Phơng pháp tọa độ...hitech Page 1 6/24/2013
Bn cú th cha hiu bit (hoc cha kp hiu bit) v vecto (hỡnh phng)
Khụng sao! Chỳng ta s cựng nhau li t u bi ti liu ny.
A. Đặt vấn đề:
I. mở đầu:
Để giải các bài tập hình học không gian ở lớp 11, vẽ hình đúng
và đẹp là yêu cầu có tính bắt buộc của cấu trúc một bài giải; Tìm
ra lời giải cho bài toán phụ thuộc rất nhiều vào việc chọn đ ợc một
hình vẽ hợp lý, dễ nhìn. Đáp ứng đ ợc yêu cầu này đòi hỏi học
sinh phải có đầy đủ các kiến thức cơ bản của môn hình học không
gian lớp 11; Thêm vào đó học sinh cũng cần nắm đ ợc các quy tắc
cơ sở và phải có một năng khiếu nhất định về hình họa. Nh ng đây
lại là một hạn chế còn phổ biến ở phần đông các em học sinh hiện
nay. Khả năng vẽ hình và sự t ởng tợng về hình khối không gian
của các em còn kém. Ph ơng pháp véc tơ và tọa độ một phần khắc
phục đợc các hạn chế trên đây. Hơn nữa, trình bày lời giải theo
phơng pháp này thờng theo một lợc đồ nhất định, đơn giản và dễ
nhớ. Tuy nhiên, chính điều này lại là một mặt hạn chế của ph ơng
pháp. Nghĩa là phơng pháp chỉ đợc sử dụng hữu hiệu trong
những dạng toán nhất định theo những dạng hình hình học cụ
thể . Bài viết này nhằm giới thiệu mặt u việt của nó; Giúp số đông
các em học sinh còn yếu về vẽ hình minh họa trong việc ôn tập và
ôn thi vàoĐại học, Cao đẳng. Phần lý thuyết và ví dụ minh họa
đợc trình bày theo hệ thống của sách giáo khoa hình học lớp 12,
phần bài tập tham khảo tác giả s u tầm từ các đề thi vào Đại học
và Cao đẳng hàng năm. Các bạn đồng nghiệp có thể lấy làm tài
liệu tham khảo.
Tác giả rất mong nhận đợc góp ý xây dựng của bạn đọc.
1
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 2 6/24/2013
II. Thực trạng vấn đề Đang đ ợc nghiên cứu
b. nội dung:
2
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 3 6/24/2013

nội dung cơ bản:

1. Tóm tắt lý thuyết về tọa độ véc tơ trong không gian:
1.1. Véc tơ trong không gian
1.2. Tọa độ trong không gian
1.3. Tích có hớng của hai véc tơ

2. Một số ứng dụng của các phép toán tọa độ trong không gian

3. Giải một số bài toán bằng phơng pháp tọa độ
3.1. Sơ lợc về phơng pháp tọa độ
(Nhận dạng bài toán và Lợc đồ bài giải)
3.2. Các bài toán và hớng dẫn lời giải.

4. Bài tập tham khảo

phụ trơng
p.1. Tóm tắt lý thuyết về phơng trình đờng thẳng và mặt phẳng
p.2. Các dạng bài toán về phơng trình mặt phẳng và đờng thẳng
3
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 4 6/24/2013

1. tóm tắt lý thuyết
về tọa độ trong không gian

AB
uuur
là hớng "từ A đến B", vectơ_ không quy ớc là cùng
chiều với mọi véc tơ

Độ dài của
AB
uuur
là độ dài đoạn thẳng AB, ký hiệu
AB
uuur
3. Hai véc tơ bằng nhau: Nếu chúng có cùng hớng và cùng độ dài
4. Xác định véc tơ:
+ Với mỗi véc tơ
v
r
và một điểm A, tồn tại duy nhất điểm B sao cho
AB
uuur
=
v
r
+ - - - - -- - - - - - - , tồn tại vô số các cặp điểm (A, B) sao cho
AB
uuur
=
v
r
5. Phép cộng, trừ hai véc tơ: ( Quy tắc 3 điểm )


