- Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật hằng ngày.Truy cập tải ngay!
DETHITHU.NET

CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
I. Đònh nghóa
Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M

De

trên đường tròn lượng giác mà sđ AM = β với 0 ≤ β ≤ 2π
Đặt α = β + k2π,k ∈ Z
Ta đònh nghóa:

Th

sin α = OK
cos α = OH
sin α
với cos α ≠ 0
tgα =
cos α
cos α
với sin α ≠ 0
cot gα =
sin α

II. Bảng giá trò lượng giác của một số cung (hay góc) đặc biệt
Góc α
Giá trò

( )


1

3

||

1

3
3

0

( )

iTh

cosα

0

π
30o
6
1
2

1
0

sin 2 α

IV. Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π ; phụ chéo)
a. Đối nhau: α và −α

sin ( −α ) = − sin α
cos ( −α ) = cos α

tg ( −α ) = −tg ( α )

cot g ( −α ) = − cot g ( α )

www.DETHITHU.NET
Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để cùng học: />

- Chia s THI TH THPT QUC GIA - TI LIU ễN THI cp nht hng ngy.Truy cp ti ngay!
DETHITHU.NET
b. Buứ nhau: vaứ

sin ( ) = sin

cos ( ) = cos
tg ( ) = tg

De

cot g ( ) = cot g

c. Sai nhau : vaứ +



e.Sai nhau



tg + = cot g
2



cot g + = tg
2


et
u.N

iTh



sin = cos
2



cos = sin
2



sin ( a ± b ) = sin a cos b ± sin b cosa
cos ( a ± b ) = cosa cos b ∓ sin asin b
tga ± tgb
1 ∓ tgatgb

Th

tg ( a ± b ) =

VI. Công thức nhân đôi

sin 2a = 2sin a cosa

iTh

cos2a = cos2 a − sin 2 a = 1 − 2sin 2 a = 2 cos2 a − 1
2tga
tg2a =
1 − tg2a
cot g2a − 1
cot g2a =
2 cot ga

VII. Công thức nhân ba:

sin3a = 3sin a − 4sin3 a

cos3a = 4 cos3 a − 3cosa
1
(1 − cos2a )

1 − t2
cosa =
1 + t2
2t
tga =
1 − t2

sin a =

De

X. Công thức biến đổi tổng thành tích

a+b
a−b
cos
2
2
a+b
a−b
cosa − cos b = −2sin
sin
2
2
a+b
a−b
sin a + sin b = 2 cos
sin
2
2

cosa.cos b =

Ta có:

et
u.N

Bài 1: Chứng minh

sin 4 a + cos4 a − 1 2
=
sin 6 a + cos6 a − 1 3

sin 4 a + cos4 a − 1 = ( sin 2 a + cos2 a ) − 2sin 2 a cos2 a − 1 = −2sin 2 a cos2 a
2

Và:

sin 6 a + cos6 a − 1 = ( sin 2 a + cos2 a )( sin 4 a − sin 2 a cos2 a + cos4 a ) − 1
= sin 4 a + cos4 a − sin 2 a cos2 a − 1

= (1 − 2sin 2 a cos2 a ) − sin 2 a cos2 a − 1
= −3sin 2 a cos2 a

www.DETHITHU.NET
Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để cùng học: />

- Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật hằng ngày.Truy cập tải ngay!
DETHITHU.NET


.
sin x
sin 2 x
2 (1 − cos2 x ) 2sin 2 x
2
(với sin x ≠ 0 )
⇔A=
=
=
3
3
sin x
sin x sin x
1 3
Ta có: sin 2 x = 1 − cos2 x = 1 − =
4 4
π
Do: < x < π nên sin x > 0
2
3
Vậy sin x =
2
2
4
4 3
Do đó A =
=
=
sin x
3

Ta có: B =

2
cot gx + 1
+
tgx − 1 cot gx − 1

www.DETHITHU.NET
Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để cùng học: />

- Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật hằng ngày.Truy cập tải ngay!
DETHITHU.NET

1
+1
2
2
1 + tgx
tgx
⇔ B=
+
=
+
tgx − 1 1 − 1 tgx − 1 1 − tgx
tgx

De
⇔ B=

2 − (1 − tgx ) 1 − tgx

1
=
− 2 − cot g2 b cot g2 c
2
sin c sin b
= cot g2 b 1 + cot g2 c − 1 + cot g 2 b − cot g 2 b cot g2 c = −1 (1)

