PHẦN I: GIẢI TÍCH
CHƯƠNG 0: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN ÔN LẠI
I. Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
1. (a + b)2 = a 2 + 2ab + b2

4. (a + b)3 = a3 + 3a 2 b + 3ab2 + b3

2. (a - b)2 = a2 - 2ab + b 2

5. (a - b)3 = a3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b3

3. a2 - b 2 = (a + b)(a - b)

6. a3 + b3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 )

7. a3 - b3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 )
ax 2 + bx + c = 0(a ¹ 0)

II. Phương trình bậc hai:
1. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
D = b2 - 4ac




D 0

: Phương trình vô nghiệm.

b' = ÷
ç
ç
÷
2÷
è
ø

D ' = b '2 - ac





D '0

) ta dùng công thức nghiệm

: Phương trình vô nghiệm.
x1 = x2 =-

: Phương trình có nghiệm kép:
: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

x1 =

- b '-

1
2
a
ïïí
ïï
c
ïï P = x1.x2 =
a
ïî

 “Tổng bà, tích ca”
4. Các trường hợp đặc biệt của phương trình bậc 2:

 Nếu

 Nếu

a +b +c = 0

a - b +c = 0

5. Dấu của nghiệm số:

thì phương trình có nghiệm:

thì phương trình có nghiệm:
ax 2 + bx + c = 0(a ¹ 0)
ìï D > 0
ïï
Û ïí P > 0

2
ê
a
ë
éx =- 1
ê1
ê
êx =- c
2
ê
a
ë


ìï D ³ 0
ïï
Û ïí P > 0
ïï
ïïî S < 0

 Phương trình có 2 nghiệm âm

ìï D > 0
Û ïí
ïïî P > 0

 Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu
III.

 Phương trình có 2 nghiệm trái dấu

x∆ < 0 −∞

+∞

f ( x)

cùng dấu a

∆ = 0 −∞

−

x

f ( xdấu
)
cùng
a

0

x∆ > 0 −∞

f ( xdấu
)
cùng
a

+∞


R

.


ìï a > 0
f ( x ) > 0 " x Î R Û ïí
ïïî D < 0

ìï a > 0
f ( x ) ³ 0 " x Î R Û ïí
ïïî D £ 0

ìï a < 0
f ( x ) < 0 " x Î R Û ïí
ïïî D < 0

ìï a < 0
f ( x ) £ 0 " x Î R Û ïí
ïïî D £ 0

V. Phương trình lượng giác cơ bản
éu = v + k 2p
sin u = sin v Û ê
êu = p - v + k 2p
ë

éu = arcsin a + k 2p
sin u = a Û ê
êu = p - arcsin a + k 2p

cos u = 0 Û u =

VI.

tan u = tan v Û u = v + kp

tan u = a Û u = arctan a + kp

cot u = cot v Û u = v + kp

cot u = a Û u = arccot a + kp

Phương trình và bất phương trình chứa trị tuyệt đối
ìï A , neáu A ³ 0
A = ïí
ïïî - A , neáu A < 0
1 Phương trình :
éìï A ³ 0
êïí
êï A = B
ïî
A =B Û ê
êì
êïï A < 0
êíï
ê
ëïî - A = B

Trang 4



VII. Phương trình và bất phương trình vô tỉ
1 Phương trình:
ìï B ³ 0
A = B Û ïí
ïïî A = B 2

ìï A ³ 0(hoaëc B ³ 0)
A = B Û ïí
ïïî A = B

9. Bất phương trình:
éìï B < 0
êïí
êï A ³ 0
ïî
A >B Û ê
êì
êïï B ³ 0
êí
2
ï
ê
ëïî A > B

ìï A ³ 0
ïï
A < B Û ïí B > 0
ïï
ïïî A < B2

v2
èv ø

= u '± v '

( uvw)

= u ' v + uv '

( x n )' = n.x n- 1
'

'

( )

æö
1÷
1
ç
=.v '
÷
ç
÷
ç
v2
èv ø

1


2 u

(sin x )' = cos x

(sin u)' = cos u.u '

(cos x )' =- sin x

(cos u)' =- sin u.u '

(tan x )' =

1
= 1 + tan 2 x
2
cos x

(cot x )' =-

'

(tan u)' =

1
=- (1 + cot 2 x )
2
sin x

1
.u ' = (1 + tan 2 u).u '

+
2
x
+
æax 2 + bx + c ö
a' b'
a' c'
b' c'
÷
ç
÷
=
ç
÷
2
2
2
ç
÷
ça ' x + b ' x + c ' ø
(a ' x + b ' x + c ')
è
'

