SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI
TRƢỜNG THPT SỐ 1 BÁT XÁT
----

ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
PHÁT HIỆN VÀ KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM
KHI GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH THPT

Họ và tên:
Chức vụ:
Chuyên môn:
Đơn vị:

NGUYỄN DUY LONG
Phó Hiệu trƣởng
Toán học
Trƣờng THPT số 1 Bát Xát

Bát Xát, tháng 6 năm 2014


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
MỤC LỤC
NỘI DUNG

TRANG

1. ĐẶT VẤN ĐỀ

2


7

2.2.3. Sai lầm khi nắm các khái niệm Toán học

9

2.2.4. Sai lầm liên quan đến sử dụng định lý

11

2.2.5. Sai lầm liên quan đến thao tác tư duy

12

2.2.6. Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng

14

2.2.7. Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức

15

2.2.8. Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán

16

2.2.9. Sai lầm liên quan đến suy luận

19


1

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Hiện nay, thực tế cuộc sống nói chung và toán học nói riêng đang đòi hỏi
chúng ta về tốc độ và độ chính xác cao. Trong toán học, muốn giải được một bài
toán trước hết phải có nhận định đúng đắn về bài toán đó. Tuy nhiên, thực tiễn
cho thấy năng lực giải toán của học sinh còn hạn chế do học sinh còn mắc nhiều
sai lầm. Có nhiều nguyên nhân dẫn tới tình trạng này, trong đó phải kể đến việc
học sinh không chịu khó đào sâu suy nghĩ và thầy cô giáo kịp thời phát hiện và
khắc phục các nhận định sai lầm cho học sinh. Vì điều này nên ở học sinh nhiều
khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm.
Từ những sự phân tích trên đây, cùng với kinh nghiệm 10 năm giảng dạy
tại trường THPT số 1 Bát Xát, tôi nghiên cứu đề tài:
“Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh
THPT”
nhằm giúp các em học sinh nhà trường khắc phục được các sai lầm của mình,
đặc biệt là các em học sinh chuẩn bị thi tốt nghiệp, Cao đẳng-Đại học năm
2014.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự cộng tác và giúp đỡ của các thầy cô giáo
trong nhà trường, đặc biệt là các thầy cô trong nhóm Toán trong thời gian
nghiên cứu và tiến hành áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này. Dù bản thân tác giả
đã hết sức cố gắng bằng việc tham khảo một lượng lớn kiến thức từ các tài liệu
mới và cũ nhưng chắc chắn đề tài nghiên cứu không tránh khỏi thiếu sót bởi
kinh nghiệm và kiến thức còn hạn chế. Tác giả rất mong nhận được những góp ý
quý báu của quý đồng nghiệp.
Bát Xát, tháng 6 năm 2014

nhiều sai lầm của học sinh phổ biến từ khóa này đến khóa khác. Cụ thể như sau:
2.2.1 Sai lầm liên quan đến phân chia trƣờng hợp riêng.
Học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm sau đây khi giải những
bài toán có liên quan đến việc phân chia trường hợp.
2.2.1.1 Không nắm vững bản chất của tham số, không hiểu nghĩa của
cụm từ “giải và biện luận”, lẫn lộn giữa “biện luận theo m” và “tìm m”. Khi
giải biện luận phương trình (bất phương trình) có tham số m, nhiều học sinh
quy về tìm m để phương trình (bất phương trình) có nghiệm.
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình: x  1  2 x  m .

