Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

PHẦN I: GIẢI TÍCH
CHƯƠNG III – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
§1. NGUYÊN HÀM
A- KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Khái niêm nguyên hàm:
1. Định nghĩa: Hàm số

được gọi là nguyên hàm của hàm số

nếu
2. Định lý: Nếu

là nguyên hàm của hàm số

thì:

a)
cũng là một nguyên hàm của
một hằng số tùy ý.
b) Mọi

nguyên

hàm

của


4
5
6
Trang 1


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

7
8
9
10
11
III.Môt số tính chất của nguyên hàm:



với mọi số thực

.

IV.Các công thức thường sử dụng khi tìm nguyên hàm của các hàm số lượng
giác:
1.
2.
3.
4.
5.

q)
g)
r)
h)
s)
i)
t)
j)
u)
k)
v)

l)
2. Tìm các nguyên hàm sau:

b)

a)
Trang 3


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

c)

h)

d)

f)
q)
g)
h)
r)

s)
i)
t)
j)
u)
k)
Trang 4


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

v)

y)

w)

z)

x)
4. Tìm các nguyên hàm sau:.


a)

c.

b)

của hàm số

d.
c)

e.
d)
Trang 5

thỏa mãn điều kiện cho


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

f.

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

e)

g. f)

h.



được gọi là tích phân từ

tích phân xác định trên đoạn

) của hàm số

là

s.

và

p. Vậy:
q. a: được gọi là cận dưới của tích phân.
r. b: được gọi là cận trên của tích phân.
II.Tính chất của tích phân:



Trang 6

đến

(hay

và được ký hiệu


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

f.
o.
g.
p.
h.
q.
i.
Trang 7


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh
t.

r.

u.

s.
2. Tính các tích phân sau:

a.
k.
b.
l.

c.

m.


u.

x.

v.
y.
w.
z.
3. Tính các tích phân sau:
a.
e.
b.
f.
c.
g.
d.
h. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1:
i.

Định nghĩa vi phân: Nếu

là một hàm số theo biến

được gọi là vi phân của hàm số
j. Ta có:

l.






Đặt

 Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa
 Khi tính tích phân dạng

:

o Nếu

và

chẵn ta dùng công thức hạ bậc.

o Nếu

chẵn,

lẻ ta đặt

.

o Nếu

chẵn,

lẻ ta đặt


m.

f.

n.
g.
Trang 10


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

o.
5. Tính các tích phân sau:
a.

d.

b.
e.
c.
f.
6. Tính các tích phân sau:

a.

i.

b.

w.

s.

x.

t.
y.
u.
z.
7. Tính các tích phân sau:

a.
h.
b.
i.
c.
j.
d.
k.
e.
l.
f.
m.
g.
Trang 12


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II



Phương pháp tính tích phân của hàm hữu tỉ:
 Bậc của

Bậc của

: Chia đa thức tử cho mẫu.

q.
 Bậc của
Bậc của
thành tích và biến đổi theo cách sau:

r.
Trang 13

:

Phân tích mẫu


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

s.

t.

Đặc biệt:


d.

b.

e.

c.
f.
Trang 14


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II
Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh
g. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG
PHẦN
Phương pháp:

h.

Thứ tự ưu tiên:

i.
11.Tính các tích phân sau:
a.

j.

b.


a.

b.

Trang 15


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

k.

c.

l.
d.
m.
e.
n.
f.
o.
g.
p.
h.
q.
i.
r.
j.
s.


c.

i.

d.

j.

e.

k.

f.

l.
m.
n. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2:
Phương Pháp:
 Hàm có chứa

thì đặt

 Hàm có chứa

thì đặt

 Hàm có chứa
15.Tính các tích phân sau:



j.

l.
m.

16.Tính các tích phân sau:

a.

e.

b.

f.
g.

c.

h.

d.

i.
j. TÍNH TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
17.Tính các tích phân sau:

a.

e.


l.

s.
t.

m.
u.

n.

o.
18.Tính các tích phân sau (tổng hợp):

v.

a.

g.

b.

h.

c.

i.

d.


n.

e.

f.
o.
g.

p.

h.

q.

i.

r.

s.
t. §3.ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
u.
A- KIẾN THỨC CƠ BẢN:
v.
I.Tính diện tích hình phẳng
 Loại 1: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số
đường thẳng

.

Trang 20

Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số

đường thẳng
thể tích là:

, trục hoành và hai

quay quanh trục hoành tạo thành vật thể tròn xoay có

ad.
ae.
B- BÀI TẬP:
af.
1. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau đây:
a.

, trục hoành,

b.

và trục hoành.

c.
d.

và

và trục hoành.
, trục hoành, trục tung và



, trục Ox, Oy và
, trục
; trục Ox; x = 1; x = e.

i.
,
3. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:
a.

và

b.

và

c.

và

d.

và

e.
và
4. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:
a.
b.
c.


d.

,

và

.

.
.

và trục hoành.

e.

và

f.

và

g.

và

.
.
.


và tiếp tuyến của nó tại điểm có tung độ bằng – 2.
, tiệm cận ngang của (C),

và

và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
Trang 24

.


Bài Tập Toán 12 Học Kỳ II

d.

Trường THCS, THPT Phan Châu Trinh

, tiệm cận ngang và đường thẳng x = 3.

e.
và tiếp tuyến của (C) tại điểm
8. Tính thể tích các vật thể tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
đây quanh trục hoành:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.