“anh bạn ăn cơm bằng chén”
CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỀ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA
HÀM SỐ
§1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
A-


2. Định lý: Giả sử hàm số
có đạo hàm trên khoảng K.
f '( x ) > 0, " x Î K
a) Nếu
thì hàm số f đồng biến trên khoảng K.
f '( x ) < 0, " x Î K
b) Nếu
thì hàm số f nghịch biến trên khoảng K.
f '( x ) = 0, " x Î K
c) Nếu
thì hàm số f không đổi (f là hàm hằng) trên
khoảng K.
f '( x )
Lưu ý: Ở ý a) và b) của định lý trên
có thể bằng 0 tại một số hữu hạn
điểm thì kết luận vẫn đúng.
BBÀI TẬP:
Vấn đề 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
y = f (x)
Phương pháp: Để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
, ta thực
hiện các bước như sau:
 Tìm tập xác định.
y'=0
y'
 Tính đạo hàm
. Giải phương trình
.
 Lập bảng biến thiên.
 Từ bảng biến thiên kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.


1 4 1 2
x + x - 2
10
10

y=

l)

n)

d)

m)

y =- x + 3 -

o)

4 x 2 - 15 x + 9
3x

q)

1
1- x

y =- 4 x 3 + 3x - 1


i)

1
1- x

y = 2 x 3 - 9 x 2 +12 x - 4

c)

g)

2x - 1
x +5

x2 - x - 1
y=
1- x

y=

e)

y =- x 4 - 2 x 2 + 3

y =1 -

r)
s)
10.Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:


j)
Trang 8

2x - 1
x2

y = 2x - x2
y = x 2 (4 - x 2 )

y = x 3- x


y = 25 - x 2
k)

y = x2 - x - 6
m)
o)

y = x +3 +2 2 - x

y = x 2x - 1
r)

y=

l)
n)
p)


y'
Û y ' ³ 0, " x Î R Û ïí
ïï ay ' > 0
ïî
R
 Hàm số đồng biến trên
ìï D £ 0
y'
Û y ' £ 0, " x Î R Û ïí
ïï ay ' < 0
ïî
R
 Hàm số nghịch biến trên
ax + b
y=
cx + d
11.Hàm nhất biến:
ìï d ü
ï
D = R \ ïí - ïý
ïîï c ïþ
ï
Tập xác định
ad - cb
y' =
(cx + d )2
Đạo hàm
có dấu phụ thuộc vào dấu của tử.
 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
Û y ' > 0, " x Î D Û ad - cb > 0

y = x 3 - (m +1) x 2 - (m 2 - 3m + 2) x + 2m(2m - 1)
d).
y = x 3 + 3x 2 + (m +1) x + 4m
e).
R
17.Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên
:
2
3
2
y =- (m + 5m ) x + 6mx + 6 x - 6
a

Trang 10

R

.

R

.


1
1
y = mx 3 - (m - 1) x 2 + 3(m - 2) x +
3
3


(- ¥ ;0)
đồng biến trên khoảng
.
3
y = 2x - 3(2m +1) x 2 + 6m(m +1) x +1
22.(*)Tìm m để hàm số
đồng biến trên
(2; +¥ )
khoảng
.
§2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A KIẾN THỨC CƠ BẢN:

y = f (x)

1. Định nghĩa: Cho hàm số
Ì

R

x0 Î D

) và

 Nếu

tồn tại khoảng
f ( x ) < f ( x0 )
,
x0
f ( x0 )
,

đạt cực tiểu tại

xác định và liên tục trên tập D (D

và
" x0 Î (a; b) \ {x0}
thì ta nói hàm số
x0

 Nếu hàm số
đạt cực đại (cực tiểu) tại
thì
x0
được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số;
f ( x0 )
được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số
M0 ( x0 ; f ( x0 ))
và được ký hiệu là () hay (), còn điểm
được gọi
là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
 Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá
trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi
chung là cực trị của hàm số.
2. Định lý:

y = f (x)

(a; b)

Định lý 1: Giả sử hàm số
liên tục trên khoảng
x0
(a; b)
chứa điểm
và có đạo hàm trên khoảng
.
f '( x )
x
 Nếu

+

-

f '( x )

-

+

f (x)

y = f (x)

