Trờng Đại Học hồng đức
Khoa: Tự nhiên
====&====
Giải tích hiện đại
Thanh Hoá, tháng 8 năm 2006
Chơng I
Không gian Hilbert
.i1 Không gian tuyến tính
Để chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm và nghiên cứu không gian Hilbert, trớc
hết ta nhắn lại các khái niệm cơ bản về không gian tuyến tính (hay không gian vectơ).
Các khái niệm này đã đợc đề cập trong các giáo trình đại số tuyến tính. Tuy nhiên ở đó
ta chủ yếu xét các không gian hữu hạn chiều, còn ở đây thì ngợc lại, mối quan tâm của
ta dành chủ yếu cho các không gian vô hạn chiều.
1. Không gian tuyến tính
Tập hợp L (khác ) đợc gọi là không gian tuyến tính trên trờng số K, nếu trên đó có
xác định một phép toán cộng (cộng hai phần tử của L với nhau) và phép nhân phần tử
của L với một số thuộc tính K thoả mãn các điều kiện sau:
1. Với mọi a, b L đều có: a + b = b + a;
2. Với mọi a, b, c L đều có: (a + b) + c = a + (b + c)
3. Trong L tồn tại (duy nhất) một phần tử O (gọi là phần tử không) sao cho:
a + 0 = a với mọi a L;
4. Với mỗi a L đều có một phần tử a L (gọi là đối của a) sao cho: a + (- a) = 0;
5. Với mọi , K, a L đều có: (a) = ()a;
6. Với mọi , K và a L đều có: ( + )a = a + a).
7. Với mọi K, a, b L đều có: (a+b) = a + b
8. 1a = a với mọi a L
Chú ý: 1. Trờng K đợc hiểu là trờng số thực K hoặc trờng số phức C. Trong trờng
hợp đầu, ta có không gian tuyến tính thức; trong trờng hợp sau - không gian tuyến tính
phức tạp. Sau này ta sẽ chỉ nói đơn giản: L là không gian tuyến tính. Trong trờng hợp
cần thiết sẽ nói rõ đó là không gian thực hay phức.
2. Ta sẽ không phân biệt cách viết phần tử không của L với 0 R.

,
n
0 sao cho

=
=
n
k
kk
x
1
0

hệ không phụ thuộc còn gọi là hệ độc lập (tuyến tính).
Nếu a
1
a
n
L thì với mỗi bộ số
1
,
n
, biểu thức

=
n
k
kk
a
1

n
sao cho
00
11
2
=

==
n
k
kk
n
k
k
ava

. Trong đó các số
k
phải có ít nhất một số khác 0, ví dụ
k0
.
Khi
đó:


=
0
0
0
kk

0
1
1
=

+
=
n
k
kk
a

với
k+1
= -1 và a
k+1
= a. Rõ ràng
0
1
1
2


+
=
n
k
k

. Vậy hệ A

2
) (a
1
, a
2
, ) = ( a
1
, a
2
, )
4. Không gian con
Tập nghiệm M (không rỗng) của L đợc gọi là không gian con, nếu với mọi a, b
M và K đều có a + b M và a M. Điều này tơng đơng với việc mọi tổ hợp
tuyến tính của một số hữu hạn các phần tử trong M cũng thuộc M. Đơng nhiên, chính
không gian con của L cũng là không gian tuyến tính (với các phép toán là sự thu hẹp t-
ơng ứng từ L lên M). Trong số các không gian con luôn có tập hợp [c] và toàn bộ L,
(các không gian con tầm thờng).
Với A là bộ phận khác

của L, tập hợp L(A) mọi tổ hợp tuyến tính của những hệ
con hữu hạn của A gọi là bao tuyến tính của A. Đây chính là không gian con hẹp nhất
chứa A và là giao của mọi không gian con chứa A. Nếu A là hệ độc lập thì nó chính là
cơ sở của L(A).
Bài tập: 1. Chứng minh rằng giao (khác

