Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
PHẦN A: MỞ ĐẦU
1. TÊN ĐỀ TÀI:
Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
2. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Toán học là môn khoa học nó có vai trò khá quan trọng
trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh. Toán học giúp chúng ta có cái
nhìn tổng quát hơn, suy luận chặt chẽ lô gíc. Học tốt môn toán giúp các em học
tốt các môn học khác. Do đó mỗi em học sinh cần học phải học tập tốt bộ môn
toán.
Đại số là môn học mới đối với học sinh lớp 7. Các em còn có nhiều bỡ
ngỡ, Giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau được vận dụng rất nhiều
trong chương trình đại số lớp 7, hay gặp trong các vòng thi Violimpic toán trên
mạng và thi học sinh giỏi toán hàng năm. Dạng toán này rất đa dạng đòi hỏi
người học phải có tư duy sáng tạo, phân tích tổng hợp và biết vận dụng kiến
thức đã học mới có thể giải được.
Để giúp học sinh làm tốt dạng toán: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
Đặc biệt là trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 7, nên tôi đã
mạnh dạn trình bày một đề tài mang tính kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh lớp
7 giải một số bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”.
3. PHẠM VI VÀ THỜI GIAN THỰC HIỆN:
- Đề tài này được áp dụng trong việc giảng dạy môn toán, cho học sinh lớp
7 và bồi dưỡng học sinh giỏi năm học 2013 – 2014.
- Thời gian thực hiện 20 tiết trong đó có 3 tiết kiểm tra.
B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:
1. KHẢO SÁT THỰC TẾ:
- Học sinh lớp 7A do tôi dạy toán gồm 33 em, nhìn chung các em ngoan, có
ý thức học tập, nhưng do sống ở nông thôn, điều kiện kinh tế chưa khá, bên cạnh
đó một số gia đình chưa quan tâm đúng mức tới việc học tập của các em, các em
có ít sách tham khảo, thời gian học còn ít. Do vậy số học sinh giỏi môn toán còn
hạn chế.
- Qua giảng dạy một số tiết ở học kì I, tôi nhận thấy đa số các em học sinh

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Dạng I: Tìm các giá trị của biến trong các tỉ lệ thức.
* Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
- Tính chất: Ta luôn có
a c a c a c
b d b d b d
+ −
= = =
+ −
- Tính chất mở rộng:
a c e a c e ma nc pe
b d f b d f mb nd pf
± ± ± ±
= = = =
± ± ± ±
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Ví dụ 1: Tìm x, y biết.

2 3
x y
=
và
20x y
+ =
Giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

20
4
2 3 2 3 5 5

− =
Phân tích đề bài: Ta phải viết tỉ lệ thức dưới dạng dãy tỉ số bằng nhau.
Giải:
Từ:
( )
: 3 :5
5 3 3 5
x y y x
x y
− = ⇒ = ⇒ =
− −
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

24
3
3 5 3 5 8
y x y x
−
= = = = −
− − − −

( )
3 5. 3 15
5
x
x x
⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
4

+ −

8.2 16x
⇒ = =

12.2 24y = =

15.2 30z
= =

Vậy:
16x
=
;
24y
=
;
30z
=
.
Nhận xét: Ơ ví dụ 1 và ví dụ 3 ta áp dụng ngay được tính chất dãy tỉ số bằng
nhau. Trong thực tế nhiều bài tập phải qua quá trình biến đổi mới có thể đưa
được về dạng để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Sau đây là một số
dạng và cách biến đổi.
Ví dụ 4: Tìm x, y, z biết.
2 3 4
x y z
= =
và.
2 3 34x y z


2 2.2 4
2
x
x x
⇒ = ⇒ = ⇒ =

2 3.2 6
3
y
y y
= ⇒ = ⇒ =

2 4.2 8
4
z
z z
= ⇒ = ⇒ =
Vậy:
4x
=
;
6y
=
;
8z
=
.
Ví dụ 5: Tìm x, y, z biết.
1 2 3


1
1 1 2 3
2
x
x x
−
⇒ = ⇒ − = ⇒ =2
1 2 3 5
3
y
y y
−
⇒ = ⇒ − = ⇒ =3
1 3 4 7
4
z
z z
−
⇒ = ⇒ − = ⇒ =
Vậy:
3x
=
;

2
90 56 90 56 34
x y x y
−
= = = =
−

2 9.2 18
9
x
x x⇒ = ⇒ = ⇒ =

2 7.2 14
7
y
y y= ⇒ = ⇒ =
Vậy:
18x
=
;
14y =
.
Ví dụ 7: Tìm x, y, z biết.
2 3 4x y z
= =
và
169x y z
+ + =
.
Phân tích đề bài: Ta đưa dãy đẳng thức

x x
⇒ = ⇒ = ⇒ =

13 4.13 52
4
y
y y
= ⇒ = ⇒ =

13 3.13 39
3
z
z z
= ⇒ = ⇒ =
Vậy:
78x
=
;
52y
=
;
39z =
.
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
7
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Ví dụ 8: Tìm x, y biết.
4 7
x y
=