6. Phép nhân một số với một véc tơ:
k.
v
r
=
w
ur
; (
w
ur
cùng chiều
v
r
nếu k

0, ngợc chiều nếu k < 0 và
w k v.=
ur r
)
7. Tích vô hớng của hai véc tơ:
( )
u v u v cos u v. . . ,
=
r r r r r r
8. Diện tích tam giác:
( )
( )
2
2 2
ABC

r
=
0
r
- Trờng hợp riêng:
u
r
//
v
r
,
u
r
và
v
r
cùng khác
0
r




k

R:
u
r
= k
v

v
r
, (cặp số a, b là duy nhất).
*Khái niệm riêng trong không gian:

Ba véc tơ đồng fẳng:
u
r
,
v
r
,
w
ur
Nếu chúng cùng nằm trên một mặt fẳng, hoặc trên các mặt fẳng song song
- Trờng hợp riêng:
+ Hai véc tơ bất kỳ thì đồng fẳng
+ Ba véc tơ, trong đó có hai véc tơ cùng fơng thì đồng fẳng
+ -----------, -------------- véc tơ
0
r
thì đồng fẳng
- Đ. lý1:
+ Nếu
u
r
,
v
r
,

ur
không đồng fẳng, thì mọi véc tơ
x
r
bất kỳ trong không
gian đều biểu diễn đợc qua chúng. Nghĩa là

a, b, c

R:
x
r
= a
u
r
+ b
v
r
+ c
w
ur
1.2. tọa độ trong không gian
* Các khái niệm vè tọa độ véc tơ, tọa độ điểm, độ dài véc tơ... Và
các phép toán cộng, trừ hai véc tơ, nhân một số với một véc tơ,
tích vô hớng của hai véc tơ,... Hoàn toàn t ơng tự nh tọa độ trong
mặt fẳng. Từ đây, các em có thể tự ôn tập lại các kiến thức về tọa
độ trong mặt fẳng.
I. Các định nghĩa:
1. Hệ tọa độ Đề-các :
Oxyz trong đó Ox, Oy, Oz là ba đờng thẳng vuông góc

j
r
+ c
k
r

5
z
x
y
O
k
i
j
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 6 6/24/2013

Véc tơ không:
0
r
= ( 0; 0; 0)

Tọa độ điểm: M = (a; b; c)

OM
uuuur
= (a; b; c)

Tọa độ véc tơ
MN
uuuur

=(x
2
; y
2
; z
2
)
1. Hai véc tơ bằng nhau :
u
r
=
v
r


1 2
1 2
1 2
x x
y y
z z
=


=


=

2. Cộng , trừ hai véc tơ :

,
v
r
= ( x; y; z )

k.
v
r
=
w
ur
( kx;
ky; kz)
4. Độ dài véc tơ :
v
r
= ( x; y; z )

v
r
=
2 2 2
x y z
+ +
5. Tích vô hớng của hai véc tơ:
u
r
.
v
r

.
+ +
+ + + +
1.3. tích có hớng
của hai véc tơ
* Đây là một phần kiến thức mới hoàn toàn khác với kiến
thức trong hình fẳng. Hơn nữa khái niệm này là cơ sở để tiếp tục
phát triển các kiến thức cơ bản của hình học giải tích trong không
gian. Vì vậy, yêu cầu đối với học sinh fần này cần nắm chính xác
định nghĩa khái niệm và kỹ năng tính nhanh tọa độ véc tơ có h -
ớng cùng với khả năng vận dụng các ứng dụng của nó trong giải
toán.
1. Định nghĩa:
Ta gọi tích có hớng của hai véc tơ:
u
r
=(x
1
; y
1
; z
1
)
và
v
r
=(x
2
; y
2

; ;
, ; ;
; ;

=


=


=


r
r r
r

6
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 7 6/24/2013
2. Tính chất:
1. Hai véc tơ cùng fơng:
u
r
//
v
r


u v,


u
r
.
v
r
.sin

. Trong đó

là góc giữa hai véc tơ
u
r
và
v
r


2. một số ứng dụng
của các phép toán tọa độ
* Phần này đ ợc trình bày một cách tóm tắt theo kiểu liệt kê,
những ứng dụng của các phép toán tọa độ d ới dạng công thức đã
đợc công nhận mà không chứng minh. Mỗi ứng dụng có kèm theo
một ví dụ minh họa trực tiếp, có lời giải hoặc h ớng dẫn cụ thể . Ví
dụ đơn giản, lời giải ngắn gọn , dễ hiểu và phù hợp với mọi đối t -
ợng học sinh
2.1. Tính độ dài đoạn thẳng :