Định lý 2: Giả sử hàm số
có đạo hàm cấp hai trong khoảng
(a; b)
. Khi đó:
ìï f '( x ) = 0
0
ïí
ïï f ''( x0 ) > 0
x0
f (x)
î
 Nếu
thì hàm số
đạt cực tiểu tại
.
ìï f '( x ) = 0

nghiệm
y ''( xi )
y ''
 Tính
và
y ''( xi )
 Dựa vào dấu của
suy ra các điểm cực trị:
y ''( xi ) > 0
xi
o Nếu
thì hàm số đạt cực tiểu tại
.
y ''( xi ) < 0
xi
o Nếu
thì hàm số đạt cực đại tại
.
Chú ý: Quy tắc 2 thường dùng đối với hàm số lượng giác hoặc việc xét dấu
f '( x )
phức tạp.
1 Tìm cực trị của các hàm số sau:
Trang 13


y = 10 +15 x + 6 x 2 - x 3

a)

b)


c)
d)
3 Dựa vào quy tắc 2 tìm cực trị (nếu có) của các hàm số:
y = sin 2 x
y = sin 2 x
a)
b)
y = x - sin 2 x
y = 3 - 2 cos x - cos2 x
c)
d)
æ p÷
ö
y = cot ç
x+ ÷
ç
ç
÷
3÷
è
ø
y = sin x + cos x
e)
d)
Vấn đề 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Phương pháp:
x0
y = f (x)
1. Hàm số

Û

ìï y '( x ) = 0
0
ïí
ïï y ''( x0 ) < 0
î

3. Hàm

y = f (x)

số

đạt

cực

tiểu

ìï y '( x ) = 0
0
ïí
ïï y ''( x0 ) > 0
î

4. Hàm bậc 3:

y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ¹ 0)



Û

phương trình

y'= 0

vô

y ' = 0 Û 4ax 3 + 2bx = 0
Û 2 x (2ax 2 + b) = 0

éx = 0
Û ê 2
ê2ax + b = 0
ë
éx = 0
ê
Û ê2 - b
êx =
ê
2a
ë

(1)
(2)
Û

 Hàm số có 3 cực trị
nghiệm phân biệt

.
3
y = x - 3x 2 + 3mx +1
4 Tìm m để hàm số
có 2 cực trị.
3
2
y = x - 3(m - 1) x + 3(2m - 3)x +1
23.Tìm m để hàm số
có cực đại và cực tiểu.
Trang 15


24.Tìm m để hàm số
x =1
.

x3
y = - 2m 2 x 2 + (m + 2) x - 5m +1
3

đạt cực tiểu tại

x3
y = - mx 2 + (m 2 - m +1) x +1
3

25.Tìm m để hàm số
đạt cực đại tại
x =2

y = x 3 - mx 2 + ç
m- ÷
x +5
ç
ç
÷
3÷
è
ø
x =1
i).
đạt cực trị tại
. Khi đó hàm số
đạt cực đại hay cực tiểu?
y = x 3 - 3mx 2 + (m - 1) x + 2
x =2
29.Tìm m để hàm số
đạt cực tiểu tại
.
y = x 3 - 3x 2 + 3mx + 3m + 4
m
30.Định
để hàm số
a Không có cực trị.
j). Có cực đại và cực tiểu.
A(0;4)
k). Có đồ thị nhận
làm một điểm cực trị.
31.(*)


1 1
+ = ( x1 + x2 )
x1 x2 2
trị tại x1 , x2 thỏa mãn
1
y = x 3 - mx 2 +( 2m - 1) x - m + 2
3
33.(*)Cho hàm số
. Định m để hàm số có hai
điểm cực trị có hoành độ dương.
1
y = x 3 - mx 2 + mx - 1
3
34.(*)Cho hàm số
. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại
x1 - x2 ³ 8
x1; x2
thoả mãn
y = 2 x 3 + 9mx 2 +12m 2 x +1
35.(*)Cho hàm số
.Tìm m để hàm số có cực đại cực
x 2CD = xCT
tiểu đồng thời
.
x4
y = + ax 2 + b
2
36.Cho hàm số
.
x =1

4
2
y = kx + (k - 1) x +1 - 2 k
42.Cho hàm số
. Xác định các giá trị của tham số k
để hàm số có 1 cực trị.