= = =

2
2 2
16 4.16 64 8
4
x
x x x
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ±
Nếu
112
8 8. 112 14
8
x y y y
= − ⇒ − = ⇒ = ⇒ = −
−
Nếu
112
8 8 112 14
8
x y y y
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Vậy:
8x
= −
;
14y
= −
hoặc

2 3 4 6
4 6 9 4 12 27
2 3 6 9
x y x y
x y z x y z
y z y z

= ⇒ =


⇒ = = = = =


= ⇒ =


Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
8
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014

2 3 2 3 19
1
4 12 27 4 12 27 19
x y z x y z
− +
= = = = =
− +

1 4.1 4

Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến
đổi dãy tỉ số bằng nhau làm xuất hiện
2 2 2
; ;x y z
bằng cách bình phương các tỉ số
sau đó làm giống ví dụ 4.
Giải:
Từ:
2 2 2 2 2 2
2 2 3
3 4 5 9 16 25 18 32 75
x y z x y z x y z
= = ⇒ = = = = =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 2 2 2 2 2
2 2 3 2 2 3 100
4
18 32 75 18 32 75 25
x y z x y z
+ − −
= = = = =
+ − −

2
9.4 36 6x x
⇒ = = ⇒ = ±

2
16.4 64 8y y


Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
9
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Phân tích đề bài: Đưa hai dãy tỉ số
2 3
x y
=
;
4 9
x z
=
về một dãy ba tỉ số bằng
nhau giống ví dụ 8 rồi lập phương các tỉ số để xuất hiện
3 3 3
; ;x y z
sau đó áp
dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x, y, z.
Giải:
Ta có:
2 3 4 6
x y x y
= ⇒ =3 3 3
4 6 9 64 216 729
x y z x y z
⇒ = = ⇒ = =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

và
9z
= −
Ví dụ 12: Cho
a b c
b c a
= =
và
0a b c
+ + ≠
;
2012a
=
. Tính: b, c.
Phân tích đề bài: Vì
0a b c
+ + ≠
ta áp dụng ngay tính chất dãy tỉ số bằng
nhau để tìm giá trị của dãy tỉ số này rồi từ đó tìm ra giá trị của a, b, c.
Giải:
Vì
0a b c
+ + ≠
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1
a b c a b c
b c a b c a
+ +
= = = =

Giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1
a b a b
b c a c b c
−
= = = −
+ + −
và:
1
b c b c
a c a b c b
−
= = = −
+ + −
Vậy mỗi tỉ số đã cho bằng có giá trị bằng -1
Ví dụ 14: Tìm x biết.

2 1 3 2 2 3 1
5 7 6
x y x y
x
+ − + −
= =

( )
1
Phân tích đề bài: Ta nhận thấy tử số của tỉ số thứ ba bằng tổng hai tử số của hai
tỉ số đầu do đó, áp dung tính chất dãy tỉ số bằng nhau của hai tỉ số đầu để tìm x.

a)
6 9
x y
=
và
30x y− =
b)
19 21
x y
=
và
2 34x y− =

c)
4 5
x y
=
và
. 180x y =
d)
: 4 :5x y =
và
. 5x y =
e)
2 4
x y
=
và
2 2
. 4x y

9x y z+ + =

b)
4 3 9
x y z
= =
và
3 4 62x y z− + =

c)
10 6 21
x y z
= =
và
5 2 28x y z
+ − =

d)
2 3 4
3 4 5
x y z
= =
và
49x y z
+ + =

e)
9
7
x

2 108x y z
− + =
Bài 3: Tìm x, y, z biết.
a)
7
20
x
y
=
;
5
8
y
z
=
và
2 5 2 100x y z
+ − =
b)
1 2 3
2 3 4
x y z
− − −
= =
và
2 3 50x y z+ − =

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
12
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014

− −
= = = =
và
1 2 9
90t t t+ + + =
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
13
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Dạng II: Chia tỉ lệ.
I - Chú ý:
1) x, y, z tỉ lệ thuận với a, b, c
: : : :x y z a b c
⇔ =
( Hay
x y z
a b c
= =
)
2) x, y, z tỉ lệ nghịch với a, b, c
1 1 1
: : : :x y z
a b c
⇔ =
( Hay
ax by cz
= =
)
II – Bài tập:
Ví dụ 1: Chu vi của hình chữ nhật bằng 28 dm. Tính độ dài mỗi cạnh, biết rằng
chúng tỉ lệ với 3; 4.