Sáng kiến kinh nghiệm

3

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
Sai lầm: Có học sinh giải như sau: với x  1 nghiệm của phương trình là
x  m  1; với x < 1 nghiệm của phương trình là x 

m 1
.
3

Lời bình: Học sinh này dù đã nắm được khái niệm giá trị tuyệt đối nhưng
vẫn chưa ý thức được rằng, tham số được xem như là những số đã biết nhưng
chưa rõ cụ thể là bao nhiêu, bởi vậy không chắc gì m – 1 đã lớn hơn hoặc bằng
1;


Sáng kiến kinh nghiệm

4

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
 x2 + x(2m - 1) + 1 = 0.
Phương trình này có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi  = 0  m  
hoặc m 

1
2

3
.
2

Lời bình: Thực ra phương trình (1) đã cho chỉ tương đương với phương
 x 2  2mx  0
trình: x + 2mx = x – 1 (2) với điều kiện 
, hay nói gọn hơn là,
x

1

0

2

 2

a 6  2 3
a 62 3
2
3x  12ax  8a  0
x

6
6










Lời bình:
TH 1: Nếu a = 0, bất phương trình (1) vô nghiệm.

Sáng kiến kinh nghiệm

5

Nguyễn Duy Long



2.2.1.5 Do hiểu sai yêu cầu của bài toán nên phân chia thiếu trường
hợp.
Ví dụ 6: Tìm m sao cho phương trình: x2  (2m  1) x  m2  0 chỉ có một
nghiệm thỏa mãn x > 3.
Sai lầm: Có nhiều học sinh lập luận: yêu cầu của bài toán tương đương
với phương trình có nghiệm kép lớn hơn 3.
1

m


  0


4
 S

.
5

3
 2
m 

2

Không tồn tại m.
Lại có những học sinh lập luận rằng: phương trình có hai nghiệm phân
biệt thỏa mãn điều kiện một nghiệm lớn hơn 3:
af (3)  0

2.2.2. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt.
Học sinh thường mắc phải các kiểu sai lầm ngôn ngữ phổ biến sau:
2.2.2.1

Sai lầm về cú pháp và ngữ nghĩa.

Không ít học sinh đã cho rằng:
a2  a ;

m

a . n a  m. n a ;



a b

   a  b
2

2

2

 a  b;

logc  a.b   logc a.logcb ; (-x)n = - xn (không cần chú ý tới n chẵn, n lẻ);
1
1  cos 2 2 x
4

sinh nắm cú pháp một cách hình thức nhưng không hiểu được ngữ nghĩa cho nên
học sinh không hiểu vì sao I = 1 + I ?
Chẳng hạn, khi tính
Đặt u =

dx

dx

 x.ln x , có học sinh giải như sau: Kí hiệu I =  x.ln x .

1
dx
dx
; v = lnx  dv  .
 du 
2
ln x
x(ln x)
x

Theo công thức nguyên hàm từng phần I =  udv  uv   vdu ta có
I=


1
1 
.ln x   ln x. 
dx , suy ra I = 1+ I (?)
2 

8

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
2.2.2.4 Lạm dụng thuật ngữ và kí hiệu Toán học để thay thế một số từ
của ngôn ngữ tự nhiên.
Ví dụ 11: a. Đa thức có hệ số bậc 3 < 0 (đa thức có hệ số bậc ba âm).
b. Giá trị của hàm số f(x) tại x = - 2 = 3 (f(- 2) = 3).
c.  ngày như  ngày (một ngày như mọi ngày).
2.2.2.5 Ảnh hưởng của thói quen ngôn ngữ không đúng đắn.
Ví dụ 12: Không chú ý tới dấu của x nên học sinh viết
còn cho rằng

x 2  x ; học sinh

36   6 .

Ở lớp 9 học sinh biết rằng mỗi số a > 0 có hai căn bậc hai và đọc là căn,
nhưng khi dùng dấu căn thì phải quan niệm rằng đó là căn bậc hai số học, nghĩa
là chỉ giá trị dương trong hai giá trị ấy thôi. Đáng lẽ ra, khi viết dấu căn, giáo
viên đọc một cách đầy đủ rằng căn bậc hai số học của 36 bằng 6. Tuy nhiên theo
thói quen giáo viên thường chỉ nói vắn tắt căn của 16 bằng 4.
2.2.2.6 Đồng nhất ngôn ngữ có nội dung gần giống nhau.
Ví dụ 13: Lẫn lộn cụm từ “điểm cực trị” ; “cực trị” và “giá trị cực trị”, do
đó dễ sai lầm khi giải Toán chẳng hạn, bài toán: Tìm a, b để các cực trị của hàm
số y =