(

) (

)

et
u.N

iTh

2
1 + cosa ⎡ (1 − cosa ) ⎤
*
⎢1 −
⎥
2sin a ⎢
sin 2 a ⎥
⎣
⎦
2
1 + cosa ⎡ (1 − cosa ) ⎤
=

Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để cùng học: />

- Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật hằng ngày.Truy cập tải ngay!
DETHITHU.NET
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA,tgB,tgC ta được

tgA + tgB + tgC ≥ 3 3 tgA.tgB.tgC
⇔ P ≥ 33 P

⇔ 3 P2 ≥ 3

De

⇔P≥3 3

⎧ tgA = tgB = tgC
π
⎪
Dấu “=” xảy ra ⇔ ⎨
π ⇔ A = B=C=
3
⎪⎩ 0 < A,B,C < 2
π
Do đó: MinP = 3 3 ⇔ A = B = C =
3

Th

Bài 6 : Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của
a/ y = 2 sin 8 x + cos4 2x

⎛1⎞
⎝ 3⎠

1
27
1
Do đó : Max y = 3 và Miny =
x∈
27
x∈

et
u.N

Ta có y(1) = 1; y(-1) = 3; y ⎜ ⎟ =

b/ Do điều kiện : sin x ≥ 0 và cos x ≥ 0 nên miền xác đònh

π
⎡
⎤
D = ⎢ k2π, + k2π ⎥ với k ∈
2
⎣
⎦
4
2
2
Đặt t = cos x với 0 ≤ t ≤ 1 thì t = cos x = 1 − sin x
Nên sin x =

Bài 7: Cho hàm số y = sin4 x + cos4 x − 2m sin x cos x
Tìm giá trò m để y xác đònh với mọi x

De

Xét f (x) = sin 4 x + cos4 x − 2m sin x cos x

f ( x ) = ( sin 2 x + cos2 x ) − m sin 2x − 2 sin 2 x cos2 x
2

1
sin2 2x − m sin 2x
2
Đặt : t = sin 2x với t ∈ [ −1, 1]
f ( x) = 1 −



y xác đònh ∀x ⇔ f ( x ) ≥ 0∀x ∈ R

1 2
t − mt ≥ 0 ∀t ∈ [ −1,1]
2
⇔ g ( t ) = t 2 + 2mt − 2 ≤ 0 ∀t ∈ [ −1,1]
⇔ 1−

Th

Do Δ ' = m2 + 2 > 0 ∀m nên g(t) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2
Lúc đó

1
1
⇔⎨
⇔− ≤m≤
2
2
⎪m ≤ 1
⎪⎩
2

et
u.N

g ( t ) = t 2 + 2mt − 2 ≤ 0 ∀t ∈ [ −1, 1]
⇔ max g (t ) ≤ 0 ⇔ max { g (−1), g (1)} ≤ 0
t ∈[ −1,1 ]

−1
⎧
⎪m ≥ 2
⇔ max {−2m − 1),− 2m + 1)} ≤ 0 ⇔ ⎨
⎪m ≤ 1
⎪⎩
2
⇔−

1
1
≤m≤
2

⎟ = cos
16
16
⎝ 2 16 ⎠

Bài 8 : Chứng minh A = sin4

www.DETHITHU.NET
Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để cùng học: />

- Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật hằng ngày.Truy cập tải ngay!
DETHITHU.NET
Mặt khác : sin 4 α + cos4 α = ( sin 2 α + cos2 α ) − 2 sin 2 α cos2 α
2

De

= 1 − 2sin2 α cos2 α
1
= 1 − sin2 2α
2
π
7π
3π
5π
+ sin4
+ sin4
+ sin4
Do đó : A = sin4
16

1⎛
π
3π ⎞
= 2 − ⎜ sin 2 + sin 2
⎟
2⎝
8
8 ⎠
1⎛
π
π⎞ ⎛
3π
π⎞
= cos ⎟
= 2 − ⎜ sin 2 + cos2 ⎟ ⎜ do sin
2⎝
8
8
8⎠
8⎠ ⎝
1 3
= 2− =
2 2



