − 8x
dt
• Ở đây ta cần biết sự phụ thuộc của v vào x,

hãy tìm biểu thức của vận tốc canô theo quãng
đường s đi được từ lúc tắt máy.


Hướng dẫn 1.5

1.6

• Dùng định luật 2 Newton để tìm gia tốc, sau
đó làm tương tự như câu 1.4, ta có kết quả:

Một chất điểm chuyển động trên đường tròn
với vận tốc đầu bằng không và gia tốc góc
không đổi β = 2 (rad/s2). Lúc t = 1 (s) thì chất
điểm có vận tốc v = 4 (m/s). Tìm bán kính
đường tròn.

v ( s ) = v0e

k
− s
m

Trả lời 1.6

Trả lời 1.6 (tt)

• Liên hệ giữa quãng đường và góc quay: s = Rθ
• Lấy đạo hàm theo thời gian:



v (t )
βt
• Lúc t = 1 (s) thì v = 4 (m/s), do đó:
R=

(1)

R=

v (t = 1) 4
= = 2( m )
2× 1
2


1.7
Một vật được ném ngang từ trên cao. Vận tốc
vật khi chạm đất hợp với phương ngang một
góc 60° và có độ lớn 30 (m/s). Lấy g = 10
(m/s2) và bỏ qua sức cản của không khí. Tìm
bán kính cong của quỹ đạo tại điểm chạm đất.

Trả lời 1.7

• Lúc chạm đất, gia tốc
tiếp tuyến hợp với
phương ngang một góc
α = 60°,


gia tốc góc của bánh xe và số vòng nó quay
được trong thời gian 1 phút ấy.

• Từ biểu thức của gia tốc góc: dω = β dt
• Chọn t = 0 lúc vận tốc góc bằng 300 (v/ph),
tích phân từ t = 0 đến lúc t bất kỳ:
ω (t )

t

∫ dw = β ∫ dt
ω0

⇒ ω ( t ) = ω0 + β t

0

• Suy ra gia tốc góc: β = (ω ( t ) − ω0 ) t
• Lúc t = 60 (s) thì ω = 180 (v/ph), do đó:
β=

(180 − 300) × (2π
60

60)

(

= −0,21 rad s 2


bên trái (T).

0

• Suy ra góc quay sau thời gian t:
θ ( t ) = ω0t + 12 β t 2
• Thay t = 60 (s) ta được:

a

C. chuyển động chậm dần về
bên phải (P).
D. chuyển động nhanh dần về
bên phải (P).

θ = 480π ( rad ) = 240( vong )

Trả lời 1.9
• Gia tốc tiếp tuyến ngược
chiều với vận tốc: vật
chuyển động chậm dần.
• Vận tốc ở M hướng sang
phải.
• Kết luận: Vật sẽ chuyển
động chậm dần về bên phải
(P).
• Trả lời: D

1.9


y


Trả lời 1.10
• Chọn t = 0 lúc vật bắt đầu rơi ở độ cao h :
y ( t ) = y0 + ( v0 sinθ )t + 12 gt 2

• Sau thời gian T + 2 vật rơi quãng đường h:
2

h = 12 g (T + 2)

Trả lời 1.10
• Giải hệ (1) và (2) ta được:
T = 2( s )
h = 80( m )

(1)

• Sau thời gian T vật rơi một quãng h − d:
h − d = 12 gT 2

(2)

1.11

Trả lời 1.11

Cho hai vật A và B rơi tự do từ cùng một độ
cao, vật A rơi trước vật B. Cho g = 10 (m/s2).

Một chất điểm chuyển động với phương trình:
‫ = ݔ‬3‫ ݐ‬ଶ − 4‫ ݐ‬ଷ ⁄3 , ‫ = ݕ‬8‫ݐ‬. Xác định bán kính
cong quỹ đạo của chất điểm lúc t = 2s.

௩

௧

න ݀‫ = ݒ‬න ݃݀‫ݐ‬
଴

⇒ ‫ ݐ ݃ = ݒ‬+ ‫ݐ‬଴

ି௧బ

௬

௧

௧

ି௧బ

ି௧బ

න ݀‫ = ݕ‬න ‫ = ݐ݀ݒ‬න ݃ ‫ ݐ‬+ ‫ݐ‬଴ ݀‫ ݃ = ݐ‬න
଴

‫=ݕ‬


‫ = ݔ‬ଶ
݀‫ݕ‬
݀‫ݕ‬

Trả lời 1.12 - 2
Áp dụng cho (1) ta được:

ᇱ

Thay t = y/8 vào biểu thức của x ta có phương
trình quỹ đạo:
1 ଷ
3 ଶ
‫ ݕ‬−
‫ ݕ‬1
‫=ݔ‬
64
384

ܴ=

3‫ݕ‬
‫ݕ‬ଶ
1+
−
32 128
‫ݕ‬
3
−
32 64

‫ݕ‬′′

ଷ⁄ଶ

,

݀‫ݕ‬
݀ଶ ‫ݕ‬
ᇱᇱ
‫= ݕ‬
‫ = ݕ‬ଶ
݀‫ݔ‬
݀‫ݔ‬
ᇱ

Kết quả: a) R = 1/2c

2.1
Cho cơ hệ như hình vẽ. Hệ
số ma sát giữa m và M,
giữa M và sàn là k. Để M
chuyển động đều trước khi
m rơi khỏi nó, thì F phải
thỏa:
A. F = kMg
B. F = k(M+m)g
C. F = kmg
D. F = k(M+2m)g

F

mg


Trả lời 2.1 - 2
• Dùng định luật 2 Newton
trên phương x, y cho hai
vật, lưu ý là m đứng yên:
Ma = F − k ( N1 + N2 )
(1)
(2)
0 = N1 − Mg − N2
(3)
0 = kN2 − T
(4)
0 = N2 − mg
• Từ (1), (2) và (4) ta
được:
Ma = F − k ( M + 2m ) g