5 2 3

vận dụng sai khái niệm (khi xây dựng khái niệm khác, khi biến đổi tính toán, khi
suy luận chứng minh).
Ví dụ 14: Không nắm vững sự mở rộng khái niệm góc hình học sang khái
niệm góc lượng giác dẫn đến nắm sai bản chất các hàm lượng giác dẫn tới sai
lầm kế tiếp biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn đơn vị, khi kết hợp nghiệm
của phương trình, bất phương trình lượng giác thường thiếu, thừa nghiệm hoặc
khi viết nghiệm của hệ phương trình thì viết một họ nghiệm dẫn tới thiếu
nghiệm, chẳng hạn, khi giải phương trình tích các hàm lượng giác đều viết các
họ nghiệm chung kí hiệu nên dẫn đến thu hẹp tập nghiệm:
Khi giải phương trình sin2x.sin3x.sinx = 0, học sinh cho kết quả: x=

k
k
; x=
;
2
3

x= k . .
Trong đơn vị đo góc lượng giác là radian và độ, học sinh không hiểu đây
là hai đơn vị đo khác nhau nên dẫn tới sai lầm viết nghiệm của các phương trình

sin  2 x  1  sin  x  3 là x = 4 + k3600 hoặc x = 600 -

2
 k 3600 .
3

Không nắm vững khái niệm nghiệm của phương trình và bất phương trình
nên khi giải phương trình x  1  x  1  2  1  x  1 học sinh không thừa

thị hàm số y = f(x) khi chỉ với mỗi x0 thuộc tập xác định của hàm số thì đường
thẳng x = x0 song song với Oy chỉ cắt (C) tại một điểm duy nhất.
Nắm khái niệm hàm số; khái niệm giới hạn hàm số một cách hình thức
nên không ít học sinh cho rằng kí hiệu f(x) là kí hiệu của tích hai đại lượng fx,
xem     0 ; 0.  0; 1  1 .
2.2.4 Sai lầm liên quan đến sử dụng định lí.
Cấu trúc thông thường của định lí có dạng A  B trong đó A là giả thiết
của định lí, B là kết luận của định lí. Sai lầm phổ biến khi học định lí do xem
thường ngôn ngữ và các điều kiện của giả thiết A nên suy ra các kết luận sai
lầm: không có A vẫn suy ra B; không có A suy ra không có B; sử dụng định lí
tương tự chưa đúng. Không nắm vững kết luận B nên sử dụng B mà không nhớ
A; có B suy ra có A; có A nhưng suy ra không phải B, mà chỉ chú trọng tới
phương pháp giải Toán. Do đó trong quá trình áp dụng vào giải Toán học sinh
hay áp dụng thiếu điều kiện hoặc sử dụng đúng nhưng không chính xác; sử dụng
định lí như định nghĩa. Đặc biệt là những định lí học sinh bị “mất gốc” hoặc
không hiểu bản chất nên khi sử dụng định lí không hiểu rõ phạm vi sử dụng của
định lí.

Sáng kiến kinh nghiệm

11

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
2

Ví dụ 15: Tính tích phân I =



1
2 gián đoạn tại x = -1   2; 2
 x  1

nên không sử dụng được công thức Niutơn – Lepnít để tính tích phân trên. Giả
thiết của công thức Niutơn – Lapnít là hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] nên
cách giải trên thiếu việc kiểm tra điều kiện áp dụng định lí. Thực ra tích phân
trên không tồn tại.
1 
2
 n  1 
Ví dụ 16: Tìm giới hạn: I = lim sin  sin
 ...  sin
n 
n n
n
n 

sin

Sai lầm: Ta có lim
n 

n


n  0 , ..., lim
n 


=
n




2

 n  1 
2sin
sin

2sin
.sin

...