Trang 17


43.Cho hàm số
- 2
tại

x4
y = + ax 2 + b
2
x =1

. Định a, b để hàm số đạt cực trị bằng

.
y = mx 4 - 16 x 2

m

44.Xác định giá trị tham số
để hàm số
đạt cực trị tại
x =2

y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d
y'

ta được
( x1; y1)
 Khi đó, giả sử
,
ìï y = f ( x ) = Ax + B
1
1
ïí 1
ïï y2 = f ( x2 ) = Ax2 + B
î

.
y = P ( x ).y '+ ( Ax + B )

( x2 ; y2 )
là các điểm cực trị thì:

Suy ra phương trình của đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu là
y = Ax + B
46.Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị các hàm số:
y = x 3 + 3 x 2 - 8 x +1
a)

b)
c)

x3

 Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
trên tập D nếu
x0 Î D
f (x) £ M
x
với mọi
thuộc D và tồn tại
sao cho
f ( x0 ) = M
M = max f ( x )

Ký hiệu

D

y = f (x)
 Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên tập D nếu
x0 Î D
f (x) ³ m
x
với mọi
thuộc D và tồn tại
sao cho
f ( x0 ) = m

m = min f ( x )
D

Ký hiệu

So sánh và kết luận.
1 Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của các hàm số :
Trang 19

y'

bằng 0 hoặc không


y = x3 - 3x + 2

a)

[- 2;2]

trên đoạn
[- 2;0]
y = 2 x - 3 x - 12 x +10
trên đoạn
5
4
3
[- 1;2]
y = x - 5 x + 5 x +1
trên đoạn
[- 1;1]
y = x 4 - 2x3 + x2 - 1
trên đoạn
5
3

i)
j)

2

y = 100 - x 2

k)

trên đọan

[- 8;6]

y = 25 - x 2

l)
48.

[- 3;4]
trên đoạn
Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của các hàm số :

y = x + 4 - x2

a)

y = 2x + 5 - x2

b)


Trang 20


y = sin3 x - cos2 x + sin x + 2

c)

y = cos2 x - sin x + 3

d)

[0; p]

trên đoạn

é 3p ù
ê0; ú
ê
ë 2ú
û

y = 2sin x + sin 2 x

e)
trên đoạn
Vấn đề 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 1 khoảng hoặc nửa
khoảng
y = f (x)
Phương pháp: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên 1

- 2
trên đoạn
bằng
. (TN – 2012)
§4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN

A-KIẾN THỨC CƠ BẢN:
x = x0
 Đường thẳng
được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm
y = f (x)
cận đứng) của đồ thị hàm số
nếu ít nhất một trong các điều
kiện sau được thoả mãn:
lim- f ( x ) = +¥
lim+ f ( x ) =+¥
x ® x0

x ® x0

;
lim- f ( x ) =- ¥

x ® x0

lim f ( x ) =- ¥

;
Trang 21


.

P( x )

có nghiệm

)≤ bậc(

Trang 22

x0

Q( x )

P( x )
Q( x )

thì đồ thị có tiệm cận đứng

) thì đồ thị có tiệm cận


1 Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị của hàm số sau:
x +1
2 x +1
y=
y=
- 2 x +1
1- x
a)

g)

2x - 5
5x - 2

h)

7
y= - 1
x

51.

Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
x
2x - 1
y=
y=
2x +3
3x + 2
b)
c)

a)
y=

y=

x 2 + x +1
y=

x- 2

có đồ thị (C).

M 0 ( x 0 ; y0 ) Î ( C )
a) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm
đến
các đường tiệm cận của (C) là một hằng số.
b) Tìm các điểm trên (C) sao cho điểm đó cách đều các đường tiệm cận của (C).
§5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
A- KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Các bước chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:(6 dấu *)
∗ Tập xác định:
ax + b
y=
cx + d
∗ Giới hạn (và tiệm cận đối với hàm phân thức
)
Trang 23


y'

∗ Đạo hàm:

y' = 0

 Đối với hàm bậc 3, bậc 4: Giải phương trình

tìm nghiệm.


"x Î D

∗ Bảng biến thiên:
Nhận xét về chiều biến thiên và cực trị.
∗ Bảng giá trị:(5 điểm đối với hàm bậc 3, bậc 4; 6 điểm đối với hàm phân thức
y=

ax + b
cx + d

)

y' = 0

Chú ý: Đối với hàm bậc ba, nếu phương trình
y '' = 0

bảng giá trị ta giải phương trình

để tìm điểm

vô nghiệm thì khi lập
x0

là điểm chính

M 0 ( x 0 ; y0 )
giữa của bảng giá trị. (điểm
∗ Vẽ đồ thị:

nghiệm

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số bậc ba sau:
y = x 3 - 6 x 2 + 9 x +1
y = 3x 2 - 2 x 3
a)
b)
x3
y = + x 2 + x +1
y =- x 3 + 3 x 2 - 4 x + 2
3
c)
d)
e)
g)

y = 2 x 3 + 3x 2 - 1

f)

y = x 3 - 3x 2 + 6 x + 8
y =-

h)

y =- x 3 + 3 x 2 - 4 x + 3

3

x

a>0

Trang 25

y = ax 4 + bx 2 + c(a ¹ 0)
a