MN
=
( ) ( ) ( )

( )
1 2 k; ;

,
IN
uur
=
( )
3 2 4 k; ;

.
IM = IN

1+ 4 + k
2
= 9 + 4 +(4+k)
2

k =
3


I =
( )
0 0 3; ;


2.2. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng hoặc hai đ ờng thẳng song
song:
A, B, C thẳng hàng


(

1:5:5)

đpcm
b) Ta có
AB
uuur
(1; 3;

1),
CD
uuur
( 4; m + 2; 2n

4), với A, B, C không thẳng
hàng.
7
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 8 6/24/2013
Vậy AB//CD


4
1
=
m 2
3
+
=


Oz

M( 0; 0; m)

AB
uuur
= (1; 3;

1),
AM
uuuur
= (

1; 2; m).
AB

AM

AB
uuur
.
AM
uuuur
= 0



1 + 6



1; y+2; z ).
O' là hình chiếu của O trên (ABC)

AB
uuur
,
AC
uuur
,
AO'
uuuur
cùng vuông góc
OO'
uuuur
(*)

( ) ( )
2
x 3y z 0
x 5y 5z 0
x x 1 y y 2 z 0.

+ =

+ + =


+ + + =


(d).
Trong đó (d) là đờng thẳng qua O và vuông góc với mf(ABC). Tọa độ O'
thỏa mãn hệ hai phơng trình (d) và (ABC).
2.4. Tính diện tích tam giác :

áp dụng tính chất 3. của tích có hớng
đối với hai véc tơ
AB
uuur
và
AC
uuur
của
ABC

.

Diện tích
ABC

là : S =
1
AB AC
2
,uuur uuur

Ví dụ : Cho A = (1;

1)


OA OB,uuur uuur
= ( 2; 1; 5 ).
Vậy: S
OABV
=
1
OA OB
2
,uuur uuur
=
2 2 2
1
2 1 5
2
+ +
=
30
2
(đvdt)
b) C



là :
S =
1
CA CB
2
,uuur uuur
=
( ) ( )
2 2
2
1
1 1 a 5 3a
2
+ +
=
2
1
10a 32a 27
2
+
.
S đạt min

a =
8
5

ữ

cos
ã
ACB
= cos
( )
CA CB,
uuur uuur
=
6
2
25
9 4
4 1 1
25 25
.

+ + +
< 0

ã
ACB
tù.
2.5. Tính thể tích hình hộp:
Hình hộp ABCD.A'B'C'D', đờng cao AH ,



uuur uuur
.
AA'
uuuur
.
cos

=
AB AD AA, . 'uuur uuur uuuur

Hệ quả: Thể tích tứ diện ABCD:

ABCD
1
V AB AC AD
6
, .

=

uuur uuur uuur
Ví dụ 1: Cho A(1;


AB
uuur
=(1; 3;

1)

AC
uuur
=(2; 4; 1)

AB AC,uuur uuur
= (7;

3;

2),
AD
uuur
=(

1; 5; 0)


AB AC,uuur uuur

.
AM
uuuur
=
7 3m 6

ABCM
V
= 10

13 + 3m
= 60

m =
47
3
hoc
73
3



3. một số bài toán
Giải bằng phơng pháp tọa độ
3.1 L ợc đồ b ớc giải:

B ớc 1: Chọn hệ trục tọa độ:
+ Chọn, hoặc tạo ra trong hình vẽ đã cho 3 đờng thẳng đồng quy ( tại O), đôi
một vuông góc với nhau. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz
+ Trên 3 trục Ox, Oy và Oz lấy tơng ứng 3 điểm có dạng A(a; 0; 0), B(0; b; 0)

