Phương pháp giải toán thi đại học
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Ta có thể sử dụng các tính chất của hàm số để giải một số dạng
toán như: số nghiêm của một phương trình ; chứng minh hệ phương trình
có nghiêm ; tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất của một hàm số, . . ..
Hãy xét vài ví dụ sau :
Ví dụ : ( Câu IV.2_2006D)
Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm
duy nhất:
ln(1 ) ln(1 ) (1)
(2)
x y
e e x y
y x a

− = + − +


− =


Bài giải : Điều kiện : x > -1 và y > -1
Rút y từ (2) và thay vào (1) ta có phương trình :
f(x) = e
x+a
–e
x
+ln(1+x) – ln(1+a+x) = 0
Khi đó : f’(x) = e
x
(e

=(x+1)
2
với điều kiện x ≥ 0.
Với 0≤ x ≤ 1 thì VT < 1 và VP ≥ 1 nên (1) vô nghiệm.
Do vậy ta chỉ xét khi x ≥ 1.
Xét hàm số f(x) = x
5
–x
2
-2x -1 với x ≥ 1.
Đạo hàm f’(x) = 5x
4
-2x -2 = 2x(x
3
-1) + 2(x
4
-1) + x
4
> 0 với

moi x ≥ 1
Mặït khác : f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên miền xác đònh của
nó ; f(x) luôn đồng biến trên (1 ; +
∞
) và lại có f(1) .f(2) <0
Vậy phương trình (1) luôn có duy nhất 1 nghiệm.
Nhận xét: Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có đúng một nghiệm
x∈D, ta theo 2 bước sau :
Bước 1 :Chứng tỏ f(x) = 0 có nghiệm x
0

5
-5x -5 = 0 có duy nhất một nghiệm.
Bài giải : Đặt f(x) = x
5
-5x -5 thì f(0) = -5 < 0 và
lim ( ) và lim
x x
f x
→+∞ →−∞
= +∞ = −∞
Do vậy tồn tại a sao cho f(a) > 0. Khi đó: f(0) . f(a) < 0
Vì f(x) là hàm số liên tục nên có x
0
sao cho f(x
0
) = 0
Để chứng minh f(x)=0 có duy nhất một nghiệm ta sẽ chứng minh
f(x
1
).f(x
2
) >0 với x
1
và x
2
là các điểm cực trò của y =f(x).
Thật vây ; ta có : f’(x) = 5(x
2
+1)(x-1)(x+1) nên f’(x)=0 khi x=1 ; x=-1
Ta có f(-1).f(1) = (-1).(-9)>0 nên hai diểm cức trò cuta y=f(x) nằm cùng

f x x x
x
→∞ →∞
+
= − = −∞
nên phương trình f(x) = 0 có 1 nghiệm dương duy nhất.
Ví dụ : (Câu V.2004A)
Cho tam giác ABC không tù thoả mãn điều kiện :
cos2 2 2cos 2 2cos 3 (1)a B C
+ + =
Tính ba góc của tam giác ABC.
Bài giải : Từ giả thiết ABC là tam giác không tù, ta có :
0< A< π/2 ⇒ 0< A/2 < π/4 ⇒ 0 < sin(A/2) ≤
1
2
Ta có : (1) ⇔ 1- 2sin
2
A + 2√2 . ( cosB + cos C) = 3
⇔ -sin
2
A + 2√2 .sin(A/2).cos[(B-C)/2] =1 (2)
Lại có : 2√2 .sin(A/2).cos[(B-C)/2] ≤2√2 .sin(A/2) (3)
Từ (2) và (3) ta ⇒ -sin
2
A + 2√2 .sin(A/2) - 1 ≥ 0 (4)
Đặt t = sin(A/2) thì (4) rs -4t
2
(1-t
2
) + 2√2.t -1 ≥ 0 (4’)

