Bài tập Tích phân

Trần Sĩ Tùng
TP5: TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ

Câu 1.

1
4
3
x 
I    x 2e x 
 dx
1

x


0
1

1

3

4

 I   x 2e x dx  

x


2

x

2

4  x2



x2

1

1

dx .

2

2

+ Tính I 2  

1

 I2 

2


0

0

0

 I

x3
4  x2

2

dx  I1  I 2

e2  1
4

dx . Đặt t  4  x 2  I 2  3 3 

e2
61
3 3 
4
12
1

Câu 4.

3

 2

.

 e2 x .

x

+ Tính I 2  

3

6

Vậy: I  e2  3 

4  x2

1

6

Câu 3.

 2 
dt  4    
 3 4
0 1 t
2


Trang 34

16
3


Trần Sĩ Tùng

Bài tập Tích phân
2 2

 Đặt t  x  1  dx  dt I  

t  2t  2
t2

1

Câu 5.

3



I

x 2 1

x 3 .e



 Đặt t  1  x 2  dx  tdt  I   (t 2  1)et dt   t 2et dt  et
2

+ J   t 2et dt  t 2et
1

2
 J  (e2  e)
1

 2 2

2 2 t
2
  2te dt  4e2  e  2  tet   et dt   4e2  e  2(tet  et )
 1 1

1 1
1



Vậy: I  e2

x ln( x 2  1)  x 3

I 

dx



4

Câu 7.

I 

0

4

 I 



ln x  x 2  9  3 x 3
x2  9





ln x  x 2  9  3 x 3
x2  9

0
4

+ Tính I1  


dx  34


0



x 2  9  v  dv 

x
2

x 9





x2  9

dx  I1  3I 2 

ln2 9  ln2 3
 44 .
2

( x 3  1)ln x  2 x 2  1
dx
2  x ln x

I 
e

x2  9

x 2  9  u  du 

e

Câu 8.

x3

2

dx . Đặt

ln x  x 2  9  3 x 3

0

x2  9

dx . Đặt ln  x 
2

 I 2   (u2  9)du  (
3



x3
e3  1

+  x dx 
3 1
3
1
2

Trang 35

dx


Bài tập Tích phân

Trần Sĩ Tùng

e

e
e
1  ln x
d (2  x ln x )
e2
dx  
 ln 2  x ln x 1  ln
+ 
.
2  x ln x

2

(t 2  1)3
dt =
t
1

 I 

dx
 2tdt và ln3 x  (t 2  1)3
x

2 6

2
t  3t 4  3t 2  1
1
15
dt

(t 5  3t 3  3t  )dt   ln 2


t
t
4
1
1



dx



cos xdx

. Đặt t  sin x  I1 

 cos x   1  sin2 x

+ I1 

0




 du  dx
x 4 4 dx
 2 4 dx





1  I
cos x 0 0 cos x
4
cos x

x2
4

Câu 11. I 

ln(5  x)
dx   x 5  x .dx  K  H .
x2
1
1
4

4

 Ta có: I  

u  ln(5  x )
ln(5  x )
3

dx
dx . Đặt 
+ K
 K  ln 4
2
dv 
5
x

1

2

2

0

0

+ I1   x (2  x )dx   1  ( x  1)2 dx 
2

2

2

+ I 2   ln(4  x 2 )dx  x ln(4  x 2 ) 0  2 
0


2

(sử dụng đổi biến: x  1  sin t )

x2

dx (sử dụng tích phân từng phần)
2
4

x


I

2
x

1
ln
x

2
dx
 Đặt 
x

dv 
3
x

3
x 1
v  2 x  1
8

3 2
3

x 1
2t dt
1 

dv  (  )dx
x
x



1
x3 x
2
2

 1 1

1
63 1 2
 ln x  ln x   
 ln x  dx =  ln 2 
 ln 2
4
5
1
x
64
4 2
 4x


1  4x

 1

x

+ H   xe dx 
1

xe x 1e 

e

e

e

x

dx  ee (e  1)

1

e

e x

e x
e
e
dx  ee   dx  ee  J
x
x
1



u  x
du  dx


dv  cos x dx  v   1


sin3 x
2sin 2 x





2
1 2 dx
1  
1
1
1
1 2
  (  )  cot x  = .
 I =  x.
+ 
2  sin2 x
2 2 2 2
2
2 sin2 x 


sin x
1
I 

 Đặt: 
dv 
dx
v
2 cos2 x


cos3 x
2.cos2 x




4



0

1
2

4

dx





2
x
sin2 x
dx

 1  sin 2 x
 1  sin 2 x dx  H  K
0
0

2

 Ta có: I 

u  x
du  dx

dx
x
x


1

+ H
dx  



H 



x
  2 1
2 
tan  x     ln cos  x    
2
4  0  2
4  
4


0


+ K



2

2
sin x
cos2 x

dx


 2
4 0

0 2 cos2 x  



4
 1
Vậy, I  H  K   .
4 2
 2K 

Câu 19. I 





x (cos3 x  cos x  sin x )