Phơng pháp tọa độ...hitech Page 11 6/24/2013
5. Tính diện tích tam giác BCD
6. Tính khoảng cách: a) Từ A đến mf(BCD)
b) Từ B đến đờng thẳng CD
c) Giữa hai đờng thẳng AB và CD
d) Độ dài đờng phân giác trong góc A của
ABCV
7. Tìm tọa độ điểm E nếu:
a) ABCE là hình bình hành
b) E là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
c) E là tâm đờng tròn ngoại tiếp
ABCV
d) E thuộc mf (Oxy) và cách đều A, B, C
8. Tìm tập hợp điểm M thỏa:
MA MB MC MD 4+ + + =
uuuur uuur uuur uuuur
Chú ý:
Bài toán này không hoàn toàn theo lợc đồ chung của phơng pháp tọa độ.
Dụng ý là cho việc thực hành trực tiếp các công thức, các phép toán cơ bản của
tọa độ đã nêu ở phần trên!
h ớng dẫn giải:
1. Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng fẳng (

AB AC,uuur uuur

AD
uuur
=

5 + 24 + 4 = 23

0

đpcm.
(A, B, C, D không đồng fẳng

D

0 )
2. Tính cosin góc:
a)
ã
ABC
= góc
( )
BA BC,
uuur uuur
,
( )
BA 2 3 2; ;
uuur
v
( )
4 4 1BC ; ;=
uuur

( )
cos AB CD,
uuur uuur
=
AB CD
AB CD
.
.
uuur uuur
uuur uuur
=
17
646

c) Góc giữa hai mặt phẳng bằng hoặc bù góc giữa hai véc tơ pháp tuyến
1
n
uur
và
2
n
uur
của hai mặt fẳng ấy
11
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 12 6/24/2013
1
n
uur
=
AB AC,

+ + + +
=
59
12474
d) Tính cosin góc nhị diện (C,AB,D)

Xác định góc nhị diện :

= (C,AB,D)
+ Dựng mf(P), (Q) lần lợt qua C, D và

(AB)
+ Dựng E = (AB)
I
(P), F = (AB)
I
(Q)


( )
EC FD, =
uuur uuur

Tính cosin nhị diện:
( )
cos cos EC FD, =
uuur uuur
+
( )
AB 2 3 2; ;=


t =
5
17


E =
27 49 10
17 17 17
; ; ữ

,
Tơng tự: F =
7 2 24
17 17 17
; ;


ữ
24 2 27
EC
17 17 17
; ;



Cách khác:
5
0
1 22
; ; , .
A B
x kx
E EC AB k
k


= =
ữ


uuur uuur
...
3. Tính sin góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng
( )
BC 4 4 1; ;=
uuur
( )
BD 1 1 3; ;=
uuur

n
r
=
BC BD,

Thể tích tứ diện ABCD là:
ABCD
1
V AB AC AD
6
, .

=

uuur uuur uuur
=
23
6
(đvtt)
5. Tính diện tích tam giác BCD
áp dụng kết quả câu 3:
BC BD,uuur uuur
=
( )
13 11 8; ;
.
12
A
B
C
D
E

( )
( )
ABCD
BCD
3V
d A BCD
S
/ =
=
23
354
.

Cách 2:
+ mf(BCD): Qua B(

1; 1; 2) và có vtpt là
BC BD,uuur uuur
=
( )
13 11 8; ;
.

Phơng trình (BCD):
( ) ( ) ( )
13 x 1 11 y 1 8 z 2 0
+ + + =

=
2 2 2
354 177
19
3 5 2
=
+ +

Cách khác:
Gọi (P) là mặt phẳng qua B,

CD, H =
P CD( ) ( ).I
Ta có:
d B CD( / )
= BH.
(P):
( ) ( ) ( )
3 x 1 5 y 1 2 z 2 0
+ + =
(1)
(CD):
x 3 y 3 z 1
3 5 2
+
= =

(2). Tọa độ H thỏa (1) và (2)

H


=uuur uuur uuur
uuur uuur

( )
AB 2 3 2; ; ,
uuur
( )
CD 3 5 2; ;
uuur
và
( )
AC 2 1 1; ;=
uuur


( )
AB CD 16 10 1, ; ;

=

uuur uuur
,

AB CD,
d) Độ dài đờng phân giác trong góc A của tam giác ABC

Hớng dẫn: Gọi AM là đờng phân giác trong góc A của tam giác ABC,

AB
MB MC
AC
.=
uuur uuur

Tọa độ M

Độ dài AM

Cách khác:
2 2
2 2
cos . .cos
a
A A
bc AB AC
l
b c AB AC
= =
+ +
. Ta cần tính
2
cos
A
, không đơn giản!