2sin
.sin

2n
n
2n
n
2n
n 






2sin
2n  lim A  lim 2 . 2n .sin  n  1   2 .1.sin   2 ,
An 
n
n 
n 

 sin 
2n

2 
2n.sin
2n
2n
chứ không phải là 0 như lời giải sai trên đây của học sinh.
2.2.5 Sai lầm liên quan đến thao tác tƣ duy
Ví dụ 16: Chứng minh bất đẳng thức:
a 2  b2  c 2  d 2  e2  a b  c  d  e  (1) với a, b, c, d, e R .

Xin nêu hai cách giải cho bài toán này trước hết không phải vì mục đích
tìm cho ra nhiều lời giải, mà với mỗi cách giải sẽ gợi lên một phương hướng
tổng quát hóa bài toán:
Cách 1: Ta có a 2  b2  c 2  d 2  e2  a b  c  d  e   0
2

2

2


Theo Bất đẳng thức Bunhiacôpxki thì:
(1)  12  12  ...  12  a12  a22  ...  an2    a1  a2  ...  an 

2

 n  a12  a22  ...  an2    a1  a2  ...  an  .
2

Sáng kiến kinh nghiệm

13

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
 n  a12  a22  ...  an2    a1  a2  ...  an   0
2

Nếu n  4   a1  a2  ...  an   4  a12  a22  ...  an2  
2



a

1

 a2  ...  an   n  a12  a22  ...  an2   0  (1) luôn được thỏa mãn
2

2
thì cần phải có n lần 
 có tổng bằng a , khi đó với cách viết tương tự ta
 n
2

2

2

 a

 a

 a

 a1   
 a2   … 
 an   0 .
được: 
 n

 n

 n


Vậy bất đẳng thức được tổng quát đúng là:
a 2  a12  a22  ...  an2 


sinh có thể lí giải như sau:
+) Do t là tổng hai căn bậc hai nên t ≥ 0.

x  1
+) Do 
thay vào t ta có:
x  3

t  2
.

t

2


+) Do t  0 , áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta được t  2 nên điều
kiện của t là t   0; 2 .
Lời bình: Với cả ba phương án điều kiện ẩn phụ như trên, học sinh đều
có sai lầm vì không nhận thấy sự tương ứng giữa ẩn t và ẩn x. Lẽ ra điều kiện
của t là t  2; 2 .
2.2.7 Sai lầm liên quan đến “chủ nghĩa hình thức”
Ví dụ 18: Tìm m để hàm số y  x3   m  1 x 2   2m  3 x  3 đồng biến
với mọi x > 3.
Sai lầm: Bài toán trở thành tìm m để :
y ,  f ( x)  3x 2  2 x  m  1  2m  3  0 với mọi x > 3.

Ta có ,  m2  4m  10  0 với mọi m nên tam thức f(x) có hai nghiệm
phân biệt x1 < x2. Vậy y,  0  x   ; x1    x2 ;    , mặt khác theo giả thiết
3. f (3)  0


x2

ta vẫn có x1 < x2  3 (bởi, cho dù x2 = 3 thì  x2 ;    vẫn cứ chứa  3;    ).
Lẽ ra có thể giải bài toán như sau: Ta có ,  m2  4m  10 , ta thấy ,  0
m  R thế thì f(x) có hai nghiệm phân biệt, kí hiệu hai nghiệm đó là x1, x2 với

x1 < x2. Theo Định lí thuận thì f(x)  0 tương đương với x  ; x1    x2 ;    ,
mặt khác theo giả thiết thì cứ hễ x  3 là có f(x)  0, cho nên cứ hễ x  3;   
là x  ; x1    x2 ;    . Bằng sự minh họa của trục số, ta suy ra x1 < x2  3
3
x1

x2

3. f (3)  0
15

 S
 m 
4
 2  3

2.2.8 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán
2.2.8.1 Do đặt điều kiện của ẩn phụ.
Khi đặt ẩn phụ thường lãng quên đặt điều kiện của ẩn phụ, và cho rằng,
phương trình f(x) = 0 có nghiệm khi và chỉ khi phương trình g(t) = 0 có nghiệm,
trong đó g(t) là biểu thức thu được từ f(x) thông qua một phép đặt ẩn phụ
t   ( x) nào đó. Nói cách khác, nếu phương trình xuất phát có dạng f[g(x)] thì


