PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ÂN THI
TRƯỜNG THCS ĐẶNG LỄ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên đề tài:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 7 GIẢI BÀI TẬP
ÁP DỤNG TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

MÔN: TOÁN

Người thực hiện: Nguyễn Thị Phú
Chức vụ:
Giáo viên
Đơn vị công tác: Tổ KHTN – Trường THCS Đặng Lễ

Năm học 2014 - 2015

1


2


Phần A. Mở đầu.
I. Đặt vấn đề
1. Thực trạng nghiên cứu.
Toán học là môn khoa học nó có vai trò khá quan trọng trong việc rèn luyện tư
duy sáng tạo cho học sinh. Toán học giúp chúng ta có cái nhìn tổng quát hơn, suy luận
chặt chẽ lô gíc. Học tốt môn toán giúp các em học tốt các môn học khác. Do đó mỗi em
học sinh cần học phải học tập tốt bộ môn toán.
Đại số là môn học mới đối với học sinh lớp 7. Các em còn có nhiều bỡ ngỡ, Giải

- Qua giảng dạy một số tiết ở học kì I, tôi nhận thấy đa số các em học sinh hiểu bài,
nắm vững kiến thức cơ bản và biết vận dụng các kiến thức đó vào làm được hầu hết các
bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập. Nhưng với đối tượng học sinh khá, giỏi thì
không chỉ dừng lại ở đó, mà còn phải làm được các dạng bài tập mở rộng và nâng cao.
- Thực tế tôi thấy học sinh chưa có phương pháp giải bài tập áp dụng tính chất dãy
tỉ số bằng nhau ở dạng khó. Khi gặp các bài toán ở dạng này các em thường lúng túng
và không biết cách làm.
3


Qua thực tế kiểm tra tôi nhận thấy số học sinh biết cách giải các bài tập nâng cao
ở dạng này rất thấp chỉ khoảng 9%. Trước tình hình học sinh như trên tôi đã có kế
hoạch xây dựng một chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính
chất dãy tỉ số bằng nhau”.
2. Biện pháp tiến hành và thời gian nghiên cứu.
Qua kinh nghiệm giảng dạy và được sự giúp đỡ của đồng nghiệp, thông qua
một số tư liệu tham khảo nhắc lại một số cơ sở lý thuyết và giải quyết một số bài tập ở
một số dạng, nhằm giúp các em thấy được sự bổ ích và đạt được kết quả tốt khi học
chuyên đề này.
Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau theo
các dạng chính sau:
- Dạng I: Tìm các giá trị của biến trong các tỉ lệ thức.
- Dạng II: Chia tỉ lệ.
- Dạng III: Chứng minh tỉ lệ thức.
- Đề tài này được áp dụng trong việc giảng dạy môn toán, cho học sinh lớp 7A và
bồi dưỡng học sinh giỏi năm học 2014 – 2015.
Phần B. Nội dung
I. Mục tiêu.
* Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:


x
⇒ = −3 ⇒ x = 5. ( −3) ⇒ x = −15
5
y
= −3 ⇒ y = −3.( −3) ⇒ y = 9
−3
Vậy: x = −15 ; y = 9 .
Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết.

x y
z
= =
và x + y − z = 10
8 12 15

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x y
z
x + y − z 10
= = =
= =2
8 12 15 8 + 12 − 15 5
4


⇒ x = 8.2 = 16 ; y = 12.2 = 24 ; z = 15.2 = 30
Vậy: x = 16 ; y = 24 ; z = 30 .
x y
Ví dụ 3: Tìm x, y biết: =


x
y
với 2 và nhân cả tử và mẫu của tỉ số
với 3 rồi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng
2
3

nhau để tìm x, y. z.
Giải: Ta có:

x y z 2x 3 y z
= = =
=
= . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 3 4 4 12 4
2 x 3 y z 2 x + 3 y + z 34
=
= =
=
=2
4
9 4
4+9+4
17
x
⇒ = 2 ⇒ x = 2.2 ⇒ x = 4
2
y
= 2 ⇒ y = 3.2 ⇒ y = 6

=
=
=
2
6
12
2 − 6 + 12
Ví dụ 5: Tìm x, y, z biết.

5


x − 2 y + 3z − 6 14 − 6
=
=1
8
8
x −1
⇒
= 1 ⇒ x −1 = 2 ⇒ x = 3
2
y−2
⇒
=1⇒ y − 2 = 3 ⇒ y = 5
3
z −3
⇒
=1⇒ z − 3 = 4 ⇒ z = 7
4
Vậy: x = 3 ; y = 5 ; z = 7

dụng cách làm ở ví 4.
Giải: Từ: 2 x = 3 y = 4 z ⇒

Giải: Từ: 7 x = 9 y ⇒

x y 10 x 8 y
= =
=
. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
9 7 90 56

10 x 8 y 10 x − 8 y 68
=
=
=
=2
90 56 90 − 56 34
x
⇒ = 2 ⇒ x = 9.2 ⇒ x = 18
9
y
= 2 ⇒ y = 7.2 ⇒ y = 14
7
Vậy: x = 18 ; y = 14 .
x y
= và x. y = 112
Ví dụ 8: Tìm x, y biết.
4 7