1)
b) E là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (1). Giả sử E(x; y; z)
(1)

AE = BE = CE = DE

AE
2
= BE
2
= CE
2
= DE
2

151 57 77
E
46 46 46
; ;

=
ữ

c) E là tâm đờng tròn ngoại tiếp
ABCV

Hớng dẫn:
( ) ( )
E d mf ABC= I
. (d) là đờng thẳng qua tâm I mặt cầu

M

(G;1) là mặt
cầu tâm G, bán kính 1

Cách 2:
14
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 15 6/24/2013
Giả sử M(x; y; z).Ta có:
( )
MA MB MC MD 3 4x 2 4y 2 4z; ;+ + + =
uuuur uuur uuur uuuur
.
(1)

2 2 2
3 1 1
x y z 1
4 2 2

+ + + =
ữ ữ ữ

. (phơng trình mặt cầu)
Bài 2:
Chứng minh các tính chất trong tứ diện vuông OABC ( vuông tại O )
1. H

mf(ABC) , OH


+
2
1
OC
4.
ABC

có 3 góc nhọn
5. cos
2

+ cos
2

+ cos
2

= 1; Trong đó

,

,

lần lợt là góc hợp bởi các mặt fẳng
(OBC), (OCA), (OAB) với mf(ABC)
h ớng dẫn giải:
Không mất tổng quát ta có thể chọn hệ tọa
độ Oxyz sao cho: A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và
C(0; 0; c); a, b, c >0
1. Nếu H


AH BC BH CA 0. .
= =
uuur uuur uuur uuur

H trực tâm
ABCV
.
Ngợc lại, chứng minh tơng tự
2.
( )
AB a b 0; ;
uuur

( )
AC a 0 c; ;
uuur
( )
AB AC bc ca ab, ; ;

=

uuur uuur

S
2
ABCV
=
2
1

x
b
c
a
O
B
C
A
D
H
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 16 6/24/2013

OH =
( )
d O ABC/( )
=
2 2 2 2 2 2
abc
b c c a a b+ +


2 2 2 2
1 1 1 1
OH a b c
= + +
=
2
1
OA
+

vtpt của mf(OBC) là
OA
uuur
( )
a 0 0; ;


cos
2

=
2 2
2 2 2 2 2 2
b c
b c c a a b
+ +
.
Tơng tự: cos
2

=
2 2
2 2 2 2 2 2
c a
b c c a a b+ +

và cos
2

=

và
( )
AD 0 a a' ; ;=
uuuur

A C AB A C AD 0' . ' ' . '
= =
uuuur uuuur uuuur uuuur
.

đpcm
2. Tọa độ G thỏa mãn hệ tơng giao của đờng thẳng (A'C) và mf(AB'D'):

x a t y a t z 0 t
x y z 0
, ,= + = + =


+ =


a a 2a
G
3 3 3
; ;

=
ữ



B
A'
D
A
O
O'
G1
G
Phơng pháp tọa độ...hitech Page 17 6/24/2013
( ) ( )
( )
cos DA C ABB A' , ' '
=
AD AD
AD AD
'.
'.
uuuur uuur
=
2
a 1
a a 2 2.
=

45
=
o


Nhận xét:


,
k k
N a 0
2 2
; ;


ữ
k k
MN a k 2
2 2
; ;


=
ữ

uuuur


2 2 2
MN 3k 2 2ak a
= +
.
Vậy MN ngắn nhất


BC BA, ' .uuur uuuur
MN 0=
uuuur
(1)
Mặt khác N

(BD), (BD) cắt mf(A'D'CB) tại B

N

N

mf(A'D'CB), (2)
Từ (1) và (2)

MN// mf(A'D'CB). đpcm.
3. Khi MN ngắn nhất

k =
a 2
3
. Khi đó
MN
uuuur
=
a a a
3 3 3

BD

đpcm.
C(a; a; 0)

A C'
uuuur
(a; a; - a) = 3
MN
uuuur
, N

mf(A'D'CB)

MN// AC. đpcm
Bài 5: (Thi thử ĐH. Khối A, Lam Sơn 2005)
Hình chóp S.ABCD, đáy hình thoi,

BAC
=
60
o
, O là giao của AC và BD,
SO

mf(ABCD). M là trung điểm SC, K thuộc đoạn BM sao cho
BK
BM
=
2