2

Vậy với m < 2 thì phương trình vô nghiệm.
Khi đặt ẩn phụ, mặc dù có đặt điều kiện, nhưng điều kiện quá hẹp hoặc
quá rộng không sát, đặt ẩn phụ t =  ( x) để đưa phương trình về ẩn t, tuy nhiên
học sinh chỉ đưa ra một điều kiện cần đối với t, chứ không phải là điều kiện cần
và đủ.
2.2.8.2 Do không nắm vững các phép biến đổi tương đương.
Ví dụ 20: Giải bất phương trình  x 2  3x . 2 x 2  3x  2  0 .
Sai lầm: Bất phương trình trên tương đương với:
1

x  3
2 x 2  3x  2  0  x  2  x  

2
 2
1
x  
 x  3x  0

x  3  x  0

2

Lời bình:
Phép biến đổi đã bỏ sót nghiệm x = 2.
Bất phương trình đã cho tương đương với:
x  2  x  3
 x 2  3 x  2 x 2  3 x  2  0


2

2
2

1  3
3 1

  x
  
x  
2  2 
2


 2

1 3
 3 1
;  ; M (x; 0)
Trong hệ trục tọa độ 0xy, xét các điểm A  ;
, B 
2
2
2
2




2


trục x ' Ox chứa 0x nên bất đẳng thức MA + MB ≥ AB không xẩy ra do đó
không tồn tại điểm M 0  0 x sao cho: M0A + M0B = AB.
Để tránh sai lầm trên khi chuyển đổi bài toán sang sử dụng công cụ tọa độ
thì cần phải lưu ý: Trong mặt phẳng cho hai điểm A, B và đường thẳng d đi qua
M. Khi đó: Nếu A, B cùng phía so với d thì MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M
là giao điểm của AB1 với đường thẳng d, trong đó B1 là điểm đối xứng với B
qua d, khi đó MA + MB = AB1. Nếu A, B khác phía so với đường thẳng d thì
MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB với d.

Sáng kiến kinh nghiệm

18

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
1 3  3 1
Bài toán trên phải được giải là: chọn A  ;
;   và C (x; 0),
 ; B
2
2
2
2

 

Ví dụ 22 : Tìm m để f(x) =  m  1 x 2  2  m  1 x  3m  3  0 x
a  0
Sai lầm: Để f(x) ≥ 0 x   ,
 m  1.
  0

Lời bình: Kết quả trên tuy đúng nhưng là đúng một cách ngẫu nhiên. Về
nguyên tắc ta phải xét riêng trường hợp hệ số bậc 2 bằng 0. Chỉ khi nó khác 0 ta
mới được dùng mệnh đề trên.
2.2.9.2 Sai lầm về luận đề.
Sai lầm chủ yếu là đánh tráo luận đề, thay thế mệnh đề cần chứng minh
bằng những mệnh đề không tương đương.
Ví dụ 23: Tìm m để phương trình 25 x  2.5 x 1  1  2m  0 (1) có nghiệm
Sai lầm: Đặt 5 x  t  0
Phương trình có nghiệm (1)  f (t )  t 2  4t  1  2m  0 (2) có nghiệm
Sáng kiến kinh nghiệm

19

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
  ,  2m  3  0
3
1

t > 0  0  t1  t2   P  1  2m  0    m  là điều kiện cần tìm.
2
2

khó phai và rất mất công chỉnh lại cho chính xác. Giáo viên cũng cần nêu ra ở
thí dụ để thuyết phục chứ không chỉ dừng lại ở việc nhắc nhở. Các thí dụ, mà
đặc biệt các phản thí dụ bao giờ cũng tạo ấn tượng đối với học sinh.
Sáng kiến kinh nghiệm