1
6
< t <
1
2
hay f’ (t) đồng biến khi
1
6
< t <
1
2
Từ đó : f’(t) ≥ f(
1
6
) > 0 nên f(t) đồng biến khi 0 < t ≤
1
2
Suy ra : f(t) ≤ f(
1
6
) = 0
Do vậy (5) chỉ xảy ra ⇔ f(t) = 0 ⇔ t =
1
2
⇔ sin(A/2) =
1
2
⇔ A = π/2 (6)
Thay (6) vào (2) ta có cos[(B-C)/2]= 1 ⇔ B=C= π /4
Vậy các góc của tam giác ABC là + A = π /2 ; B=C= π /4

4
1 x−
= 2 – t
2
Và phương trình đã cho trở thành : m(t+2) = 2 – t
2
+t (2)
Xét hàm số : f(t) =(-t
2
+t +2) / (t+2) thì f’(t) = -t(t+4) /(t+2)
2
< 0 ∀ t ∈
(0;√2)
Suy ra : f(t) nghòch biến trên [0 ; √2]
và hàm số f(t) có tập giá trò là [f(√2) ; f(0)]=[√2-1 ; 1 ] (3)
Lưu Phước Mỹ 22/10/2 bùi thò xuân bmt
3
Phương pháp giải toán thi đại học
Mặt khác phương trình (2) có nghiệm ⇔ m thuộc tập giá trò của hàm
f(t)
hay m ∈ [√2-1 ; 1 ] và đó là tất cả các giá trò của m cần tìm để
phương trình đã cho có nghiệm.
Nhận xét 3 : Cần đổi biến để chuyển phương trình (1) thành dạng f(t)
= m đơn giảin hơn. Để xác đònhm sao cho phương trình f(t) = m có
nghiệm với t thuộc miền D nào đó, ta sử dụng công cụ đạo hàm để
tìm được TÂÏP GIÁ TRỊ của f(t) với t ∈ D, từ đó tìm được các giá trò
của m cần tìm.
Cần chú ý để khỏi mắc sai lầm ở điều kiện (*) cho biến mới t nên
dẫn đến kết quả sai
Luyện tập:Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

2
1
1
y
y
−
+
f’(y) = 0 ⇔ y=
1
3
Từ bảng biến thiên của hàm số, ta có min A = 2 +
3
khi (x;y) =(0;
1
3
)
Lưu ý : Khi tìm GTLN-GTNN mà biểu thức chỉ phụ thuộc một biến số
thực, ta có thể sử dụng công cụ đạo hàm, khảo sát sự biến thiên
để từ đó tìm ra tập giá trò và các giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của
hàm số.
Ví dụ: ( Dự bò TSDH 2004)
Cho hàm số f(x)= e
x
- sinx+
2
2
x
. Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số
và chứng minh rằng phương trình f(x)= 3 có đúng 2 nghiệm.
Lưu Phước Mỹ 22/10/2 bùi thò xuân bmt

0
Nhờ bảng biến thiên, ta thấy GTNN của f(x) là 0 và do đó phương trình
f(x) = 3 có đúng 2 nghiệm.
Ví dụ: ( Dự bò TSDH 2004)
Gọi (x; y) là nghiệm của hệ phương trình:
2 4
3 1
x my m
mx y m
− = −


+ = +

(với m là tham số)
Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức: A= x
2
+ y
2
- 2x, khi m thay đổi.
Bài giải :
Ta có :
2 4
3 1
x my m
mx y m
− = −


+ = +

− +
=


+

+ +

=

 +
Do đó : A = x
2
+ y
2
-2x =
2
2
19 4 1
1
m m
m
− +
+
= f(m)
Khảo sát hàm số A = f(m) ta có :
f’(m) =
2
2 2
4( 9 1)

f’(m) + 0 - 0 +

f(m) 10+
85 19
Vậy : Max A = 10+
85
khi x =
9 85
2
− −
Lưu Phước Mỹ 22/10/2 bùi thò xuân bmt
5