và
( )
2 28a b
+ =
Từ
( )
2 28 24a b a b
+ = ⇒ + =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

14
2
3 4 3 4 7
a b a b+
= = = =
+

3.2 6a
⇒ = =
;
4.2 8b
⇒ = =
Vậy độ dài hai cạnh hình chữ nhật là 6cm và 8cm.
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
14
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có số đo các góc
µ µ
µ
, ,A B C

µ
, ,A B Cµ µ
µ
( )
0 0
0 , , 180A B C
< <

Theo bài ra ta có:
µ µ
µ
1 2 3
A B C
= =
và
µ µ
µ
0
180A B C+ + =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

µ µ
µ
µ µ
µ
0
0

, ,A B C
.
Vì ba góc
µ µ
µ
, ,A B C
tỉ lệ với 7: 5: 3 nên ta có
µ µ
µ
7 5 3
A B C
= =

Tổng ba góc của một tam giác bằng
0
180
nên ta có:
µ µ
µ
0
180A B C+ + =
Từ đó ta tìm được số đo các góc của tam giác,
Mà tổng của góc ngoài và góc trong tại một đỉnh của tam giác bù nhau.
Giải:
Gọi ba góc trong và góc ngoài của tam giác ABC lần lượt là:
µ µ
µ
, ,A B C
và
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội

µ
µ µ
µ
0
0
180
12
7 5 3 7 5 3 15
A B C A B C+ +
= = = = =
+ +

µ
0 0
7.12 84A⇒ = =

µ
0 0 0
1
180 84 96A⇒ = − =µ
0 0
5.12 60B = =

µ
0 0 0
1
180 60 120B

Giải:
Gọi số tờ tiền của loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c
Theo bài ra ta có:
2000 5000 10000a b c= =
và
16a b c+ + =
Từ:
2000 5000 10000
5 2 1
a b c
a b c
= = ⇒ = =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

16
2
5 2 1 5 2 1 8
a b c a b c+ +
= = = = =
+ +

5.2 10a
⇒ = =
;
2.2 4b
= =

1.2 2c
= =
Vậy số tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng, 10000 đồng lần lượt là 10 tờ, 4 tờ và

4 3 2
a b c
a b c= = ⇒ = =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1530
170
4 3 2 4 3 2 9
a b c a b c+ +
= = = = =
+ +

4.170 680a⇒ = =
;

3.170 510b
= =
;

2.170 340c
= =
Vậy số hàng cần chuyển tới ba kho A, B, C lần lượt là: 680 tạ, 510 tạ, 340 tạ.
Ví dụ 5: Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2: 3: 4. Hỏi ba chiều cao
tương ứng ba cạnh đó tỉ lệ với số nào.
Phân tích đề bài: Nếu gọi ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó là:
1 2 2
, ,h h h
.
Vì cạnh và chiều cao tương ứng của một tam giác là hai đại lượng tỉ lệ
nghịch nên ta có

1 2
6 4 3
h
h h
= =

Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
17
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014

⇒

1 2 3
: : 6: 4 :3h h h
=
Vậy ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó của tam giác tỉ lệ với
6: 4 :3
.
Ví dụ 6: Một lớp học có 35 em, sau khảo sát chất lượng số học sinh được xếp
thành ba loại: Giỏi, khá và trung bình. Số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3, số
học sinh khá và trung bình tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh mỗi loại.
Phân tích đề bài: Nếu gọi số học sinh giỏi, khá, trung bình của lớp đó lần lượt
là: a, b, c
( )
*
, ,a b c N
∈

Vì số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3 nên ta có:
2 3

a b c
b c b c

= ⇒ =


⇒ = =


= ⇒ =



Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

35
1
8 12 15 8 12 15 35
a b c a b c
+ +
= = = = =
+ +8.1 8a
⇒ = =
;
12.1 12b
= =
;

Từ
2 2 2
51a b
+ =

2 2
2601a b
⇒ + =
và
2 2
8 15 64 225
a b a b
= ⇒ =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 2 2 2
2601
9
64 225 289 289
a b a b
+
= = = =2
64.9 576 24a a
⇒ = = ⇒ =
;
2
225.9 2025 45b b

4
4 4
h h= =
và 4 giờ 45 phút
3 15
3
4 4
h h= =
Trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ
nghịch.
Từ tỉ số thời gian ta tìm được tỉ số vận tôc của hai xe là:
1 2
2 1
15
15
4
17
17
4
v t
v t
= = =
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
19
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Với cùng thời gian (Từ lúc xuất phát đến chỗ gặp nhau) vận tốc và quãng
đường là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có:
1 2
15 17
s s