20

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
Ví dụ:

x
x 
 x

x0
x0

ở đây x = -x khi x < 0 ( nhưng khi x = 0 thì x = - x). Điều này chứng tỏ
x < 0 chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần để tránh sai lầm cho
học sinh.
2.3.2. Quan điểm 2: Chú ý tới các yêu cầu: tính giáo dục, tính kịp
thời, tính chính xác trong quá trình phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học
sinh.
Đây là khâu đòi hỏi giáo viên phải kết hợp được sự tắc kịp thời, tính chính
xác và tính giáo dục cùng với sự tích cực hoá của học sinh để vận dụng các hiểu
biết về việc kiểm tra lời giải nhằm tìm ra sai lầm, phân tích nguyên nhân và sửa
chữa lời giải.


2 3
2
x  mx 2  2  3m2  1 x 
3
3
để hàm số có 2 điểm cực trị x1 , x2 sao cho x1 x2  2  x1  x2   1 .
Ví dụ 24: Cho hàm số y 

 C  . Tìm m

(Đề thi Đại học khối D năm 2012)
Bài toán được giải như sau:

y '  2 x 2  2mx  2  3m2  1 ; y '  0  2 x 2  2mx  2  3m2  1  0 (*)
Một số học sinh sẽ mắc sai lầm: x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*).

 x1  x2  m
.
2
x
.
x

1

3
m
 1 2


2
m .
3
2.4. HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI
Tôi đã nghiên cứu và áp dụng cá phương pháp trên trong quá trình dạy
học: Ôn thi tốt nghiệp, ôn đại học, ôn thi học sinh giỏi. Đối với học sinh, đa số
các em nhận ra sai lầm của mình và không mắc phải sai lầm tương tự trong các
lần sau. Đối với đồng nghiệp, chúng tôi cùng trao đổi, rút kinh nghiệm nhằm áp
Sáng kiến kinh nghiệm

22

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
dụng phương pháp và tiếp tục tìm tòi những mảng kiến thức dễ gây nhận định
sai lầm cho học sinh. Từ đó những khó khăn và sai lầm của học sinh được chỉ ra
trên đây đã giảm đi rất nhiều và đặc biệt là đã hình thành được cho học sinh một
“phong cách” tư duy khác trước rất nhiều. Học sinh đã bắt đầu ham thích những
dạng toán mà trước đây họ rất “ngại” - bởi vì luôn gặp phải những thiếu sót và
sai lầm khi đứng trước các dạng đó.
Tôi đã làm một phép so sánh thời gian giải cùng một bài toán đối với hai
nhóm đối tượng có cùng mức độ nhận thức như nhau, một nhóm có phát hiện và
khắc phục nhận đinh sai lầm và một nhóm chưa được khắc phục.
Kết quả như sau:
Phát hiện và khắc phục nhận định sai lầm

Học sinh lớp


Đã tiến hành

12A2

9,5

Chưa tiến hành

12A3

6,0

Qua đó có thể nhận thấy nếu phát hiện và khắc phục tốt nhận định sai lầm
của học sinh trong giải toán thì chất lượng bộ môn sẽ được nâng cao hơn và tạo
được sự hứng thú với môn toán hơn cho học sinh.

Sáng kiến kinh nghiệm

23

Nguyễn Duy Long


Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
3. KẾT LUẬN
Sai lầm là điều không thể tránh khỏi trong cuộc sống! Trong toán học
cũng vậy, khi ta chủ quan trong nhìn nhận một bài toán hoặc chưa được cung
cấp đủ kiến thức cần thiết thì điều này càng dễ xảy ra. Điều quan trọng là ta phải
biết cách hạn chế và khắc phục các sai xót này.
Việc nghiên cứu đề tài này vừa giúp tôi có thêm những kinh nghiệm giảng