Th

Bài 9 : Chứng minh : 16 sin 10o .sin 30o .sin 50o .sin 70o = 1


cos10
1
cos 10o
o
sin
80
=
=1
⇔ A=
cos10o
cos 10o

Bài 10 : Cho ΔABC . Chứng minh : tg

A B
B C
C A
tg + tg tg + tg tg = 1
2
2
2
2
2
2

A+B π C
= −
2
2 2
A+B

Ta có :

www.DETHITHU.NET
Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để cùng học: />

- Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật hằng ngày.Truy cập tải ngay!
DETHITHU.NET

⇔ tg

A C
B C
A B
tg + tg tg + tg tg = 1
2
2
2
2
2
2

π
π
π
π
+ 2tg
+ tg
= cot g
( *)
8

π
π⎤
π
π
⎡
(*) ⇔ ⎢ cot g
− tg ⎥ − 2tg
− 4tg = 8
32
32 ⎦
16
8
⎣
π
π⎤
π
⎡
⇔ ⎢ 2 cot g
− 2tg ⎥ − 4tg = 8
16
16 ⎦
8
⎣
π
π
⇔ 4 cot g − 4tg = 8
8
8
π
⇔ 8 cot g = 8 (hiển nhiên đúng)

b/
sin 2x sin 4x sin 8x sin16x

3
+
2
3
= +
2

=

et
u.N

⎞
⎛ 2π
⎞
⎛ 2π
a/ Ta có : cos2 x + cos2 ⎜
+ x ⎟ + cos2 ⎜
− x⎟
⎠
⎝ 3
⎠
⎝ 3
1
1⎡
4π ⎞ ⎤ 1 ⎡
⎞⎤

2⎣
3⎦

3 1⎡
⎛ 1 ⎞⎤
+ ⎢ cos 2x + 2 cos 2x ⎜ − ⎟ ⎥
2 2⎣
⎝ 2 ⎠⎦
3
=
2
cos a cos b sin b cos a − sin a cos b
−
=
b/ Ta có : cot ga − cot gb =
sin a sin b
sin a sin b
=

www.DETHITHU.NET
Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để cùng học: />

- Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật hằng ngày.Truy cập tải ngay!
DETHITHU.NET

=

sin ( b − a )
sin a sin b


+
+
sin 2x sin 4x sin 8x sin16x
Do đó : cot gx − cot g2x =

De

Th

iTh

Bài 13 : Chứng minh : 8sin3 180 + 8sin2 180 = 1
Ta có: sin180 = cos720
⇔ sin180 = 2cos2360 - 1
⇔ sin180 = 2(1 – 2sin2180)2 – 1
⇔ sin180 = 2(1 – 4sin2180+4sin4180)-1
⇔ 8sin4180 – 8sin2180 – sin180 + 1 = 0 (1 )
⇔ (sin180 – 1)(8sin3180 + 8sin2180 – 1) = 0
⇔ 8sin3180 + 8sin2180 – 1 = 0 (do 0 < sin180 < 1)
Cách khác :
Chia 2 vế của (1) cho ( sin180 – 1 ) ta có
( 1 ) ⇔ 8sin2180 ( sin180 + 1 ) – 1 = 0
Bài 14 : Chứng minh :

et
u.N

1
( 3 + cos 4x )
4

- Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật hằng ngày.Truy cập tải ngay!
DETHITHU.NET

= ( sin4 x + cos4 x ) −

1
sin2 2x
4

( do kết quả câu a )

De

⎛3 1
⎞ 1
= ⎜ + cos 4x ⎟ − (1 − cos 4x )
⎝4 4
⎠ 8
3
5
= cos 4x +
8
8

c/ Ta có : sin 8 x + cos8 x = ( sin 4 x + cos4 x ) − 2 sin 4 x cos4 x
2

1
2
2

32
16
64
35 7
1
=
+
cos 4x +
cos 8x
64 16
64
=

Th

Bài 15 : Chứng minh : sin 3x.sin3 x + cos 3x.cos3 x = cos3 2x

iTh

Cách 1:
Ta có : sin 3x.sin3 x + cos 3x.cos3 x = cos3 2x
= ( 3sin x − 4 sin 3 x ) sin 3 x + ( 4 cos3 x − 3 cos x ) cos3 x