) của (một số tuỳ ý) các không gian con
của L cũng là không gian con.
2. Đối với A. B L, ký hiệu A + B = [x + y x A, y B). Chứng minh ràng nếu
A và B là không gian con thì A + B là không gian con.
4

5
.i2 ánh xạ tuyến tính
Liên qụan mật thiếu với các không gian tuyến tính là các ánh xạ tuyến tính hay,
nh phần sau ta sẽ gọi, là các toán tử tuyến tính. Cách gọi thứ hai thờng đợc dùng khi
nghiên cứu các tính chất giải tích của không gian và các ánh xạ.
1. Định nghĩa và ví dụ
ánh xạ tuyến tích từ không gian tuyến tích L vào không gian tuyến thích M đợc gọi
là ánh xạ tuyến tích, nếu với mọi a, b L và hia số

, đều có:
(

a + b) =

(a) + (b)
Nếu M chính là trờng số (coi nh không gian tuyến tính trên chính nó) thì đợc gọi
là phiếm hàm tuyến tính trên L. Sau đây là vài ví dụ.
1. ánh xạ từ không gian tuyến tính đợc C[a,b] vào R biến mỗi hàm C
[a,b]
thành

b
a
x)(

dx là phiếm hàm tuyến tính.
2. Một ánh xạ khác từ C
[a,b])
vào R biến thành (a), cũng là phiếm hàm tuyến tính
[a, b] x [a, b]. ánh xạ biến mỗi C

1
, . b
n
B. Do f là đơn ánh nên với mỗi
b
k
thì chỉ có một phần tử a
k
duy nhất từ A sao cho b
k
= f(a
k
) (chú ý: hệ độc lập không
chỉ có hai phần tử trùng nhau và hệ đó luôn là tập con của L). Đẳng thức

=
=
n
k
kk
b
1
0

có
nghĩa là
00)(
11
=


=
2

n
= 0, nên B độc lập.
5. ánh xạ tuyến tính f là đơn ánh khi và chỉ khi tập hợp
f
1
{0} {x L f(x) = 0} chỉ chứa đúng một phần tử 0.
Tập hợp này đợc gọi là nhân của ánh xạ tuyến tính f và ký hiệu là Kerf.
6. Đối với ánh xạ tuyến tính từ không gian n chiều vào một không gian n chiều thì
có tính chất đơn ánh, toàn ánh và song ánh là trùng nhau.+
Bài tập: Chứng tỏ rằng nếu L là vô hạn chiều thì đơn ánh tuyến tính từ L vào L có
thể không phải toàn ánh.

=
=
n
k
kk
b
1
0

6
7. Tích hai ánh xạ tuyến tính là ánh xạ tuyến tính (Nếu f: L M, f: M N thì ánh
xạ tính là ánh xạ h: L sao choi h(x) = g(f(x)). Đặc biệt, tích hai ánh xạ đẳng cấu, tức
là song ánh tuyến tính cũng là đẳng thức.

=

g L nên x =

=
n
k
kk
a
1

với a
1
, a
n
A. Nhng khi đó ta có y =
)(
1
k
n
k
kk
af

=

. Do f(a
k
) B nên kết
hợp với tính độc lập suy ra B là cơ sở.
Đảo lại: Giả sử ánh xạ tuyến tính f từ L vào M biến mỗi cơ sở thành cơ sở. Khi đó,
nếu A là cơ sở trong L thì B = f(A) là cơ sở trong M. Lấy phần tử tuỳ ý y M. Khi

2
) với x
1
, x
2
L. Vì A là cơ sở nên x
1
và x
2
sẽ biểu thị
tuyến tính qua hai h con hữu hạn A
1
và A
2
của A và ta có thể coi rằng cả x
1
và x
2
cùng
biểu thị tuyến tính qua A
1
A
2
= {a
1
a
n
} tức là x
1
=

n
k
kk
n
k
kk
afaf
1
2
1
1
)()(

hay
( )
0)(
1
21
=

=
k
n
k
kk
af

. Do f(A) độc lập
tuyến tính nên suy ra
)2()1(