2
t
và
2
s

Trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ
nghịch. Ta có:
1 2
2 1
15
15
4
17
17
4
v t
v t
= = =
Với cùng thời gian (Từ lúc xuất phát đến chỗ gặp nhau) vận tốc và quãng
đường là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
Ta có:
1 2 1 2 2 1
1 2
20
10
15 17 17 15 2
s s s s s s
v v
−

1
7
số gạo của kho A là:
1 8
7 7
a
a a
+ =
.
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
20
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Số gạo ở kho B sau khi xuất
1
9
số gạo của kho B là:
1 8
9 9
b
b b− =
.
Số gạo ở kho C sau khi xuất
2
7
số gạo của kho C là:
2 5
7 7
c
c c− =
Vì sau khi thêm vào kho A và xuất ở kho B và kho C thì số gạo của ba kho

c
c c− =
Theo bài ra ta có:
8 8 5
7 9 7
a b c
= =
và
20b a
− =
Từ
8 8 5
7 9 7 35 45 56
a b c a b c
= = ⇒ = =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

20
2
35 45 56 45 35 10
a b c b a−
= = = = =
−35.2 70a⇒ = =
;

45.2 90b = =
;

1,5 3 1
a b c =
và
38a b c
+ + =
Từ
40 20 30
: : : : 8: 2 :9
1,5 3 1 8 2 9
a b c
a b c
= = ⇒ = =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

38
2
8 2 9 8 2 9 19
a b c a b c+ +
= = = = =
+ +

8.2 16a
⇒ = =
;
2.2 4b = =
;
9.2 18c
= =
Ba xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu lần lượt là: 16 triệu đồng, 4 triệu
đồng bà 18 triệu đồng.

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Giải:
Gọi ba phân số cần tìm lần lượt là: a, b, c.
Theo bài ra ta có:
1 1
1
20 5
4
: : : :
1 3 7
a b c
=
và
25
5
63
a b c
+ + =
Từ:
1 1
1
1 1 1
20 5
4
: : : : : : : :
1 3 7 20 12 35
a b c a b c
= ⇒ =
= =
Vậy ba phân số cần tìm lần lượt là:
5
3
;
25
9
;
20
21
.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 64m. Tính độ dài mỗi cạnh biết
rằng chúng tỉ lệ với 3 và 5.
Bài 2: Tính chiều dài ba cạnh của một tam giác có chu vi là 30m và ba cạnh tỉ lệ
với 4: 5: 6.
Bài 3: Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ
lệ với 1: 2: 3.
Bài 4: Năm lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhận chăm sóc vườn trường có diện tích
2
300m
. Lớp 7A nhận 15% diện tích vườn, lớp 7B nhận
1
5
diện tích còn lại. Diện
tích còn lại của vườn sau khi hai lớp trên nhận được đem chia cho ba lớp 7C,
7D, 7E tỉ lệ với
1 1 5
: :
2 4 16

bình phương của ba phần đó là 9512. Tìm A.
Bài 11: Số tự nhiên A được chia thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 2; 4. Biết tổng
các bình phương của ba phần đó là 564. Tìm A.
Bài 12: Chia số A thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 2; 4. Tổng các lập phương
của ba số đó là 9512. Tìm A.
Bài 13: Tìm ba phân số, biết rằng tổng của chúng bằng
3
3
70
, các tử của chúng tỉ
lệ với 3: 4: 5, các mẫu của chúng tỉ lệ với 5: 1: 2.
Một số M được chia làm 3 phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ
thuận với 4 và 5; phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ nghịch với 5 và 3. Biết phần
thứ ba hơn phần thứ hai là 10. Tìm số M.
Thanh Hòa – Thanh Oai – Hà Nội
24
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2013 – 2014
Bài 14: Ba máy xay, xay được 350 tấn thóc. Số ngày làm việc của ba máy tỉ lệ
với 3: 4: 5, số giờ làm việc của ba máy tỉ lệ với 6: 7: 8, công xuất các máy tỉ lệ
nghịch với 5: 4:3. Hỏi mỗi máy xay được bao nhiêu tấn thóc.
Dạng III: Dạng chứng minh tỉ lệ thức.
Có nhiều phương pháp chứng minh tỉ lệ thức. Sau đây là một số cách
chứng minh tỉ lệ thức áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức
a c
b d
=
với
, , 0b c d ≠
. Và

Từ
a c a b a b
b d c d c d
+
= ⇒ = =
+

b a b c d a b
d c d d b
+ + +
⇒ = ⇒ =
+

hay:
a b c d
b d
+ +
=
(đpcm)
Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức
a c
b d
=
với
, , 0b c d ≠
. Và
;a b c d≠ − ≠ −
Chứng minh rằng:
a c
a b c d