Sư dơng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski trong gi¶ng d¹y m«n to¸n ë THCS
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
PHẦN I
ĐẶT VẤN ĐỀ
I . Lý do chän ®Ị tµi:
- Trong thời điểm hiện nay, chúng ta đang nỗ lực xây dựng và đẩy mạnh công
nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước nhằm tiến tới một xã hội văn minh hiện đại.
Muốn vậy con người phải có tri thức. Chính vì vậy Đảng ta đã xác đònh giáo dục là
quốc sách hàng đầu. Trong những năm gần đây, Đảng và nhà nước ta luôn quan
tâm đến giáo dục, từng bước có những cải cách giáo dục từ bậc mầm non đến đại
học và sau đại học nhằm đưa nền giáo dục nước nhà phát triển ngang tầm khu vực.
Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông,môn toán là môn học quan trọng,
là thành phần không thể thiếu của nền văn hóa phổ thông của con người mới. Môn
toán có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn
luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy.
Trong quá trình giải toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học sinh sinh giỏi
các cấp, chuyên đề về bất đẳng thức là một chuyên đề hay và lý thú chính vì vậy
mà nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp đặc biệt là
cấp THCS và kỳ thi vào lớp 10.
Trong chuyên đề về bất đẳng thức thì việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để
giải các loại toán và bài toán khác là khá hiệu quả thông qua đó mà lời giải được
đơn giản hơn, thu được kết quả nhanh chóng. Bất đẳng thức Bunhiacopski là một
bất đẳng thức kinh điển như vậy. Vì vậy nếu khai thác bất đẳng thức này vào việc
giải các bài toán khác thì có thể đem lại kết qua nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo
của học sinh.Với ý nghó như vậy tôi giới thiệu việc sử dụng bất đẳng thức
bunhiacopxki vào giải một số bài toán như : chứng minh các bất đẳng thức đại số
và hình học, hoặc giải một số bài toán cực trò đại số và hình học.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
1
Sư dơng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski trong gi¶ng d¹y m«n to¸n ë THCS

mới. Môn toán có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ
chung, rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy.
Trong quá trình giải toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học sinh sinh giỏi
các cấp, chuyên đề về bất đẳng thức là một chuyên đề hay và lý thú chính vì vậy
mà nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, đặc biệt là
cấp THCS và kỳ thi vào lớp 10.
- Đứng trước một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau song việc tìm ra
một lời giải hợp lý, ngắn gọn, thú vò và độc đáo là một việc không dễ thông qua đó
mà thu được kết quả nhanh chóng. Bất đẳng thức Bunhiacopski là một bất đẳng
thức kinh điển như vậy. Vì vậy nếu khai thác bất đẳng thức này vào việc giải các
bài toán khác thì có thể đem lại kết qủa nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo của học
sinh.
2. ĐỐI TƯNG PHỤC VỤ
đề tài này dùng để giảng dạy cho các học sinh tham gia thi học sinh giỏi lớp 8-9.
3. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
A. ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski ®Ĩ chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc
I. Chứng minh các bất đẳng thức đại số
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
3
Sư dơng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski trong gi¶ng d¹y m«n to¸n ë THCS
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Để chứng minh các bất đẳng thức có khi áp dụng ngay và cũng nhiều khi
phải biến đổi bài toán để đưa về trường hợp thích hợp rồi mới sử dụng. Sau dây là
3 kỹ thuật thường gặp:
 Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ và ngược lại.
 Dồn phối hợp.
 Kỹ thuật nghòch đảo.
1. Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ và ngược lại .
Ví dụ 1: Cho

1
2
1
ba
p dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
( )
22.
8
1
2
1
4
4
22
==+≥
ba
(đfcm)
Ví dụ 2: cho
3
4
)1()1()1(
≤−+−+−
ccbbaa
Chứng minh rằng:
41
≤++≤−
cba
Lờigiải:
Tư øgiả thiết ta có:


--------------------------------------------------------------------------------------------------------
41
≤++≤−⇔
cba
Ví dụ 3: cho x,y
R
∈
. Chứng minh rằng nếu x,y>0 và x+y=1 thì
2
25
)
1
()
1
(
22
≥+++
y
y
x
x
Lời giải:
Ta sử dụng
)(2)(
222
baba
+≤+
2
)(
2

+=+++≥+++
mà
4
1
4
1
4121
≥⇒≤⇒≥⇒≥+=
xy
xyxyxyyx
vậy
2
25
)41(
2
1
)
1
()
1
(
222
=+≥+++
y
y
x
x
2. Kỹ thuật dồn phối hợp
Ví dụ 1: Cho 3x-4y=7 Chứng minh rằng:
743

a
+
+
=
)(. qapcb
qapc
b
b
+
+
=
)(. qbpac
qbpa
c
c
+
+
=
Gọi S là vế trái ta có:
{ }
))(()()()()(
2
cabcabqpSqbpacqapcbqcpbaScba
+++=+++++≤++
(2)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
D¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng
5
Sư dơng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski trong gi¶ng d¹y m«n to¸n ë THCS
--------------------------------------------------------------------------------------------------------

+
≥⇒
3
(đpcm)
Ví dụ 3:
Cho
0
>≥≥
zyx
Chứng minh rằng:
222
222
zyx
y
xz
x
zy
z
yx
++≥++
(1)
Lời giải : Xét hai dãy số:
y
xz
x
zy
z
yx
,,
và

232323232323
222222
≥++−−−=
−−−++=−−−++=
zxyzxyxzzyyx
xyz
yzxyzxxzzyyx
xyzx
yz
z
xy
y
zx
y
xz
x
zy
z
yx
A
x
yz
z
xy
y
zx
y
xz
x
zy

x
y

0
>∀
i
y
Chứng minh:
Ta viết
∑ ∑∑ ∑∑∑
= == ===
=≥=
n
i
n
i
i
i
i
i
n
i
n
i
i
i
n
i
i
i