= 3sin4 x − 4 sin6 x + 4 cos6 x − 3cos4 x
= 3 ( sin 4 x − cos4 x ) − 4 ( sin 6 x − cos6 x )
= 3 ( sin 2 x − cos2 x )( sin 2 x + cos2 x )

et
u.N


⎟ + cos 3x ⎜
4
4
⎠
⎝
⎠
⎝
3
1
= ( sin 3x sin x + cos 3x cos x ) + ( cos2 3x − sin2 3x )
4
4
www.DETHITHU.NET

Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để cùng học: />

- Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật hằng ngày.Truy cập tải ngay!
DETHITHU.NET

3
1
cos ( 3x − x ) + cos 6x
4
4
1
= ( 3cos 2x + cos 3.2x )
4
1
= ( 3cos 2x + 4 cos3 2x − 3cos 2x ) ( bỏ dòng này cũng được)
4

iTh

Bài 17 : Tính P = sin2 50o + sin2 70 − cos 50o cos70o
1
1
1
Ta có : P = (1 − cos100o ) + (1 − cos140o ) − ( cos120o + cos 20o )
2
2
2
1
1
1
⎛
⎞
P = 1 − ( cos100o + cos140o ) − ⎜ − + cos 20o ⎟
2
2⎝ 2
⎠
1 1
P = 1 − ( cos120o cos 20o ) + − cos 20o
4 2
5 1
1
5
P = + cos 20o − cos 20o =
4 2
2
4
Bài 18 : Chứng minh : tg30o + tg40o + tg50o + tg60o =

+
o
sin 80
cos 30o
1 ⎞
⎛ 1
= 2⎜
+
⎟
o
cos 30o ⎠
⎝ cos10

www.DETHITHU.NET
Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để cùng học: />

- Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ÔN THI cập nhật hằng ngày.Truy cập tải ngay!
DETHITHU.NET

De

⎛ cos 30o + cos10o ⎞
= 2⎜
o
o ⎟
⎝ cos10 cos 30 ⎠
cos 20p cos10o
=4
cos10o cos 30o
8 3

2
2
2
2
2
2
a/ sin A + sin B + sin C = 4 cos

Th

A+B
A−B
cos
+ sin ( A + B )
2
2

iTh

a/ Ta coù : sin A + sin B + sin C = 2sin

A + B⎛
A−B
A + B⎞
+ cos
⎜ cos
⎟
2 ⎝
2
2 ⎠

2
⎝
⎠
A+B⎡
A−B
A + B⎤
+1
= 2 cos
cos
− cos
⎢
2 ⎣
2
2 ⎥⎦
A+B
A
⎛ B⎞
= −4 cos
sin sin ⎜ − ⎟ + 1
2
2
⎝ 2⎠
C
A
B
= 4 sin sin sin + 1
2
2
2
c/ sin 2A sin 2B + sin 2C = 2 sin ( A + B ) cos ( A − B ) + 2 sin C cos C

tgA + tgB
= −tgC
1 − tgAtgB
⇔ tgA + tgB = −tgC + tgAtgBtgC
⇔ tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC
f/ Ta có : cotg(A+B) = - cotgC
1 − tgAtgB
= − cot gC
⇔
tgA + tgB
cot gA cot gB − 1
= − cot gC (nhân tử và mẫu cho cotgA.cotgB)
⇔
cot gB + cot gA
⇔ cot gA cot gB − 1 = − cot gC cot gB − cot gA cot gC
⇔ cot gA cot gB + cot gB cot gC + cot gA cot gC = 1
A+B
C
= cot g
g/ Ta có : tg
2
2
A
B
tg + tg
2
2 = cot g C
⇔
A B
2

A
B
C
A
B
C
⇔ cot g + cot g + cot g = cot g .cot g .cot g
2
2
2
2
2
2
⇔

et
u.N

iTh

Th

Bài 20 : Cho ΔABC . Chứng minh :
cos2A + cos2B + cos 2C + 4cosAcosBcosC + 1 = 0

Ta có : (cos2A + cos2B) + (cos2C + 1)
= 2 cos (A + B)cos(A - B) + 2cos2C
= - 2cosCcos(A - B) + 2cos2C
= - 2cosC[cos(A – B) + cos(A + B)] = - 4cosAcosBcosC
Do đó : cos2A + cos2B + cos2C + 1 + 4cosAcosBcosC = 0

3C
Mà :
A + B = π − C nên ( A + B ) = π −
2
2
2
3
⎛ 3π 3C ⎞
=> cos ( A + B ) = cos ⎜
−
⎟
2
2 ⎠
⎝ 2
⎛ π 3C ⎞
= − cos ⎜ −
⎟
2 ⎠
⎝2
3C
= − sin
2
Do đó : cos3A + cos3B + cos3C
3 ( A − B)
3C
3C
= −2 sin
cos
− 2sin 2
+1

3A
−3B
sin
sin(
) +1
2
2
2
3C
3A
3B
= −4 sin
sin
sin
+1
2
2
2

= 4 sin

= cot g

C
.
2

et
u.N


2
2
2
C⎡
A−B
C⎤
A−B
A+B
2 cos ⎢cos
− sin ⎥
cos
− cos
C
2⎣
2
2⎦
2
2
=
= cot g .
C⎡
A−B
C⎤
2 cos A − B + cos A + B
2 sin ⎢cos
+ sin ⎥
2
2
2⎣
2


De

Bài 23 : Cho ΔABC . Chứng minh :
A
B
C
B
C
A
C
A
B
sin cos cos + sin cos cos + sin cos cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A
B
C
A B
B C
A C
= sin sin sin + tg tg + tg tg + tg tg ( *)

2
B⎤ C
A B
⎡ A
⇔ ⎢ tg + tg ⎥ tg = 1 − tg tg
2⎦ 2
2
2
⎣ 2
A C
B C
A B
⇔ tg tg + tg tg + tg tg = 1 (1)
2
2
2
2
2
2
A
B
C
B
C
A
C
A
B
Do đó : (*) Ù sin cos cos + sin cos cos + sin cos cos
2

2⎦
2⎣
2
2
2
2⎦
A
B+C
A
B+C
+ cos sin
=1
⇔ sin cos
2
2
2
2
A+B+C
π
= 1 ⇔ sin = 1 ( hiển nhiên đúng)
⇔ sin
2
2
Ta có :

Ta có :

et
u.N


2
2
C⎡
A−B
C⎤
− sin ⎥ + 4
2 sin ⎢cos
2⎣
2
2⎦
C⎡
A−B
A + B⎤
− cos
+4
2 sin ⎢cos
2⎣
2
2 ⎥⎦
C
A
B
4 sin sin .sin + 4 (1)
2
2
2

cos A + cos B + cos C + 3 = 2 cos

=

A + B⎤
= 2 cos ⎢ cos
+ cos
2⎣
2
2 ⎥⎦
C
A
B
= 4 cos cos cos (2)
2
2
2

sin A + sin B + sin C = 2sin

De

et
u.N

iTh

Th

Từ (1) và (2) ta có :
A
B
C
A

B
C⎤
B⎡
A
C⎤
C⎡
A
B⎤
⇔ sin ⎢cos cos ⎥ + sin ⎢cos cos ⎥ + sin ⎢cos cos ⎥
2⎣
2
2⎦
2⎣
2
2⎦
2⎣
2
2⎦
A
B
C
= sin sin sin + 1
2
2
2
A⎡
B
C
B
C⎤

2
⎣
π
⇔ sin = 1 ( hiển nhiên đúng)
2
A
B
C
sin
sin
sin
2
2
2
+
+
=2
Bài 25 : Cho ΔABC . Chứng minh:
B
C
C
A
A
B
cos cos
cos cos
cos cos
2
2
2

cos cos
cos cos cos
2
2
2
2
2
2
2

A+B
A−B
sin
cos
1 sin A + sin B
2
2
=
=
A
B
C
2 cos A cos B cos C
cos cos cos
2
2
2
2
2
2


De

⎛ A − B⎞
C
A−B
A+B
cos ⎜
sin
cos
+ cos
⎟
⎝ 2 ⎠+
2
2
2
=
Do đó : Vế trái =
A
B
A
B
A
B
cos cos
cos cos
cos cos
2
2
2