6

8
Vậy: x = −8 ; y = −14 hoặc x = 8 ; y = 14
Nhận xét: Ở bài này ta còn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
x y y z
Ví dụ 9: Tìm x, y, z biết. = ; = và x − 2 y + 3 z = 19
2 3 2 3
x y y z
Phân tích đề bài: Đưa hai dãy tỉ số = ; = về một dãy ba tỉ số bằng nhau bằng
2 3 2 3
cách biến đổi y ở hai dãy tỉ số về cùng mẫu sau đó làm giống ví dụ 4
Giải:
x y
x y
= ⇒ = 
x y z x 2 y 3z
2 3
4 6
=
⇒ = = = =
y z
y z  4 6 9 4 12 27
= ⇒ =
2 3
6 9 
x 2 y 3 z x − 2 y + 3 z 19
=
=
=
=1
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: =

a)

x y z
= = và x + y + z = 9
2 3 4

x y z
= = và x − 3 y + 4 z = 62
4 3 9
2x 3 y 4z
=
=
d)
và x + y + z = 49
3
4
5
b)

x y z
= =
và 5 x + y − 2 z = 28
10 6 21
Bài 3: Tìm x, y, z biết.
x 7 y 5
a) = ; =
và 2 x + 5 y − 2 z = 100
y 20 z 8
x −1 y − 2 z − 3
=

µ
µ
µ
µ
Vì ba góc A, B, C tỉ lệ với 7: 5: 3 nên ta có = =
7 5 3

µ +C
µ = 1800
Tổng ba góc của một tam giác bằng 1800 nên ta có: µA + B
Từ đó ta tìm được số đo các góc của tam giác,
Mà tổng của góc ngoài và góc trong tại một đỉnh của tam giác bù nhau.
Giải:
µ ,C
µ và
Gọi ba góc trong và góc ngoài của tam giác ABC lần lượt là: µA, B

(

µ ,C
µ < 1800
µA1 ; B
µ 1; C
µ 00 < µA, B
1

Theo bài ra ta có:

µA B
µ C

1
µ = 1800 − 360 = 1440
µ = 3.120 = 360 ⇒ C
C
1
µ :C
µ = 960 :120 0 :1440 = 4 : 5 : 6
⇒ µA : B
1

1

1

Vậy các góc ngoài tương ứng tỉ lệ với: 4 : 5 : 6 .

8


Ví dụ 2: Ba đội công nhân I, II, III phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg hàng từ kho
theo thứ tự đến ba địa điểm cách kho 1500m, 2000m, 3000m. Hãy phân chia số hàng
cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển.
Phân tích đề bài: Vì phân chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ lệ
nghịch với khoảng cách cần chuyển nên ta có: 1500a = 2000b = 3000c
Tổng số hàng cần chuyển đến ba kho là 1530 nên ta có: a + b + c = 1530 .
Giải:
Gọi số lượng hàng chuyển tới ba kho lần lượt là a, b, c ( a, b, c > 0 ) .
Theo bài ra ta có: 1500a = 2000b = 3000c và a + b + c = 1530
a b c
Từ: 1500a = 2000b = 3000c ⇒ = =

3 4

Từ 2 ( a + b ) = 28 ⇒ a + b = 24

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a b a + b 14
= =
= =2
3 4 3+ 4 7

⇒ a = 3.2 = 6 ; ⇒ b = 4.2 = 8
Vậy độ dài hai cạnh hình chữ nhật là 6cm và 8cm.
Ví dụ 4: Có 16 tờ giấy bạc loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng, trị giá mỗi loại
tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ.
Phân tích đề bài:
Gọi số tờ tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c
Vì giá trị mỗi loại tiền đều bằng nhau nên ta có: 2000a = 5000b = 10000c
9


Có 16 tờ giấy bạc các loại nên: a + b + c = 16
Giải:
Gọi số tờ tiền của loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c
Theo bài ra ta có: 2000a = 5000b = 10000c và a + b + c = 16
a b c
Từ: 2000a = 5000b = 10000c ⇒ = =
5 2 1
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c a + b + c 16

Theo bài ra ta có:

0

µ ,C
µ < 1800
< µA, B

)

µA B
µ C
µ
µ +C
µ = 1800
và µA + B
= =
1 2 3

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

µA B
µ C
µ µA + B
µ +C
µ 1800
= = =
=
= 300
1 2 3

của vườn sau khi hai lớp trên nhận được đem chia cho ba lớp 7C, 7D, 7E tỉ lệ với
1 1 5
: : . Tính diện tích vườn giao cho mỗi lớp.
2 4 16

Bài 5: Tính chiều dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi là 30m và 3 cạnh tỉ lệ với
4:5:6.
Dạng III: Dạng chứng minh tỉ lệ thức.
Có nhiều phương pháp chứng minh tỉ lệ thức. Sau đây là một số cách chứng minh
tỉ lệ thức áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Ví dụ 1:

a c
ac a 2 + c 2
Cho tỉ lệ thức = . với a, b, c, d ≠ 0 . Chứng minh:
=
b d
bd b 2 + d 2
Phân tích đề bài:

2

2

a c
a c a c 
ac a 2 c 2
ac a 2 + c 2
= ⇐ . = ÷ = ÷ ⇐
=

=
bd b 2 + d 2

(1)

Ví dụ 2:

( a − b ) = ab
a c
Cho tỉ lệ thức = . với a, b, c, d ≠ 0 và c ≠ d . Chứng minh:
2
b d
( c − d ) cd
2

Phân tích đề bài:

a c
a b a −b
a b  a −b 
ab ( a − b )
= ⇐ = =
⇐ . =
⇐
=
÷
b d
c d c−d
c d c−d 
cd ( c − d ) 2

2

ab
(đpcm)
cd

Ví dụ 3:
Cho

a+b c+d
a c
=
( a, b, c, d ≠ 0 và a ≠ b, c ≠ ± d ). Chứng minh rằng = .
a −b c−d
b d
11


Phân tích đề bài:

a+b c+d
a +b a −b
a b
a c
=
⇐
=
⇐ = ⇐ =
a−b c−d
c+d c−d

suy luận ngược để tìm ra hướng chứng minh. Khi chứng minh ta chứng minh theo
chiều xuôi. Khi chứng minh chú ý điều kiện có nghĩa của tỉ lệ thức.
Có:

a c
a b
a+b b
a+b c+d
= ⇐ Cần CM: = ⇐ Cần CM:
= ⇐ để CM:
=
b d
c d
c+d d
b
d

Giải:
Từ

a c
a b a +b
b a+b
c+d a+b
a+b c+d
= ⇒ = =
⇒ =
⇒
=
=

a +b c +d
a c
a b a +b
a a+b
a
c
⇒ =
⇒
=
Giải:
Từ: = ⇒ = =
(đpcm)
b d
c d c+d
c c+d
a+b c+d
Cho tỉ lệ thức

Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho a + d = b + c và a 2 + d 2 = b 2 + c 2 ( b, d ≠ 0 ) .
Chứng minh rằng bốn số a, b, c, d lập thành tỉ lệ thức.
a+2 b+3
a b
=
=
Bài 2: Cho tỉ lệ thức:
với a ≠ 2; b ≠ 3 . Chứng minh rằng
a −2 b−3
2 3


a2 + b2
= 2
c + d2

b)

2a + 5b 2c + 5
=
3a − 4b 3c − 4d

2005a − 2006b 2005c − 2006d
2012a − 2013b 2012c − 2013d
=
=
d)
2013a + 2014b 2013c + 2014d
2006c + 2007 d 2006a + 2007b
Bài 5: Cho b 2 = ac ; c 2 = bd với b, c, d ≠ 0 ; b + c ≠ d ; b3 + c 3 ≠ d 3
c)

12


3

a 3 + b3 − c3  a + b − c 
Chứng minh rằng: 3
=
÷
b + c3 − d 3  b + c − a 

0
7
23 18 60
4
14
1
3
áp dụng
Khi áp dụng
30
4
14 15 50 10 33
1
3
0
0
Phần C. Kết luận
I. Kết luận chung
Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây có kết quả
hữu hiệu cho việc học tập và giải toán. Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi và định
hướng phương pháp làm bài khi chưa có sự gợi ý của giáo viên, mang lại nhiều sáng
tạo và kết quả tốt từ việc giải toán rút ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân
tử.
II. Điều kiện, kinh nghiệm áp dụng
Vì lẽ đó với mỗi giáo viên nói chung và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khả
năng tiếp thu bài của các đối tượng học sinh để từ đó đưa ra những bài tập và phương
pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm được các bài tập, gây hứng thú học tập,
say sưa giải toán, yêu thích học toán. Từ đó dần dần nâng cao từ dễ đến khó, có được
như vậy thì người thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phương pháp giải toán, có nhiều bài
toán hay để hướng dẫn học sinh làm, đưa ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra

3. Bài tập nâng cao và các chuyên đề toán 7.
4. Bồi dưỡng toán 7.
5. Các chuyên đề bồi dưỡng HSG toán 7.
- Mục lục
Trang
Phần A. Mở đầu.
I. Đặt vấn đề
1. Thực trạng nghiên cứu.
2. Ý nghĩa và tác dụng.
3. Phạm vi nghiên cứu.
II. Phương pháp tiến hành.
1. Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn.
a. Cơ sở lí luận
b. Cơ sở thực tiễn
2. Biện pháp tiến hành và thời gian nghiên cứu.
Phần B. Nội dung
I. Mục tiêu.
II. Giải pháp thực hiện
1. Nội dung giải pháp
2. Khả năng áp dụng
3. Hiệu quả
4. Kết quả
Phần C. Kết luận
I. Kết luận chung
II. Điều kiện, kinh nghiệm áp dụng
III. Triển vọng phát triển
IV. Đề xuất kiến nghị.
- Danh mục các cụm từ viết tắt
+ THCS: trung học cơ sở
+ Cmr: Chứng minh rằng