1  cos2 x

0

dx


0
0


+ Tính K  

x.sin x

2
0 1  cos x



K

dx . Đặt x    t  dx  dt

(  t ).sin(  t )
2

0

1  cos (  t )



( x    x ).sin x

 2K  


2
0 1  cos



x

(  x ).sin x
1  cos2 x

K
dt

 1  t2 ,

2 1

Trang 38

dx

  sin x.dx

2 0 1  cos2 x

đặt t  tan u  dt  (1  tan2 u)du


Trần Sĩ Tùng


3

 Ta có: I  

x
sin2 x

2



. u 4 


4

2

4

4

3

dx
2
3

dx  


3



Vậy I 



(1  sin x )sin x

2

3



2

dx
 3
1  sin x 

+ K  



du 

x(1  sin x )  sin2 x



2
3



2

4

2

dx
dx
 3
 3 2


x
2
1  cos   x 
3 2 cos   
2

 4 2

 3 2




2
2 0
2 cos x
x



x

dx   3

sin2 x

dx  H  K
2 cos2 x
u  x
x

du  dx
dx  
dx . Đặt 
2
dv

v  tan x
cos x

cos2 x
2 cos2 x





1
 ln 2
2 3 2





1
1

1
dx   3 tan2 xdx   tan x  x  3   3  
0
2
2
3
2 0
2 cos2 x

Vậy: I  H  K 

1
1
    3  1 1
 ln 2   3   
 ( 3  ln 2)


Đặt u  2 x
 I  2 x 2 cos x   4 x cos xdx
1
dv  sin xdx v   cos x
1

u  4 x
du  4dx

Đặt 
. Từ đó suy ra kết quả.
dv

cos
xdx

v  sin x

Trang 39


Bài tập Tích phân

Trần Sĩ Tùng


2

1  sin x


cos
x
2 x
0
cos
2





2

2


x
x
2sin
.cos
2
sin x x
2
2 e x dx  tan x e x dx
+ Tính I1  
e dx  
 2
x
1  cos x

20

 v  tan
0
2 x
cos2
2 cos

2

2
2



Do đó: I  I1  I 2  e 2 .


Câu 24. I   2
0

cos x
x

e (1  sin 2 x )

dx


cos x


cos x
e

x



.





2

2

sin x
sin xdx


sin x  cos x 0 0 e x
2



0

sin xdx


1


 cos x.

e2


Câu 25. I 

4







1
e

x


2
0





2





cos xdx

0


e 2

e

x



1


e2

1  I 



2





4

 2I 





I 

(6 x  1)

6

6x  1

6

sin t  cos t
6t  1





dt 

5
  cos 4 x dx 
16

 8 8



4

5
.
32

sin 4 xdx

6



Câu 26. I 



2 x  1


6




6



sin xdx
x

2 1





0

0

4

2 sin xdx
x

2 1

 I1  I 2

2t sin 4 (t )






6





4

x



0

+ Tính I1 


6

  sin 4 xdx 
0

2 t  1

dt 

6

0

2

sin2 x
.sin x.cos3 xdx
Câu 28. I   e
0

 Đặt t  sin x  I 
2

11 t
1
e (1  t )dt  e (dùng tích phân từng phần)

20
2



Câu 29. I 

4

 ln(1  tan x )dx

0

Trang 41


sin6 x  cos6 x





sin x  cos x





I 

6

6t

6


Bài tập Tích phân

 Đặt t 

=

Trần Sĩ Tùng


0

0


4

ln 2  I 

2

 ln 1  tan t dt

0



 ln 2dt   ln(1  tan t)dt

 2I 

 1  tan t 
 ln 1  1  tan t dt =
0


8

= t.ln 2 04  I




2

2

2



2
cos x
1  sin x

 I   cos x.ln(1  sin x ) 2   cos x.
dx  0  
dx   (1  sin x )dx   1
1  sin x
1  sin x
2
0
0
0 0



Câu 31. I 

4


1
u  ln t
du  t dt
2

1
Đặt 

 I  2 1
ln 2
dv  dt
1
2
2


v
t
t


Trang 42

ln t
t2

dt .