A
A
B
cos cos
cos cos
cos cos
2
2
2
2
2
2
B
C
B
C
A
C
A
C
cos cos − sin sin
cos cos − sin sin
2
2
2
2
2 +
2
2
2

iTh

Th
Mà :

A C
A B⎤
⎡ B C
= 3 − ⎢ tg tg + tg tg + tg tg ⎥
2
2
2
2
2⎦
⎣ 2
A B
B C
A B
tg tg + tg tg + tg tg = 1
2
2
2
2
2
2
(đã chứng minh tại bài 10 )
Vế trái = 3 – 1 = 2

et
u.N

2 cos
2
2
=
⇔
A
C
B
sin sin
sin
2
2
2

Bài 26 : Cho ΔABC . Có cot g

www.DETHITHU.NET
Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để cùng học: />

- Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật hằng ngày.Truy cập tải ngay!
DETHITHU.NET

B
2
=
⇔
A
C
B
sin sin

C
2
2
sin .sin
2
2
cos

B
2

2 cos

De

et
u.N

iTh

Th

Bài 27 : Cho ΔABC . Chứng minh :
1
1
1
1⎡ A
B
C
A

cos α sin α sin 2α
1⎡ A
B
C
A
B
C⎤
Do đó : ⎢ tg + tg + tg + cotg + cotg + cotg ⎥
2⎣ 2
2
2
2
2
2⎦
1⎡ A
B
C⎤ 1 ⎡
A
B
C⎤
= ⎢ tg + tg + tg ⎥ + ⎢ cotg + cotg + cotg ⎥
2⎣ 2
2
2⎦ 2 ⎣
2
2
2⎦
1⎡ A
A⎤ 1 ⎡ B
B⎤ 1 ⎡ C

2π
4π
6π
1
+ cos
+ cos
=−
c/ cos
7
7
7
2
3
3
d/ sin 2x sin 6x + cos 2x.cos 6x = cos3 4x
e/ tg20o.tg40o.tg60o.tg80o = 3

π
2π
5π
π 8 3
π
+ tg
+ tg
+ tg =
cos
6
9
18
3

⎡π
⎤
h/ tgx.tg ⎢ − x ⎥ .tg ⎢ + x ⎥ = tg3x
⎣3
⎦
⎣3
⎦
o
o
k/ tg20 + tg40 + 3tg20o.tg40o = 3
3
8
o
o
o
o
m/ tg5 .tg55 .tg65 .tg75 = 1

e/ sin 20o.sin 40o.sin 80o =

De

⎧sin x = 2 sin ( x + y )
⎪
2. Chứng minh rằng nếu ⎨
π
⎪ x + y ≠ ( 2k + 1) ( k ∈ z )
⎩
2


B
C
3A
3B
3C
cos
cos
b/ sin3 A + sin3 B + sin3 C = 3cos cos cos + cos
2
2
2
2
2
2
A
B−C
B
A−C
+ cos .cos
c/ sin A + sin B + sin C = cos .cos
2
2
2
2
C
A−B
+ cos .cos
2
2
d/ cotgAcotgB + cotgBcotgC + cotgCcotgA = 1


De

⎡ u = v + k2π
sin u = sin v ⇔ ⎢
⎣ u = π − v + k2π
cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π
π
⎧
⎪u ≠ + kπ
tgu = tgv ⇔ ⎨
2
⎪⎩u = v + k ' π
⎧u ≠ kπ
cot gu = cot gv ⇔ ⎨
⎩u = v + k ' π

Th

Đặc biệ t : sin u = 0 ⇔ u = kπ

( k, k ' ∈ Z )

cos u = 0 ⇔ u =

π
+ k2π ( k ∈ Z )
2
π
sin u = −1 ⇔ u = − + k2π

u.N

⇔ cos x = 0 hay cos x = 2 ( loạ i vì cos x ≤ 1)

π
+ kπ ≤ 14
2
π
π
1
14 1
− ≈ 3, 9
⇔ − ≤ kπ ≤ 14 − ⇔ −0, 5 = − ≤ k ≤
2
2
2
π 2
⎧ π 3π 5π 7π ⎫
Mà k ∈ Z nê n k ∈ {0,1, 2, 3} . Do đó : x ∈ ⎨ , , , ⎬
⎩2 2 2 2 ⎭
Ta có : x ∈ [ 0,14 ] ⇔ 0 ≤

Bà i 29 : (Đề thi tuyể n sinh Đạ i họ c khố i D, nă m 2004)
Giả i phương trình :
( 2 cos x − 1)( 2 sin x + cos x ) = sin 2x − sin x ( *)

Ta có (*) ⇔ ( 2 cos x − 1)( 2 sin x + cos x ) = sin x ( 2 cos x − 1)

www.DETHITHU.NET
Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để cùng học: />

x
.cos
+ 2 cos
.cos = 0
2
2
2
2
5x ⎛
3x
x⎞
2 cos
+ cos ⎟ = 0
⎜ cos
2 ⎝
2
2⎠
5x
x
4 cos
cos x cos = 0
2
2
5x
x
= 0 ∨ cos x = 0 ∨ cos = 0
cos
2
2
5x π

1
1
1
(1 − cos 2x ) + (1 − cos 6x ) = (1 + cos 4x ) + (1 + cos 8x )
2
2
2
2
⇔ − ( cos 2x + cos 6x ) = cos 4x + cos 8x
Ta có (*) ⇔

et
u.N

⇔ −2 cos 4x cos 2x = 2 cos 6x cos 2x
⇔ 2 cos 2x ( cos 6x + cos 4x ) = 0

⇔ 4 cos 2x cos 5x cos x = 0
⇔ cos 2x = 0 ∨ cos 5x = 0 ∨ cos x = 0
π
π
π
⇔ 2x = + kπ ∨ 5x + kπ ∨ x = + kπ, k ∈ ]
2
2
2
π kπ
π kπ
π
∨x=

3
sin x cos 4x − + cos 4x = − − 2sin x
2 2
2
1
sin x cos 4x + cos 4x + 1 + 2sin x = 0
2
1⎞
1⎞
⎛
⎛
cos 4x ⎜ sin x + ⎟ + 2 ⎜ sin x + ⎟ = 0
2⎠
2⎠
⎝
⎝
1
( cos 4x + 2) ⎛⎜ sin x + ⎟⎞ = 0
2⎠
⎝
π
⎡
⎡cos 4x = −2 ( loạ i )
x = − + k 2π
⎢
6
⎢
⎢sin x = − 1 = sin ⎛ − π ⎞ ⇔ ⎢
⎢ x = 7π + 2hπ
⎜

−
6
Vậy : −2 < −

et
u.N

iTh

Bà i 33 : Giả i phương trình
sin 3 x cos 3x + cos3 x sin 3x = sin 3 4x ( * )

Ta có : (*) ⇔ sin 3 x ( 4 cos3 x − 3 cos x ) + cos3 x ( 3sin x − 4 sin 3 x ) = sin 3 4x

⇔ 4 sin3 x cos3 x − 3sin3 x cos x + 3sin x cos3 x − 4 sin3 x cos3 x = sin3 4x
⇔ 3sin x cos x ( cos2 x − sin 2 x ) = sin 3 4x
⇔

3
sin 2x cos 2x = sin3 4x
2

www.DETHITHU.NET
Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để cùng học: />

- Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật hằng ngày.Truy cập tải ngay!
DETHITHU.NET

3
sin 4x = sin3 4x
4

⇔ 2 cos x ( cos 7x − cos11x ) = 0

iTh

⇔ cos x = 0 ∨ cos7x = cos11x
π
⇔ x = + kπ ∨ 7x = ±11x + k 2π
2
π
kπ
kπ
∨x=
,k ∈]
⇔ x = + kπ ∨ x = −
2
2
9
Bà i 35 : Giả i phương trình
( sin x + sin 3x ) + sin 2x = ( cos x + cos 3x ) + cos 2x
⇔ 2sin 2x cos x + sin 2x = 2 cos 2x cos x + cos 2x
⇔ sin 2x ( 2 cos x + 1) = cos 2x ( 2 cos x + 1)
⇔ ( 2 cos x + 1) ( sin 2x − cos 2x ) = 0

1
2π
= cos
∨ sin 2x = cos 2x
2
3
2π

Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để cùng học: />