Trả lời 2.1 - 3
f2

N1
N2

F

f1
Mg


0 = F − mg sinα − kmg cosα (1)

• Lưu ý: f = kN = kmgcosα

Trả lời 2.1
y
x

N

F

f
α

mg


Trả lời 2.1 (tt)

2.3

• Ngược lại khi vật trượt
xuống ta có:

y

ma = mg sinα − kmg cosα (2)

x

• F cực tiểu:
dF
= 0 ⇒ β = arctan k
dβ

Vật m được kéo trượt đều
như trên hình vẽ. Hệ số
ma sát giữa m và mặt
nghiêng là k. Để F là nhỏ
nhất thì góc β phải thỏa
điều kiện nào sau đây?
A. β = arcsink
B. β = arccosk
C. β = arctank
D. β = arccotk

F
β

α

2.4
y
x
F
β

N
f
α

N
A
mg

α

⇒ A = g tanα

2.5
Một vật khối lượng m có
thể trượt không ma sát
trên mặt nghiêng của một A
nêm. Nêm trượt sang trái
với gia tốc không đổi A.
Gia tốc A phải thỏa điều
kiện gì để m đứng yên đối
với nêm?

• Cũng có thể xét hệ quy
chiếu mặt đất.
• Khi m đứng yên đối với
nêm, gia tốc của m đối
với mặt đất cũng là A,
• do đó định luật 2
Newton trên phương x
cho ta:
mA cosα = mg sinα

• Trong hqc nêm m có gia
tốc bằng không, và chịu

không đủ để tạo cân
bằng: m trượt xuống.

Trả lời 2.4 (tt)

x

Trả lời 2.4

−m‫ܣ‬Ԧ
mg

α


Trả lời 2.5 (tt)
y
N
−m‫ܣ‬Ԧ
mg

m
a= g
2M + m
• Khi m ép vào M một lực, thì M tác
động ngược lại một lực trực đối,
đó chính là phản lực vuông góc N.
• Để tìm N, ta dùng định luật 2
Newton cho m. Trả lời: 4 (N)


• Ngược lại, vật sẽ rơi
khỏi nêm khi:
A ≥ g cot α

Tip 2.6
N
mg
y

M

4 (N)
5 (N)
6 (N)
0 (N)

m
M

2.7
Cho cơ hệ như hình vẽ. Hệ
số ma sát giữa vật m và bề
mặt thẳng đứng của khối
vuông là k = 0,1. Cho g = 10
(m/s2).
Để m không trượt xuống,
cần cho khối vuông chuyển
động sang phải với gia tốc A
tối thiểu là bao nhiêu?


⇒N≥
⇔ A≥
Amin = 100 m s 2
k
k

(

m1

• l không đổi vì dây
không co dãn, vì vậy
nếu lấy đạo hàm hai lần
biểu thức trên theo thời
gian ta được:
d 2 y0
d 2 y1 d 2 y2
0 = 2 + 2 −2 2
dt
dt
dt

Trả lời 2.8 (tt)
O
2
y0
y1
y2

⇔ 0 = a1 + a2 − 2a0

từ đỉnh một ngọn đồi
hình bán cầu không
ma sát. Giả sử vận tốc
ban đầu của xe là
không đáng kể.
Hãy tìm góc θ ứng với
khi xe bắt đầu rời khỏi
ngọn đồi.

• Định luật 2 trên
phương pháp tuyến ở
vị trí có góc lệch θ:

θ R

v2
m = mg cosθ − N
R

v2 
N = m  g cosθ − 
R

• v tăng dần, do đó N
giảm dần.
• Khi N = 0 thì vật bắt
đầu rời khỏi ngọn đồi.

Trả lời 2.9 - 2
• Khi đó:


• Lúc ấy độ cao tính từ đỉnh đồi là:
 2 R
h = R1 −  =
 3 3

N

θ R
mg


2.10
Cho hai lực:

Trả lời 2.10
dW1 = ydx

(

)

F1 = yi

dW2 = xdx + ydy = 12 d x 2 + y 2

F2 = xi + yj

W1 = ∫ ydx


∆ ( K + U g ) = Wms
∆K = − 12 mv02
∆U g = mgh = ( mg sinα ) s

s
v0

α

• Công lực ma sát:
Wms = − fs = −kNs = −k ( mg cosα ) s
v02
s=
2 g ( sinα + k cosα )

h


2.12

Trả lời 2.12 - 1

Thế năng của một hạt trong
một trường lực nào đó có
dạng ܷ = ܽ/‫ ݎ‬ଶ − ܾ/‫ݎ‬, với
a, b là những hằng số dương
và r là khoảng cách từ tâm
của trường.
a) Tìm vị trí cân bằng của
hạt,


còn ở khoảng cách

với lực hút cực đại.

Fr là hình chiếu của ‫ܨ‬Ԧ trên phương ‫ݎ‬Ԧ (F = |Fr|).

rm được xác định từ
Lực đẩy

với a = 0.5, b = 5.

Khoảng cách rm ứng

‫ܨ‬Ԧ . ݀‫ݎ‬Ԧ = ‫ܨ‬௥ ݀‫ = ݎ‬−ܷ݀

→ ‫ܨ‬௥ = −

Giản đồ của Fr ứng

lớn là lực hút (Fr < 0).

2ܽ
ܷ݀ 2ܽ ܾ
= ଷ − ଶ = 0 → ‫ݎ‬଴ =
‫ݎ‬
ܾ
݀‫ݎ ݎ‬
Công của lực thế bằng độ giảm thế năng: