Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Lí do chọn đề tài:
Toán học ngày nay giữ một vai trò quan trọng đối với cách mạng khoa học kỹ thuật.
Nó ngày càng thu hút sự quan tâm của nhiều người đối với việc học toán ở trường phổ
thông và kích thích sự ham muốn của học sinh ở mọi lứa tuổi. Toán học giúp cho học sinh
dần hình thành và phát triển được sự linh hoạt, sáng tạo và tư duy trừu tượng. Học toán
giúp con người nâng cao trình độ tính toán, giúp khả năng tư duy logic, sáng tạo ngày
càng nâng cao và phát triển. Khi học toán là qua hoạt động giải bài tập giúp học sinh nâng
cao dần khả năng suy luận, đào sâu, tìm hiểu và trình bày các vấn đề một cách logic.
Là một giáo viên dạy toán lớp 7 tôi nhận thấy đa phần học sinh lớp 7 từ việc tiếp thu
kiến thức về lý thuyết, định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để vận dụng kiến thức đã học vào việc giải bài tập vẫn còn lúng túng nhiều. Từ việc
tìm ra hướng giải quyết đến việc thực hiện các bước giải, kể cả những bài tương đối bình
thường đến những bài toán khó.
Hơn nữa bản thân tôi nhận thấy kiến thức về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau khá quan trọng không chỉ ở lớp 7 mà còn gặp ở các bài toán tìm độ dài đoạn thẳng,
tìm cạnh của một tam giác trong các bài toán tam giác đồng dạng ở lớp 8-9…
Chính vì vậy sau khi học xong kiến thức về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau,
tôi đã trực tiếp khảo sát học sinh hai lớp 7A3, 7A4 do tôi trực tiếp giảng dạy về kiến thức
liên quan đến tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số bằng nhau và thấy kết quả như sau:
Lớp

Số HS được
khảo sát

Số học sinh

Số HS biết hướng nhưng


21

7A4

33

3

9,1

7

21,2

23

%
61,7
69,7

Đây là một kết quả mà tôi không thể không suy nghĩ, trăn trở và băn khoăn. chính vì
thế nên tôi đã đi sâu vào nghiên cứu đề tài này nhằm tìm ra một số phương pháp giải để

GV: Nguyễn Thế Vinh

1


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7


GV: Nguyễn Thế Vinh

2


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

chuyển tải kinh nghiệm để dạy tốt là điều trăn trở của nhiều giáo viên. Việc truyền thụ
kiến thức sẽ trở nên hấp dẫn học sinh hơn nếu giáo viên hiểu ý đồ của sách giáo khoa,
giúp học sinh nắm kiến thức một cách hệ thống, dẫn đắt học sinh đi từ điều đã biết đến
điều chưa biết.
Bên cạnh đó, việc khai thác, mở rộng kiến thức cũng giúp học sinh say mê học Toán,
phát huy khả năng tư duy sáng tạo của mình.
Chính suy nghĩ trên, bản thân tôi đã tìm tòi, sưu tập và hệ thống kiến thức, giúp học
sinh có những kinh nhgiệm giải toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
một cách nhẹ nhàng, đơn giản.
7. Cơ sở thực tiễn:

Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh, rèn ý
chí vượt qua mọi khó khăn.
Đứng trước một bài toán, học sinh phải có trong mình một vốn kiến thức cơ bản, vững
chắc về mặt lý thuyết. Có được những thủ pháp cơ bản thuộc dạng toán đó, từ đó mới tìm
cho mình con đường giải bài toán nhanh nhất.
Để học sinh có được điều trên thì trước hết phải xuất phát từ người thầy, người thầy
phải đầu tư soạn bài theo từng chuyên đề của dạng toán một cách cơ bản, sâu rộng, giúp
học sinh :
- Nhìn nhận từ một bài toán cụ thể thấy được bài toán khái quát
- Từ phương pháp giải khái quát thấy được cách giải một bài toán cụ thể
- Nhìn thấy được sự liên quan giữa các bài toán với nhau
- Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết cơ bản vào giải toán.


( Tích các ngoại tỉ bằng tích các trung tỉ)
+ Nếu ad  bc và a, b, c, d  0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:
a c a b d c d b
 ;
 ;
 ;

b d c d b a c a

( Hoán vị các trung tỉ, các ngoại tỉ, cả trung tỉ và ngoại tỉ ta sẽ được một tỉ lệ thức mới)
* Về tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
- Từ dãy tỉ số
*
*

a c e
a c
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 hoặc  
b d
f
b d

a c ac ac
 

b d bd bd

a c e

x y x  y 21
 

3 
2 5 25 7
 y  3.5  15

GV: Nguyễn Thế Vinh

4


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

b)

 x  2.2  4
x y x y
6
 

 2  
2 5 25 3
 y  2.5  10

VD2: Tìm x,y,z biết:
a)

x y z
  và x  y  z  18 ;

bằng các tỉ số đã cho để sử dụng đƣợc dữ kiện bài toán.
VD1: Tìm x, y biết:
a)

x y
 và 5 x  3 y  38 ;
2 3

b)

x y
 và 2 x  3 y  10
2 3

Ở đây học sinh sẽ băn khoăn vì không biết làm thế nào để áp dụng tính chất dãy tỉ số
bằng nhau.
Gợi ý: Vì bài cho điều kiện câu a) 5x  3 y  38 như vậy muốn sử dụng dữ kiện này thì
từ dãy tỉ số

x y

ta phải biến đổi sao cho xuất hiện tỉ số mới bằng tỉ số đã cho trong
2 3

đó các số hạng trên của nó có dạng 5 x và 3 y
Cách giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
a)

 x  2.2  4

49
5
 y  2.3  6

VD2: Tìm x, y,z biết:
a)

x y z
  và x  2 y  4 z  93 ;
3 4 5

b)

x y z
  và  2 x  y  3z  34
3 4 5

Tương tự ở trên chúng ta cũng phải biến đổi sao cho xuất hiện tỉ số mới bằng với tỉ
số đã cho để áp dụng được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
Cách giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
 x  3.3  9
x y z 2 y 4 z x  2 y  4 z  93




 3   y  3.4  12
a)   
3 4 5

Với a, b, c, d là các số cho trước và m  1; n  1; p  1
Phƣơng pháp giải nhƣ sau:
Từ

x y z
mx ny pz
  


a b c
ma nb pc

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số

mx ny pz


ta được
ma nb pc

mx ny pz mx  ny  pz
d




ma nb pc ma  nb  pc ma  nb  pc

Dạng 3: Từ dữ kiện bài cho rút ra đƣợc dãy tỉ số bằng nhau để áp dụng tính chất
dãy tỉ số bằng nhau giải.




x
y
=
15 20

y z
=
5 7



y
z
=
20 28

Do đó:

x
y
z 2x 3y 2x+3y-z 168
=
=
=
=
=
=


z = 3.28 = 84

Vậy: x = 45 ; y = 60 ; z = 84
VD2: Tìm x, y,z biết:
a)

x y y z
 ;  và x  2 y  4 z  92 ;
2 3 4 5

b)

x y y z
 ;  và  2 x  y  3z  47
2 3 2 5

Ta thấy VD2 này tương tự với VD1. Ta thực hiện tương tự:
Cách giải
a) Từ

x y
x y 
  
x
y
z
2 3
8 12 


8 12 15 8  24  60
92
 z  15


x y
x y 
   
x y
z
2 3
4 6 
  
y z
y
z
4 6 15
   

2 5
6 15 

b) Từ

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
x  4
x y
z  2 x  y  3z  47

 

Hay: +)

a
=7
6



a = 7.6 = 42

+)

b
=7
4



b = 7.4 = 28

+)

c
=7
3



c = 7.3 = 21




Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

Gợi ý: Ta nên ta chia các tỉ số đó cho BCNN của các hệ số của tử số
Cụ thể Câu a) ta chia các tỉ số đó cho BCNN(2;3;4)=12
Câu b) ta chia các tỉ số đó cho BCNN(2;5;3)=30
Cách giải:
a) Từ

2x 3y 4z
x
y
z





3
4
5
18 16 15

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
 x  2.18  36
x
y
z
x  2 y  4 z 220

z
 2 x  y  3z
216





 1   y  24
45 24 50  90  24  150  216
 z  50


VD5: Tìm x, y biết:
a) 5 x  7 y và x  2 y  51 ;

b) a.x  b. y (a  0, b  0, b  a) và x  y  b  a

Cách giải:
a) Từ 5 x  7 y 

x y

7 5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
 x  21
x y x  2 y 51
 



1 và 2 x  3 y – z  50
2
3
4
x  4 y 6 z 8
a.
và x +y +z =27


2
3
4

b.

Giải:
a. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x  4 y 6 z 8


2
3
4



x  4  y  6  z  8 x  y  z  18 27  18



4
9
4
2.2
3.3
4

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
2  x  1 3  y  2  z  3 2 x  2  3 y  6  z  3  2 x  3 y  z   2  6  3 50  5





5
4
9
4
494
9
9

Do đó:
x 1
 5  x  11
2

y2
 5  y  17
3

=
=…= 9
9
8
7
1
=
=
=

x1–1+x2–2+x3–3+…+x9–9
9+8+7+…+1

 x1  x2  ...  x9   1  2  ...  9 
9  8  ...  1
90  45
=1
45

Do đó:
+)

x1–1
=1
9



x1 = 9 + 1 = 10



Vậy: x1 = x2 = x3 = … = x9 = 10.
Dạng 4: Dạng bài tập có sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau mà phần điều kiện cho
thêm các biến có dạng luỹ thừa.
VD1: Tìm x,y biết:
a)

x y
 và x 2  2 y 2  22 ;
2 3

b)

x y
 và 2 x 2  3 y 2  19
2 3

Đến đây học sinh thấy ở phần dữ kiện bài toán có xuất hiện luỹ thừa của các biến.
Vậy phải biến đổi dãy tỉ số trên như thế nào để sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau?
GV: Nguyễn Thế Vinh

11


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

Gợi ý: Vì ở điều kiện bài cho x 2  2 y 2  44 có luỹ thừa bậc hai của cả x và y nên để
suất hiện hai luỹ thừa này ta có thể bình phương các tỉ số của dãy tỉ số đã cho lên.
Cách giải:
x y

 y  3

kết hợp với (1)  
b)

Ta có:

x y
x2 y2
 (1) 

2 3
4
9

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
2
x 2 y 2 2 x 2 3 y 2 2 x 2  3 y 2  19
 x  4  x  2





1  2
4
9
8
27
8  27



a) Từ   (1) 
3 4 5
9
16 25

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
 x 2  9  x  3

x
y
z
2y
4z
x  2 y  4z
141






 1   y 2  16  y  4
9 16 25 32 100
9  32  100
141
 z 2  25  z  5

2



b) Từ

x y z
x2 y2 z2
  (1) 


3 4 5
9
16 25

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
 x 2  9  x  3

x
y
z
2x
3z
 2 x  y  3z
 77






 1   y 2  16  y  4



Tổng quát lên với bài tập dạng: Tìm x,y,z biết

x y z
  và mx k  ny k  pz k  d
a b c

Với a, b, c, d , m, n, p, d , k là các số cho trước và k  N
Phương pháp giải như sau:
Từ

x y z
mx k ny k
pz k
  


a b c
ma k nb k
pc k

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số

mx k ny k
pz k


ta được:
ma k nb k

Chứng minh rằng:
a)

a b cd a b cd

;

;
b
d
a
c

b)

ab cd

ab cd

Cách giải:
GV: Nguyễn Thế Vinh

13


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

Từ

a c

c
ab ab
ab cd



cd cd
ab cd

VD2: Nếu

a c
 thì:
b d

a.

5a  3b 5c  3d

5a  3b 5c  3d

b.

a 2  b 2 ab

c 2  d 2 cd

GV: Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?
Giải:
a. Từ

d
c  d2

và từ

a c
a b
a a b a
a 2 ab
    .  .  2 
(2)
b d
c d
c c d c
c
cd

từ (1) và (2) suy ra

a 2  b 2 ab

(đpcm)
c 2  d 2 cd

Dạng 6: Dạng bài tập không sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau nhƣng học sinh
hay nhầm lẫn.
VD2: Tìm x,y,z biết:

GV: Nguyễn Thế Vinh


y  6

 x  4
x y z xyz  48


 2   y  6
b)   
2 3 4 24
24
 z  8


Tuy nhiên kết quả trên không được chấp nhận vì tính chất dãy tỉ số bằng nhau không
đúng đối với phép nhân. Vì vậy với dạng này các em nên giải như sau:
Cách giải:
a) Đặt

x y
  k  x  2k ; y  3k
2 3

Thay x  2k ; y  3k vào xy  24 ta được:
2k.3k  6k 2  24  k 2  4  k  2

-Với k  2  x  4; y  6
-Với k  2  x  4; y  6
b) Đặt

x y z

nghĩa là A : B : C = 2 : 3 : 4 hay
2 3 4
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
A B C A  B  C 1800
  

 200
2 3 4
23 4
9

Do đó: A  400 ; B  600 ; C  800

VD 2:
Một cửa hàng có 3 tấm vải, dài tổng cộng 126m. Sau khi họ bán đi
nhất,

1
tấm vải thứ
2

2
3
tấm vải thứ hai và tấm vải thứ ba, thì số vải còn lại ở ba tấm bằng nhau. Hãy
3
4

tính chiều dài của ba tấm vải lúc ban đầu .
Bài cho rất rõ ràng, dễ hiểu. Chỉ cần học sinh biểu diễn được số vải còn lại ở mỗi
tấm sau khi bán thì bài toán trở nên đơn giản và rất dễ dàng.

a= b= c.
2
3
4

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

GV: Nguyễn Thế Vinh

16


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

a b c a  b  c 126
= = =
=
=14
2 3 4 23 4
9

Do đó
a
=14  a = 14.3 = 28
2

+)

b
3


a  100 b c  100
= =
16
14
15

và a + b + c = 2250.

a  100 b c  100 a  100  b  c  100 2250
= =
=
=
=50
16
14
15
16  15  14
45

a  100
=50  a –100 = 50.16  a = 800 + 100 = 900 (t/m)
16

b
15

=50  b = 50.15 = 750

(t/m)

A  B là : x – 2 + 7 = x + 5

(h)

Vì cùng là quãng đường đi từ A  B nên ta có: 60,9.x = 40,6.(x + 5)


x
x5
=
40, 6
60, 9



x
x5
x5 x
5
50
=
=
=
=
40, 6 60, 9 60,9  40, 6 20,3 203



x
50

Chắc chắn nhiều học sinh không làm được bài toán này vì đầu bài rắc rối quá, vừa
tỉ lệ thuận lại vừa tỉ lệ nghịch thì làm như thế nào? Thật đơn giản, cứ làm bình
thường thôi:
Lời giải:
Gọi số tiền mỗi xí nghiệp I, II, III phải trả lần lượt là a, b, c (triệu đồng) với
0 < a, b, c < 38.
Theo bài ta có: a + b + c = 38 và a : b : c =

40 20 30
:

 8:2:9
1,5 3
1

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c a  b  c 38
  

2
8 2 9 8  2  9 19

+)

a
 2  a  2.8  16 (t/m)
8

+)


x
y
z
x+y+z
84
= =
=
=
= 120
1
1
1
1 1 1
21
+ +
3
5
6
3 5 6
30
Do đó

GV: Nguyễn Thế Vinh

19


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

x

2 3 5 4

c,

a b c
và a 2  b2  2c2  108 .
 
2 3 4

Bài 2: Tìm các s x, y, z bit rằng:
a,

x
y
z
và 5x + y - 2z = 28.
 
10 6 21

b, 3x = 2y ; 7y = 5z và x – y + z = 32.
c,

x y y z
 ;  và 2x – 3y + z = 6.
3 4 3 5

d,

2x 3y 4z
và x + y +z = 49.

lớp 7B

1
số học sinh, rút ở
4

1
1
số học sinh, rút ở lớp 7C
số học sinh thì số học sinh còn lại ở 3 lớp bằng
7
3

nhau. Tính số học sinh lúc đầu ở mỗi lớp.
Bài 4. Số học sinh 3 khối 6, 7, 8 tỉ lệ với 10, 9, 8. Tính số học sinh mỗi khối, biết rằng số
học sinh khối 8 ít hơn số học sinh khối 6 là 50 học sinh.
Bài 5. Học sinh lớp 7A chia thành 3 tổ lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 4. Tìm số học sinh mỗi tổ
biết lớp 7A có 45 học sinh.
Bài 6. Một trường có 3 lớp 6. Biết rằng
bằng

2
số học sinh lớp 6A bằng số học sinh lớp 6B và
3

4
số học sinh lớp 6C. Lớp 6C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh 2 lớp kia là 57
5

học sinh. Tính số học sinh mỗi lớp.

Bài 13.. Một người đi bộ từ A đến B đã tính rằng: Nếu đi với vận tốc 6 km/h thì đến B
lúc 11h 45phút. Nhưng người đó chỉ đi được

4
quãng đường với vận tốc dự định trước,
5

đoạn đường còn lại chỉ đi với vận tốc 4,5 km/h nên đã đến B lúc 12h. Hỏi người đó khởi
hành lúc mấy giờ và quãng đường AB bao nhiêu km?
Bài 14. Trên một công trường xây dựng có 3 đội công nhân làm việc. Biết rằng
công nhân đội I bằng

2
số
3

8
4
số công nhân đội II và số công nhân đội III; Số công nhân đội
11
5

I ít hơn tổng số công nhân đội II và đội III là 18 người. Tính số công nhân của mỗi đội.
Bài 15. Ba đội công nhân phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg hàng từ kho theo thứ tự đến
3 địa điểm cách kho 1500m, 2000m, 3000m. Hãy phân chia số hàng cho mỗi đội sao cho
khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển.
Bài 16. Ba công nhân tiện được tất cả 860 dụng cụ trong cùng một thời gian. Để tiện một
dụng cụ, người thứ nhất cần 5 phút, người thứ hai cần 6 phút, người thứ ba cần 9 phút.
Tính số dụng cụ mỗi người tiện được.
C. KẾT LUẬN

tôi hầu hết các em đều tìm ra hướng giải quyết và làm được hết bài tập mà tôi đã ra.
Trong đó một số em có tiến bộ rõ rệt. Ngoài bài toán trên các em còn có sưu tầm thêm các
bài toán liên quan đến tỷ lệ thức ở các sách nâng cao để làm.
Để một làn nữa khẳng định lại kết quả đã đạt được và khép lại phần tỷ lệ thức cũng là lúc
kết thúc của đề tài. Tôi đã tiến hành khảo sát lại và kết quả thật đáng mừng như sau:
Lớp

Số HS được

Số học sinh giải

Số HS biết hướng nhưng

Số HS không thể

khảo sát

được

không giải được

giải được

SL

%

SL

%


18.1

4

12,2

Kết quả trên là sự cố gắng mà các em đã thu được sau một thời gian nghiên cứu và
thực hiện, hy vọng rằng khả năng học toán nắm vững kiến thức sau mỗi bài học, sự ham
thích học toán của các em ngày một tăng lên.
Trên đây chỉ là một vài kinh nghiệm nhỏ được rút ra trong quá trình giảng dạy toán 7
của bản thân. Do điều kiện về thời gian và trình độ có hạn của tôi nên đề tài không thể
tránh khỏi những thiếu sót tồn tại nhưng tôi xin mạnh dạn trình bày. Rất mong các đồng
nghiệp và hội đồng thẩm định góp ý kiến chân tình để đề tài được hoàn thiện hơn. Tôi
chân thành xin cảm ơn.

GV: Nguyễn Thế Vinh

23


Đề tài: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán đại số 7

Tân Long, ngày 15 tháng 02 năm 2013
Người thực hiện

NGUYỄN THẾ VINH

GV: Nguyễn Thế Vinh


Dạng 3 .................................................................................................................. 5
Dạng 4 .................................................................................................................. 9
Dạng 5 ................................................................................................................. 10
Dạng 6 ................................................................................................................. 11
Dạng 7 ................................................................................................................. 12
Bài tập tương tự ...................................................................................................... 15
C/.KẾT LUẬN

17

1. Tính mới của đề tài ................................................................................................... 18
2. Hiệu quả áp dụng ...................................................................................................... 18
GV: Nguyễn Thế Vinh

25